1. Задача, посвященная числу 2006
Решите уравнение:
(2006х + 1)3 + (2006х + 2)3 + ... + (2006х + 2005)3 + (2006х + 2006)3 = 0
Решение:
[(2006х + 1)3 + (2006х + 2006)3 ] + [(2006х
+ 2)3 + (2006х + 2005)3 ] + ...
… + [(2006х + 1003)3 + (2006х + 2004)3]
= (2006x + 1 + 2006x + 2006) [(2006х + 1)2
– (2006х + 1)(2006x + 2006) + (2006х +
2006)2] + + (2006х + 2 + 2006x + 2005)
[(2006х + 2)2 – (2006х + 2)(2006x + 2005)
+ (2006х + 2006)2] + … + (2006x + 1003 + 2006x
+ 1004) [(2006x + 1003)2 – (2006x + 1003)(2006x
+ 1004) + (2006x + 1004)2] = (4012x + 2007) [(2006x
+ 1)2 – (2006x + 1)(2006x + 2006) + (2006x + 2006)2] +
(4012x + 2007) [(2006x + 2)2 – (2006x + 2)(2006x
+ 2005) + (2006x + 2005)2] + … + (4012x + 2007) [(2006x
+ 1003)2 – (2006x + 1003)(2006x + 1004) + (2006x +
1004)2] = (4012x + 2007)х
| х[((2006x + 1)2 – (2006x + 1)(2006x
+ 2006) + (2006x + 2006)2) + ________________________________________________________ |
A1 |
| ((2006x + 2)2 – (2006x + 2)(2006x + 2005) +
(2006x + 2005)2) + … ________________________________________________________ |
A2 |
| ((2006x + 1003)2 – (2006x + 1003)(2006x +
1004) + (20006x + 1004)2)] = ____________________________________________________________ |
А1003 |
(4012х + 2007) (A1 + A2 + … + А1003)
= 0,
4012х + 2007 = 0.
х = 
Каждое из выражений А1, А2, …, А1003 есть неполный квадрат разности двух выражений, причем А1 > 0, А2 > 0, …, А1003 > 0.
Докажем это:
a2 – ab + b2 = a2
– 2ab + b2 + ab = (a
– b)2 + ab.
(a – b)2 > 0 при a =/= b.
Eсли a < 0, b < 0, то ab>0 и (a – b)2 + ab
>0.
Если a и b имеют разные знаки (ab < 0),
то a2 – ab + b2 = a2 + b2
– ab = a2 + b2 + (
– ab).
a2 + b2 >0, – ab
> 0.
a2 – ab + b2 >0.
Ai > 0
при любом х.
Данное уравнение имеет один корень в области действительных чисел
х = –
Задачу составил Напалков В. М., преподаватель математики ПЛ – 66, г. Нижнекамск.
2. Построить график функции:
3. Построить график функции:
4. Найти наибольшее возможные значение суммы А = 2006 cos x + 2007sin x не используя производную и методы векторной алгебры. (х ? R).
Решение:
5. Доказать, что
6. Вычислить интеграл:
7. Вычислить
Решение:
Используя геометрическую интерпретацию интеграла, получим:
Заштрихованная часть искомая площадь SABC =
9; 
8. Задача
В трапеции ABCD AB CD через точку пересечения
диагоналей проведена прямая, пересекающая
стороны BC и AD в точках N и M , причем M N CD, M N
= 1337
,
CD = 1003. Найти AB.
Решение.
