Экспедиция в математическое государство Аль-Джебру

Цели:

• познакомить с основными методами решения логических задач: аналогия, сравнение, рассуждения, метод таблиц, принцип Дирихле, метод кругов Эйлера, понятиями апории, софизм и др;
• научить применять при решении задач чертежи, схемы, краткие записи, умение выбирать информацию;
• развивать логическое мышление (умения рассуждать связно, последовательно, доказательно, непротиворечиво);
• прививать познавательный интерес к предмету (необычная форма проведения урока, содержание задач);
• научить правильно и полно отвечать на вопросы, развивать речь учащихся, контролировать свою деятельность, действовать по предложенному плану;
• обучать навыкам коллективного обсуждения проблемы;
• способствовать созданию дружественной атмосферы в классе.

ХОД УРОКА

Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас гости.

1 ученик: Мы, учащиеся 7 класса, очень любим путешествовать, а еще нам очень нравится решать математические задачи.
В 5 классе мы побывали в Арифметическом государстве Карликании. По окончании 6 класса летом мы отправились в другую математическую страну Аль-Джебру.
Путешествуя, узнали немало любопытного и полезного из жизни чисел, и сегодня пришли к вам поделиться впечатлениями.
Может и вы захотите отправиться в экспедицию и так же полюбите решать математические задачи.

2 ученик: Посмотрите на карту, которую мы вам принесли. Наша экспедиция началась на острове ОАЗИС. Название его расшифровывается так: Остров Арифметических Загадок и Софизмов.

– Остров, когда мы прибыли, был совершенно необитаем, хотя там нас и встречали местные жители. Дело в том, что это только один из бесчисленных островов здешнего архипелага. Люди на нем не живут, а приезжают в выходные дни на экскурсии с других островов.

1 ученик: Высоко на скале мы заметили какие-то высеченные знаки. Настя взяла подзорную трубу и стала читать вслух: “Мапряя, чул, резоток, рипетрем… Абракадабра какая-то. Что бы это значило?”
Мимо проходили жители соседнего острова и объяснили нам, что на скале изображены анаграммы, то есть слова, в которых поменяли местами все или несколько букв в сравнении с исходными словами. Еще они заметили, что одно слово высекли на скале по ошибке. А вы можете определить какие это слова и где лишнее?

3 ученик: Ниже на скале виднелись записи:

х N : 4 < x < 5,
y N : y < 1,
m, n N : m² + n² = 25,

– Прочитайте утверждения. Какие из них истинные, а какие ложные?

– Далее мы решили спуститься в Пещеру Древних рисунков, но у входа нас поджидал контролер, который согласился нас пропустить только при условии, что мы выполним одно задание. На двери записаны знаки. Нас попросили нарисовать следующие 4 знака. Мы предлагаем вам сделать вам то же самое:

Ответ: (1, 2, 3, 4, 5 …)

2 ученик: В пещере на стенах мы увидели контрольную работу по математике в Бусирской школе. Оказывается, 3 000 лет назад на острове ОАЗИС было государство Бусирия.
Ученики Бусирской школы знали только натуральные числа и ноль, умели их складывать и вычитать, а “умножали” их по-бусирски – по правилу:

Записать на доске:

а b = ab + a + b

4 ученик: Представьте себя учениками бусирской школы и выполните контрольную работу:

1) Вычислите значения выражений:

23, 49, 0712, 58, 28 + 38, (2+3) 8.

2) Выясните, обладает ли бусирское умножение “” переместительным свойством: a b = b a?

5 ученик: Мы долго бродили по острову и очень устали. Наконец мы оказались возле двери. Я уже взялась за ручку, но дверь оказалась запертой. На ней висел замок, а в него была засунута свернутая трубочкой бумажка. 6 ученик немедленно (она все делает немедленно) прочитала:

6 ученик: “Дверь ведет на Апорийскую дорогу. И хоть длина дороги всего-навсего 1 километр, никто за 25 веков не смог пройти по ней до конца”.

5 ученик: А на обороте было написано:

6 ученик: Ключ находится у сторожа в городе Элее. Номер телефона: одна вторая. Вызвать Зенона. Просят зря не беспокоить!”.

5 ученик: Пришлось позвонить сторожу. И вот какой разговор у меня с ним произошел.

– Товарищ Зенон, почему это никто не мог одолеть один несчастный километр вашей Апорийской… или как она там называется, дороги?

7 ученик: Ясно почему. Надеюсь, вы согласитесь, что тому, кто хочет дойти до конца пути, никак не миновать его середины?

5 ученик: Что за вопрос! Как же можно дойти до конца, не пройдя середины?!

7 ученик: В том и беда. Ведь когда вы дойдете до середины пути, у вас останется еще полпути. А у этого полпути тоже есть своя середина. И только вы дойдете и до этой середины, как перед вами появится новая середина – середина оставшейся четверти пути. И так все время! Сколько бы вы не шли, перед вами всегда будет оставаться отрезок пути, а у него своя середина. Но вы же сами согласились, что не одолев середины, нельзя дойти до конца. Вот и выходит, что одолеть Апорийскую дорогу невозможно.

5 ученик: Я так разволновался от этих рассуждений Зенона, что не сумел их опровергнуть.

6 ученик (достает из кармана большой гвоздь): Но что было дальше! Ученик вытащил из своего кармана гвоздь (прямо как Том Сойер), поковырял гвоздем в замке, и … замок открылся! (Убегает в дверь открытую в коридор.)

5 ученик: Я ахнуть не успел, как он выбежал на непроходимую Апорийскую дорогу и через несколько минут закричал издалека:

6 ученик: “Я здесь! На самом конце!”

5 ученик: Молодец! Пристыдил-таки этого заумника Зенона. А как вы думаете, прав был Зенон ли нет? Почему?

Учитель рассказывает ученикам о софизмах (Приложение 1).

7 ученик: Выбрившись с Апорийской дороги мы отправились на другой остров, продолжить там свои математические исследования, и поспешили на берег океана. О радость! У причала стоял гигантский лайнер “Быстроходная улитка”. На его борту мы продолжили путешествие. Жара стояла неимоверная.

1 ученик: Вот, наконец, мы приблизились к какому-то острову, и туземцы приветствовали нас. Вместе со всеми пассажирами мы сошли на берег и оказались у ворот неизвестного города. На них красовалась надпись “КАНАЛ”. Я сразу догадалась, что-либо для нас опустят подъемный мост, как в древних рыцарских замках, либо нам придется пуститься вплавь через этот канал. Однако ни моста, ни воды поблизости не – было.

2 ученик: Мы свободно прошли через ворота и увидели ряд зданий с вывесками. На одной я прочитала “ПАНАМА”. Слово было написано странно: П-АНА-МА. Оказывается, слово “КАНАЛ” сокращенно означает Комбинат АНАЛогий, “П-АНА-МА” - это Полная АНАлогия МАтематическая.

7 ученик: Мы направились к зданию с этой вывеской. Нам очень хотелось пить, и мы направились в буфет-автомат. Но не тут-то было! В этом буфете действовали странные правила. Вдоль стены стоял ряд автоматов с газировкой. У первого был, разумеется, номер 1. Зато у следующего – номер 4, затем 13, потом следовал номер 40, потом – 121… А номер следующего автомата стерся. Наверное, там был самый вкусный напиток. Но, чтобы попробовать его, надо было опустить в него жетон с номером автомата. Мы немного подумали и сообразили, что это за число. А вы как думаете?

Решение задачи об автоматах с газировкой.

Учитель: Включаемся в работу, ребята. Вспомните, что необходимо сделать, чтобы решить задачу по аналогии?

Ученики: Надо угадать правило, по которому определяются номера автоматов.

Учитель: Как это можно сделать?

Ученики:

1) Надо сравнивать соседние числа.
2) Узнать на сколько следующее число больше или меньше другого.
3) Во сколько раз следующее число больше или меньше другого.

Учитель: Что же вы скажете о названных вам числах?

Ученики:

– 4 больше 1 на 3. (На доске и в тетрадях: 4 > 1 на 3.)
– 13 больше 4 на 9. (На доске и в тетрадях: 13 > 4 на 9.)
– 40 больше 13 на 27. (На доске и в тетрадях: 40 > 13 на 27.)
– 121 больше 40 на 81. (На доске и в тетрадях: 121 > 40 на 81.)

– Мы видим, что разность соседних чисел каждый раз увеличивается в 3 раза. Чтобы найти следующее число надо: во-первых, 81 умножить на 3, получим 243; во-вторых, 121 увеличить на 243: 121 + 243 = 364.

Если ученики не замечают этого, то учитель спрашивает:

– Как изменяется разность между соседними числами?

Номер следующего автомата – 364. Выбирают жетон с номером этого автомата и показывают всем.

6 ученик: Утолив жажду, мы возвратились на пристань, сели на свой корабль и отправились в бухту “правдолюбов” недалеко от пролива “лжецов”. Только мы успели высадиться на берег, как услышали душераздирающие вопли. Я сразу догадалась, что это был воинственный клич какого-то дикого племени. И не ошиблась.

1 ученик: Они окружили нас, пришлось сдаться в плен. Нас связали и привели и привели к вождю. Выяснилось, что дикари принадлежат к какому-то неведомому племени буль-буль. К нашему удивлению оказалось, что они очень любят математику, особенно алгебру. Кто бы мог подумать! Но алгебра у них какая-то необычная, я бы сказал… – дикая, в общем (буль) булевая алгебра. Впрочем многие правила такие же, как и у нас. Но иногда… иногда хоть за голову хватайся!

4 ученик: Все мы знаем, что А + А = 2А. У них же А плюс А так и остается А. И даже А плюс В все равно А. А вы не встречались с такой алгеброй?

Ученики 6 класса: Алгебру логики называют булевой алгеброй в честь английского математика и логика, одного из основоположников математической логики Джорджа Буля, жившего в 19 веке.

Учитель: А вы знаете, что Джордж Буль отец писательницы Этель Лилиан Войнич – автора знаменитой книги “Овод”.
Вернемся к нашей проблеме. Когда же возможно А + А = А и А + В = А.
Очевидно, что если А и В переменные, то чтобы найти их сумму надо знать значение А и В. Их сумма может равняться А, только в том случае, если В = 0, но для других значений В это невозможно. О чем же тогда идет речь, если это не переменные, принимающие числовые значения?

Учащиеся: Это могут быть множества. Для множеств А+В и А+А означают объединение этих множеств.

Учитель: Как же тогда получается, что возможно равенство А + В = А?

Учащиеся:

1) Множество – это все мальчики нашего класса, множество В – это все девочки нашего класса. Тогда А + В = А U В = А – это весь класс.
2) А – “Множество всех учащихся нашей школы”, В – “Множество учащихся 6 “А” класса”. А + В = А.
3) А – “множество всех чисел”, В – “множество четных чисел”.
4) А – “Множество всех углов”, В – “Множество острых углов”.

Учитель: Какой можно сделать вывод?

Учащиеся: Если одно из множеств является частью (подмножеством) другого множества, то их объединение равно одному из множеств.

Записывают на доске и в тетрадях:

3 ученик: Чтобы освободиться из плена, мы должны были решить такую задачу: “Трех вождей племен зовут Орел, Сокол и Ястреб, один из них носит прозвище Зоркий, другой Быстрый, а третий – Дикий. Назовите полные имена вождей, если Зоркий, Быстрый и Орел вместе ходили охотиться на тигра, а Быстрый и Сокол – лучше всех стреляют из лука”. Мы быстро разобрались в ней и получили свободу. Эту задачу мы принесли вам.

1 ученик: Дикари даже согласились нас проводить, так как только они знали тропинки в тропическом лесу, но за это они потребовали ответить на вопрос: “На их острове всего 30 воинов. 20 из них ежедневно тренируются в стрельбе из лука, а 16 – в метании копья. Как такое могло случиться? И сколько человек тренируются только в стрельбе из лука? Если известно, что все 30 воинов ежедневно ходят на тренировки”.
Мы справились и с этим заданием. Надеюсь и у вас оно не вызовет затруднений.

2 ученик: Наше путешествие закончилось в столице Аль-Джебры городе Рио-де-Магистро, где в это время проходил симпозиум, посвященный 200-летию немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859 гг). Его работой руководил почетный ореофаг (совет старейшин), состоящий из 13 самых лучших математиков страны.

7 ученик: Первым в повестке дня был вопрос о 5 зайцах и 4 клетках, в которые необходимо было этих зайцев посадить. Мы весело провели время, гоняясь за зайцами по лужайке. А посадили их так: в трех клетках по одному зайцу, а в одной – два.

6 ученик: Затем нам предложили решить задачу: Докажите, что среди членов ореофага есть как минимум два человека, родившихся в один месяц. Она оказалась очень простой.

4 ученик: Вот мы и рассказали вам о нашей экспедиции в Аль-Джебру. А тепрь предлагаем вам разобраться в решении задач, которые привезли оттуда. Желаем вам успеха.

1 ученик: А нам пора готовиться к новому путешествию. Мы хотим разгадать секрет рыцаря Черная маска из Аль-Джебры и погулять по городу Пифагорску.

После того, как учащиеся 7-го класса уходят, 6 класс с учителем разбирают решения оставшихся задач и если останется время решают другие задачи.

Учитель: Итак, нам оставили 3 задачи. Дело чести, разобраться в их решении. Еще раз послушайте условие 1-ой задачи. Для того чтобы быстро решить ее, попытаемся все данные записать в таблице. (Учащиеся берут заранее заготовленные начерченные таблицы и заполняют ее). Учитель заполняет такую же таблицу, закрепленную на доске:

– Запишем имена вождей в первый столбик, а прозвища в верхнюю строчку. Известно, что Зоркий, Быстрый и Орел вместе ходили охотиться на тигра. Какое прозвище у Орла?

Ученики: Орел не может быть ни Быстрым, ни Зорким, значит он Дикий.

Учитель: Отметим это в таблице. Поставим плюс в пересечении первой строки и последнего столбца. Далее в задаче сказано, что Быстрый и Сокол лучше всех стреляют из лука.

Ученики: Сокол не может быть Быстрым, значит он – Зоркий.

Если ученики не догадались, учитель спрашивает:

– Может ли Сокол быть Быстрым? Почему? Отметим это в таблице. Какое прозвище у Орла?

Ученики: У Орла прозвище Быстрый.

Учитель: У нас осталось не очень много времени. Быстро включайтесь в решении второй задачи. Прочтите ее внимательно и подумайте, как нам сделать краткую запись для этой задачи. Нам надо изобразить множества лучников и метателей копья. Назовем их L и К. Как они расположатся? Будут ли иметь общие точки? Почему?

Ученики: Эти множества будут пересекаться. Если бы они не имели общих элементов, то лучников и метателей копья было бы вместе 30 человек, но их 20 + 16 = 36. Это значит, что некоторые воины и стреляют из лука и метают копье.

Учитель: Изобразите эти множества у себя в тетради и на доске.

Вызывает ученика к доске.

Учитель: Как же узнать, сколько воинов тренируются дважды в день?

Ученики записывают равенство: L К = (20 + 16) – 30 = 6 и делают вывод, что 6 человек и стреляли из лука, и метали копье. Отмечают этот факт на диаграмме.

Учитель: Как же нам узнать, сколько человек только стреляли из лука?

Ученики: Всего из лука стреляли 20 воинов, но 6 из них еще метают копье, значит, 20 – 6 = 14 человек только стреляют из лука.

Отмечают это на диаграмме, а заодно объясняют, сколько человек только метали копье. Записывают ответ в тетрадях.

Учитель: И, наконец, последняя задача из экспедиции. Вы очень удивитесь, но рассказ о ловле зайцев имеет к ней непосредственное отношение. Легко понять, что пять зайцев невозможно посадить в четыре клетки так, чтобы в каждой было только по одному зайцу. В одной клетке обязательно будет больше одного зайца. Это утверждение поможет нам решить третью задачу. Читаем ее еще раз.
Предположим, что одни из членов совета старейшин родился в январе, другой – в феврале, третий – в марте и т.д. В каком месяце тогда родился двенадцатый член совета?

Ученики: Он родился в декабре.

Учитель: В году всего 12 месяцев. Тринадцатый старейшина родился в один из двенадцати месяцев, например, в апреле, но в апреле родился и четвертый из них, что доказывает требуемое в задаче. Мы рассмотрели самый уникальный случай, когда двенадцать членов ореофага родились в разные месяцы.
Рассуждения, которые мы провели напоминают нам о зайцах, только 12-ю “Клетками” у нас были месяцы, а “зайцев”-членов ореофага было 13.
Мы использовали в решении этой задачи принцип, который сформулировал Петер Дирихле. Его так и называют “принцип Дирихле”. Значит, не случайно на двухсотлетнем юбилее математики устроили гонки за зайцами.
Все задачи, которые мы сегодня решали, носят название логических. Мы продолжаем знакомится с наукой Логикой.
– А сейчас я предлагаю вам выполнить самостоятельную работу. Какая из сегодняшних задач вам понравилась больше? На листах вам предложено 4 задачи, выберите одну-две на понравившийся метод и решите ее.

1) На аналогии: Вставьте недостающее число.

Решение. 6 – 4 = 2, 9 – 6 = 3, 13 – 9 = 4, 18 – 13 = 5, значит искомое число 18 + 6 = 24.

2) Четыре школьника, имена которых Андрей, Пётр, Иван и Фёдор, имели фамилии Андреев, Петров, Иванов и Фёдоров. Но ни у одного из них собственные имя и фамилия не были одинаковыми. Требуется определить фамилию каждого из школьников, если известно следующее:

1. Андрей, Иванов и Федоров вместе занимаются в спортивной секции.
2. Петр, Иван и Андреев вместе ходили в поход.

Решение:

3) “В 6 “А” классе 21 ученик, 15 учеников занимаются в кружке “Валеология”, а 10 ходят на секцию по баскетболу, сколько человек занимаются только в кружке “Валеология”. И сколько занимаются в двух кружках”.

Решение.

(15 + 10) – 21 = 4 (уч) занимаются в двух кружках одновременно.

15 – 4 = 11 (уч) занимаются только в кружке “Валеология”.

4) Принцип Дирихле: “Из коробки, в которой находится 4 красных и 3 синих карандаша, наугад извлекают карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего карандаша”

Решение: 4 + 1 = 5 карандашей.

Учитель: Подведем итоги. Что нового узнали? С какими методами решения логических задач познакомились? Какие из задач вам больше понравились?

Домашнее задание: Вы можете тоже выбрать сами: на столе лежат задания на разноцветной бумаге (Приложение 2). Выходя из класса возьмите одну или две задачи любого цвета.