Пояснительная записка

Программа данного элективного курса рассчитана на 9 часов. Подобранный материал способствует расширению объема сведений по математике, а также обучению подростков навыкам анализа нестандартных ситуаций, самостоятельной работе с литературой, развитию математической речи.

В настоящее время большинство разделов математики построены на базе теоретико-множественных идей. Использование множеств и операций над ними позволяет осветить с современных позиций целый ряд разделов школьной математики. В то же время основные понятия теории множеств настолько просты и ясны, что их можно начинать преподавать с начальной школы.

При проведении занятий по теории множеств большое внимание уделяется разбору примеров множеств из окружающего мира. Надо научить школьников видеть конкретные примеры множеств, подмножеств, пересечений и объединений множеств и т.д. В то же время следует разобрать достаточное число примеров из уже известных школьникам вопросов математики, научить подходить к этим вопросам с теоретико-множественных позиций. Такие понятия, как система уравнений и неравенств, совокупность уравнений и неравенств, получают естественное истолкование на языке теории множеств.

Цель курса: познакомить учащихся с элементами теории множества.

Задачи курса:

• познакомить учащихся с понятием множества;
• познакомить учащихся с основными операциями: объединение и пересечение множеств;
• дать определение подмножества;
• рассмотреть конечные, бесконечные, числовые множества;
• рассмотреть число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств;
• предоставить учащимся возможность, проанализировать свои способности к математике.

Распределение часов

Дидактический материал

Тема 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество

Цель: ввести понятие множества, его элементов.

Справочный материал

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют, одним словом. Совокупность документов называют архивом; собрание музыкантов – оркестром; группу лошадей – табуном; родителей, детей и их родственников – семьей; большую группу людей – толпой или очередью; собрание книг – библиотекой и т.д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в одну единую совокупность является понятие множества. Это понятие не определяется, подобно понятиям точки, числа, и является первичным.

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. Все множества можно записывать с помощью заглавных букв латинского алфавита:

А – множество квадратов;
В – множество чисел.

Элементы множества можно записать с помощью маленьких букв: х является элементом множества А. Это можно записать так: хА (читают: х есть элемент множества А, или х принадлежит А, или х содержится в А, или А содержит х). Если объект х не является элементом множества А, то это записывают так: хА (читается: х не есть элемент множества А, или х не принадлежит А, или х не содержится в А).

Например: Если множество В – множество натуральных чисел, то 2В, –7В, мухаВ и т.д.

Множество можно иногда задавать перечислением его элементов. Например: множество стран на земном шаре задается их списком в географическом атласе, множество учеников в классе – их списком в классном журнале. Если множество задано списком, то названия всех элементов множества записывают в фигурные скобки, разделяя запятой. Например: если множество С состоит из трех элементов:1,9 и –4, то это записывают так: С ={1,9; –4}.

Но не все множества можно записывать списком. Если множество содержит бесконечно много элементов, то такой список составить нельзя. Множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают ни какие другие объекты. Такое свойство называют характеристическим свойством множества. Например: множество {2, 4} может быть задано:

а)множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1 < х < 5;

б)множество корней квадратного уравнения х² – 6х + 8 = 0.

Задание множества его характеристическим свойством записывают и в геометрии. Например: биссектриса угла есть геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его сторон.

Множество элементов обладающих характеристическим свойством записывают так:

А = {х: –3 < х < 4} означает, что множество А состоит из всех чисел х, удовлетворяющих неравенству –3 < х < 4.

Упражнения

№ 1. Как называется множество артистов, работающих в одном театре?

№ 2. Как называется множество царей данной страны, принадлежащих одному семейству?

№ 3. Пусть А множество всех многочленов от одной переменной х, все коэффициенты которых целые.

Верна ли запись:

а) х – 15 х + 6А;
б) х³ – 1А;
в) х² + у² – 1А.

№ 4. На координатной плоскости расположен квадрат АВСД, где А(10; 10), В(–10; 10), С(–10; –10), Д(10, –10). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах квадрата или внутри его?

Дома

№ 1. Запишите известные вам названия множеств военнослужащих.

№ 2. На координатной плоскости расположен треугольник АВС, где А(–3; –2), В(0; 8), С(10; –5). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

Тема 2. Понятие подмножества

Цель: ввести понятие подмножества, его элементов.

Справочный материал.

При помощи операций над множествами можно получать новые множества. Рассмотрим операцию пересечение множеств.

Пересечение множеств А и В есть множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из множеств А и В.

Обозначается операция пересечения: АВ.

Например: А = {1; 2; 3}и В ={2; 3; 4; 5}, то АВ = {2; 3}.

Наглядно представить расположение множеств в различных случаях можно при помощи геометрических фигур.

Множества называются не пересекающимися, если у них нет общих элементов, т. е. их пересечение пусто.

Если заданы два множества, то можно образовать новое множество, включив в него, во-первых, элементы первого множества и, во-вторых, элементы второго множества, не совпадающие с элементами первого. Рассмотрим операцию объединение множеств.

Объединение множеств А и В представляет собой множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. Обозначается операция объединения: АВ.

Например: А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4}, то А B = {1; 2; 3; 4}.

Упражнения.

№ 1. На координатной плоскости даны три множества:

• А – множество точек А(х; у), у которых | x | = 1;
• В – множество точек В(х; у), таких, что | y | = 1;
• С – множество, равное графику функции у = 2х.

Изобразите множества:

a) A B;
б) А В;
в) А С;
г) В С;
д) А В С

№ 2.Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.

№ 3. Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих в множестве всех живых существ?

Дома.

Пусть А – множество четных чисел из промежутка [100;1000], а В – множество чисел, кратных 5, из того же промежутка.

Сколько чисел в множестве: а) A B; б) А В

Тема 3. Пересечение и объединение множеств.

Цель: ввести понятия пересечения и объединения множеств.

Справочный материал.

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В –> подмножество в А, и пишут
ВА. Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество и само множество А. Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

Упражнения.

№ 1. Даны множества:

а) Множество А всех тетрадей.
б) Множество В всех прямоугольников.
в) Множество С всех четырехугольников.
г) Множество D всех квадратов.
д) Множество Е всех параллелограммов.
е) Множество F всех многоугольников.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

№ 2. Даны множества:

а) Множество А всех рациональных чисел.
б) Множество В всех целых чисел.
в) Множество С всех действительных чисел.
г) Множество D всех четных натуральных чисел.
д) Множество Е всех натуральных чисел.
е) Множество F всех натуральных чисел, делящихся на 12.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

№ 3. Даны множества:

а) Множество А учеников 8-го класса данной средней школы.
б) Множество В всех учеников данной средней школы.
в) Множество С учеников 8-го класса этой средней школы, посещающие факультативные занятия по математики.
г) Множество Е всех учащихся средней школы в России.
д) Множество D всех учащихся средних школ города Салехард.
е) Множество F мальчиков из 8 класса, посещающих факультативные занятия по математике.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

Дома.

Даны множества:

а) Множество А всех позвоночных животных.
б) Множество В всех животных.
в) Множество С всех млекопитающих животных.
г) Множество D всех волков.
д) Множество Е всех хищных млекопитающих.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

Тема 4. Конечные и бесконечные множества.

Цель: ввести понятие конечного и бесконечного множества, научить оперировать этими понятиями при решении задач.

Справочный материал.

Множество, элементы которого можно пересчитать называется конечным множеством. Конечное множество можно задавать двумя способами:

• указанием на некоторое свойство, которому удовлетворяют его элементы;
• перечислением его элементов.

Например: А = {х: –3 < х < 4} означает, что множество А состоит из всех чисел х, удовлетворяющих неравенству –3 < х < 4.

Пустое множество считается конечным.
Свойство: Подмножество конечного множества само конечно.
Множество, элементы которого невозможно пересчитать называется бесконечным.
Свойство: Если множество В содержит бесконечное подмножество, то В бесконечно.

Упражнения

№ 1. Пусть конечное множество А содержит n элементов. Подсчитать, сколько подмножеств имеет это множество.

№ 2. Угадай по какому закону составлено бесконечное множество, содержащие числа:

а { ,,,,…};
б) {,,,,…}
в) {,,,,,,…}
г) {2, 12, 36, 80, 150,…}

№ 3. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от северного полюса?

№ 4. Пусть Е – множество, состоящее из таких чисел х, что 4 < х² < 9. Проверьте, что [2; 3] Е. Верно ли, что [2; 3] = Е?

Дома.

№ 1. На координатной плоскости расположен квадрат АВСД, где А(10;10), В(–10;10), С(–10;–10), Д(10;–10). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах квадрата или внутри его?

№ 2. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов? Поясните ответ.

Тема 5. Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств

Цель: определить число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств.

Справочный материал.

Нам уже известно, что пересечением двух не пустых множеств является новое множество, состоящее из элементов принадлежащих каждому из множеств. Если говорить о двух конечных множествах, то можно заметить, что их пересечение есть тоже конечное множество, состоящее из элементов принадлежащих каждому из множеств. Можно сказать и об объединении двух конечных множеств, оно тоже конечно.

Упражнения

№ 1. Пусть А – множество корней квадратного уравнения: х² – 7х + 12 = 0.

• Верна ли запись – 5А?
• Верна ли запись 10А?
• Верна ли запись 4А?

Составьте список элементов множества А.

№ 2. Пусть А – множество делителей числа 60.

• Верна ли запись 7А?
• Верна ли запись 10А?
• Верна ли запись 20А?

Составьте список элементов множества А.

№ 3. Составьте список элементов множества, заданных свойствами:

а) А = {х : х² – 8х + 12 = 0};
б) В = {х : хN, –11 < х < –3}.

№ 4. Запишите с помощью фигурных скобок множество, состоящее из:

а) целы чисел, таких, что –3,71 < х < 4;
б) натуральных делителей числа 124 числа 30;

Дома.

№ 1. Запиши с помощью фигурных скобок множество корней уравнения:

а) 5х – 17 = 3;
б) (х – 1)(х – 2) = 0;
в) х² + 9 = 0.

№ 2. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элементы не обладающие этим свойством:

а) {2; 6; 15; 84; 156};
б) {2; 7; 13; 16; 29}

Ответ поясните.

№ 3. Назовите отличия записи множества А = {2; 4} от множества [2; 4].

Тема 6. Числовые множества. Числовые промежутки.

Цель: ввести понятие “числовые промежутки” и “числовые множества”, учить применять на практике.

Справочный материал.

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа а и b, а < b, то множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству, а < х < b, называют числовым отрезком и обозначают [а; b]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами а и b.

а                          b

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству, а < х < b, называют числовым промежутком и обозначают (а, b). На числовой оси это множество изображается отрезном у которого отброшены концы.

Иногда встречаются множества чисел, удовлетворяющие неравенствам, а < х < b или а < х < b. Их называют числовыми полуотрезками и обозначают [а; b), или (а; b]. Квадратная скобка обозначает, что соответствующий конец включается в множество, а круглая – что он исключается.

Числовые отрезки, полуотрезки и промежутки имеют конечную длину. Рассмотрим множество чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < +. Такое множество называется числовым лучом. Числовой луч имеет бесконечную длину. Числовыми лучами называют и множества чисел, удовлетворяющих неравенствам вида а < х < +, – < х < а, – < х < а числовые лучи обозначают так: [а; +), (а; +), (– ; а], (– ; а). С числовыми множествами приходится иметь дело при решении уравнений и неравенств.

Упражнения.

№ 1. Найдите область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

.

№ 2.Найдите ОДЗ для уравнений:

а);

б) х² + 5х + 7 + = 1 + .

№ 3. Совпадают ли ОДЗ уравнений: х + 5 = 15 – х и х + 5 +.

Дома.

№ 1. Найдите ОДЗ для уравнений: .

№ 2. Придумайте и запишите элементы множества, используя рисунок.

А) Б)

В)

Тема 7. Взаимнооднозначное соответствие между множествами

Цель: ввести понятие взаимного однозначного соответствия между множествами.

Справочный материал.

Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу а из А поставлен в соответствие b из В, и при этом соответствии каждый элемент b из В соответствует одному и только одному элементу а из А.

Например: в случае, когда на танцевальной площадке танцуют все, между множеством юношей и множеством девушек устанавливается соответствие, обладающее следующими свойствами:

1) Каждому юноше соответствует одна и только одна девушка – его партнерша.
2) Каждой девушке соответствует один и только один юноша – ее партнер.

Понятие взаимнооднозначное соответствие весьма важное при изучении функции. Рассмотрим функцию: у = . Когда х изменяется на отрезке [–1; 2], то у изменяется на отрезке [–1; 8]. При этом каждому числу х из отрезка [–1; 2] соответствует одно и только одно значение у, принадлежащее отрезку[–1;8], а каждому значению у из отрезка [–1; 8] – одно и только одно значение х из отрезка [–1; 2]. Иными словами, функция у = устанавливает взаимнооднозначное соответствие между точками отрезков [–1; 8] и [–[1; 2]. Эта функция устанавливает и взаимно однозначное соответствие между точками числовых прямых х и у. Отсюда следует, что каждому значению у соответствует единственное значение х, такое, что х= у.

Упражнения.

№ 1. Приведите пример функции, которая не задает взаимно однозначного соответствия. Ответ объясните.

№ 2. Каждой параболе, ось которой параллельна оси ординат, ставится в соответствие ее уравнение вида у = а+ bх + с. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 3. Пусть А – множество всех окружностей на плоскости и В – множество всех квадратов плоскости. Каждому квадрату ставят в соответствие вписанную в него окружность. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 4. Пусть А – множество всех окружностей на плоскости и В – множество всех точек этой плоскости. Каждой окружности ставится в соответствие ее центр. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 5. Найдите объединение корней уравнений (3х + 5) + (8х + 1) = 17 и 2х = 20.

Дома.

№ 1. Каждому квадратному уравнению вида (а и b - положительные числа) ставится в соответствие его положительный корень. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

№ 2. Найдите пересечение двух прямых у = х и у = 2- х. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

Тема 8. Разность множеств

Цель: ввести понятие разности множеств и научить применять его на практике.

Справочный материал.

Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А\В. Если рассмотреть разность множеств А и В с помощью диаграмм Эйлера-Вена, то видим А\В = когда А = В.
В случае, когда В - есть подмножество множества А, разность А\В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают С_АВ^*.

Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. Разность множеств используется при решении уравнений с переменными в знаменателе.

Упражнения.

№ 1. Что представляет собой множество:

а) С_АА;
б) С_А ?

№ 2. Пусть А = [1; 4], В = [2; 6]. Найдите множества А\В и В\А. Чему равно множество (А\В)(В\А)?

Найдите дополнение множества правильных треугольников в множестве всех треугольников; всех правильных многоугольников.

Дома.

Пусть А = {х/х = 2м - 1, м - целое число}, В = {х/х = 4к + 1, к - целое число}. Опишите множество А\В.

Тема 9. Проверочная работа

Цель: проверить знания и умения, учащихся по элементам теории множеств.

Справочный материал.

ВАРИАНТ 1.

№ 1. Даны множества:

А = {12; 4; 2; 78}, В = {15; 3; 24; 5}, С = {15; 3; 5; 21; 76}.

Найдите:

а) А В;  б) А В; в) В С; г) А С; д) В .

№ 2.Пусть А - множество делителей числа 80.

• Верна ли запись 7А?
• Верна ли запись 10А?
• Верна ли запись 20А?
• Составьте список элементов множества А.

№ 3. Даны множества:

а) Множество В всех прямоугольников;
б) Множество С всех четырехугольников;
в) Множество D всех квадратов;
г) Множество Е всех параллелограммов;
д) Множество F всех многоугольников.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

№ 4.. На координатной плоскости расположен треугольник АВС,

где А(0; 8), В(2; -4), С(-6; -2). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

№ 5.Найдите пересечение двух прямых у = 3х и у = х + 2. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

№ 6.Запиши с помощью фигурных скобок множество корней уравнения:

а) 2х -17 = 3;
б) (х - 4)(х - 3) = 0;
в) х² + 16 = 0.

№ 7.Пусть Е - множество, состоящее из таких чисел х, что 9 = х² = 25.

Проверьте, что [3; 5]Е. Верно ли, что [3; 5] = Е?

№ 8. Найдите ОДЗ для уравнений: а).

ВАРИАНТ 2.

№ 1. Даны множества: А = {1; 5; 7; 13}, В = {15; 3; 7; 23}, С = {17; 23; 2; 15; 3}.

Найдите:

а) А В;  б) А В; в) В С; г) А С; д) В .

№ 2. Пусть А - множество делителей числа 60.

• Верна ли запись 7А?
• Верна ли запись 10А?
• Верна ли запись 20А?
• Составьте список элементов множества А.

№ 3. Даны множества:

а) Множество А всех рациональных чисел.
б) Множество В всех целых чисел.
в) Множество С всех действительных чисел.
г) Множество D всех четных натуральных чисел.
д) Множество Е всех натуральных чисел.
е) Множество F всех натуральных чисел, делящихся на 12.

Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая обозначала подмножество предыдущего.

№ 4. На координатной плоскости расположен треугольник АВС, где А(3; 1), В(-2; -8), С(-4; 7). Сколько точек с целыми координатами, расположено на сторонах треугольника или внутри его?

№ 5. Найдите пересечение двух прямых у = х и у = 2 - х. Ответ запишите в виде множества состоящего из элементов.

№ 6. Запиши с помощью фигурных скобок множество корней уравнения:

а) 5х - 17 = 3;
б) (х - 1)(х - 2) = 0;
в) х² + 9 = 0.

№ 7. Пусть Е - множество, состоящее из таких чисел х, что 4 = х² = 9. Проверьте, что [2; 3]Е. Верно ли, что [2; 3] = Е?

№ 8. Найдите ОДЗ для уравнений: а).

Дополнительные упражнения.

№ 1. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

№ 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

№ 3.В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

№ 4.Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя иностранными языками. Сколько человек из этих 100 знают 3 языка?

№ 5. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решавших задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше - решивших задачу или девочек?

№ 6. Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24 - с колбасой, 15 - с сыром, 11 - с ветчиной и с колбасой, 8 - с ветчиной и с сыром, 12 - с колбасой и с сыром, 6 - бутерброды всех трех видов, а 5 - вместо бутербродов взяли с собой пирожки?

Литература:

1. И.Л. Никольская. "Факультативный курс по математике", учебное пособие для 7-9-х классов средней школы. М., "Просвещение", 1991.
2. К.П. Сикорский. "Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий", М., "Просвещение", 1969.
3. Н.А. Виленкин. "Алгебра" учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики, М., "Просвещение", 2005.
4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. "Справочник по математике для инженеров и учащихся ", М., "Наука", 1986.
5. А.Г.Ципкин. "Справочник по математике", для средних учебных заведений, М., "Наука", 1988.