Тема урока: "Исследование числа корней уравнения"

Тип урока: лекция.

Задачи урока:

• рассмотреть графический метод исследования числа корней уравнения;
• подготовка учащихся к ЕГЭ;
• формирование графической культуры.

Оборудование: опорный конспект лекции, индивидуальные задания, компьютер.

I. Постановка темы, задач лекции (создание проблемной ситуации).

Тема нашего урока - лекции “Исследование числа корней уравнения”. Сегодня мы рассмотрим графический метод исследования числа корней уравнения.

Перед вами - опорный конспект лекции, в котором оставлены промежутки. По ходу лекции вы можете вносить свои записи.

Опорный конспект лекции “Исследование числа корней уравнения”.

1. Абсциссы точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) являются корнями уравнения f(x)= g(x).

2. Приближенное решение уравнения с помощью графика.

а) Рассмотрим уравнение

Построив графики функций можно заключить, что уравнение имеет два корня, один из которых находится в интервале (0; 1), а другой - в интервале (2; 3).

б) Рассмотрим уравнение Корни уравнения пятой степени нельзя записать с помощью радикалов, но построив достаточно точный график, можно определить, что уравнение имеет три корня в интервалах (-1,5; -1,3), (0; 0,5) и (1; 1,3).

3. Использование монотонности.

а) Рассмотрим уравнение В левой части уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой - убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. Один корень можно угадать: х=1. Это число и является окончательным ответом.

б) Рассмотрим уравнение Одно решение х=1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет.

Перепишем уравнение так: В правой части последнего уравнения стоит сумма убывающих функций, поэтому значение у=1 эта сумма может принять только один раз. Ответ: х=1.

• Как графически изображаются корни уравнения f(x)= g(x)?
• Приведите достаточное условие для того, чтобы уравнение f(x)= g(x) имело единственный корень на отрезке [а; в]?
• Является ли приведенное Вами условие в вопросе 2 необходимым?
• В каких случаях графический метод может дать точное решение уравнения?

II. Выделение опорных знаний и умений и их оформление с помощью опорного конспекта лекции.

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным f(x)= g(x). Изобразим на одном рисунке графики функций y=f(x) и y=g(x). Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функций, т.е. корни данного уравнения.

Пример 1. Приближенное решение уравнения с помощью графика.

1) Рассмотрим уравнение . Из рисунка (см. Приложение) можно заключить, что уравнение имеет два корня, один из которых находится в интервале (0; 1), а другой - в интервале (2; 3). Можно указать эти интервалы и более точно: (0; 0,5) и (2; 2,5), еще более точно: (0,2; 0,3) и (2,2; 2,3). (Действительно, нетрудно проверить, что при х=0,2 имеем , а при х=0,3 уже ; точно так же при х=2,2, левая часть уравнения меньше правой, а при х=2,3 больше).

2) Корни уравнения пятой степени нельзя записать с помощью радикалов, но, построив достаточно точный график, можно определить, что уравнение имеет три корня в интервалах (-1,5; -1,3), (0; 0,5) и (1; 1,3).

Если уравнение имеет вид f(x)=0, то в качестве функции, стоящей в правой части, выступает функция у=0. Графиком ее будет ось х, поэтому корнями уравнения f(x)=0 будут абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью х.

• Пусть функция y=f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке

[а; в]. Если на концах этого отрезка функция у имеет разные знаки, то уравнение f(x)=0 имеет ровно один корень на этом отрезке.

• Пусть функции y=f(x) и y=g(x) определены, непрерывны и строго монотонны на отрезке [а; в], при этом характер их монотонности различен (например, если f(x) убывает, то g(x) возрастает, и наоборот). Если разность f(x)-g(x) принимает разные знаки на концах отрезка [а; в], то уравнение f(x)=g(x) имеет ровно один корень на этом отрезке.

Пример 2.

1) Рассмотрим уравнение: В левой части данного уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой - убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. Один корень можно угадать: х=1. Это число и является окончательным ответом.

2) Рассмотрим уравнение: Одно решение х=1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет.

Перепишем уравнение так: В правой части последнего уравнения стоит сумма убывающих функций, поэтому значение у=1 эта сумма может принять только один раз. Ответ: х=1.

III. Применение полученных знаний.

Применим полученные знания на практике. Выполните тест “Число корней уравнения”, выбрав предварительно уровень, соответствующий вашим знаниям и умениям.

Уровень А	g(x)=х	g(x)=4-х	g(x)=х+5	g(x)=2	g(x)=-3-х2
f(x)=х
f(x)=х2-3

Ответы:

Обобщим и систематизируем полученные знания с помощью задания “Графическое решение уравнений”. Работа проводится в группе.

3. Определите число корней уравнения.

	Уровень А	Уровень Б
1.
2.	f(x)=х2, g(x)=(х-1)2+1
3.	2х=5(х-1)(3-х)

Ответы:

V. Итог урока. Ответить на контрольные вопросы.

VI. Задание на дом:

• Доработать опорный конспект.
• Закончить выполнение задания “Графическое решение уравнений”.