Технология обучения математике на основе решения задач повышенной трудности на занятиях в кружке математики
1. Задача, посвященная числу 2006
Решите уравнение:
(2006х + 1)3 + (2006х + 2)3 + ... + (2006х + 2005)3 + (2006х + 2006)3 = 0
Решение:
[(2006х + 1)3 + (2006х +
2006)3 ] + [(2006х + 2)3
+ (2006х + 2005)3 ] + ...
… + [(2006х + 1003)3 + (2006х +
2004)3] = (2006x + 1 +
2006x + 2006) [(2006х + 1)2 –
(2006х + 1)(2006x + 2006) + (2006х +
2006)2] + + (2006х + 2 +
2006x + 2005) [(2006х + 2)2 –
(2006х + 2)(2006x + 2005) + (2006х +
2006)2] + … + (2006x + 1003 +
2006x + 1004) [(2006x + 1003)2
– (2006x + 1003)(2006x + 1004) +
(2006x + 1004)2] = (4012x +
2007) [(2006x + 1)2 – (2006x +
1)(2006x + 2006) + (2006x +
2006)2] + (4012x + 2007)
[(2006x + 2)2 – (2006x +
2)(2006x + 2005) + (2006x + 2005)2] +
… + (4012x + 2007) [(2006x + 1003)2 –
(2006x + 1003)(2006x + 1004) + (2006x +
1004)2] = (4012x +
2007)х
| х[((2006x + 1)2 – (2006x
+ 1)(2006x + 2006) + (2006x + 2006)2)
+ ________________________________________________________ |
|
A1 |
| ((2006x + 2)2 – (2006x +
2)(2006x + 2005) + (2006x + 2005)2) +
… ________________________________________________________ |
|
A2 |
| ((2006x + 1003)2 – (2006x +
1003)(2006x + 1004) + (20006x +
1004)2)] = ____________________________________________________________ |
|
А1003 |
(4012х + 2007) (A1 + A2 + …
+ А1003) = 0,
4012х + 2007 = 0.
х = 
Каждое из выражений А1, А2, …, А1003 есть неполный квадрат разности двух выражений, причем А1 > 0, А2 > 0, …, А1003 > 0.
Докажем это:
a2 – ab + b2 = a2
– 2ab + b2 +
ab = (a – b)2
+ ab.
(a – b)2 > 0 при a =/=
b.
Eсли a < 0, b < 0, то ab>0 и
(a – b)2 + ab
>0.
Если a и b имеют разные знаки (ab <
0), то a2
– ab + b2 = a2 + b2
– ab = a2 +
b2 + ( – ab).
a2 + b2
>0, – ab > 0.
a2 – ab + b2
>0.
Ai > 0 при любом х.
Данное уравнение имеет один корень в области действительных чисел
х = –
Задачу составил Напалков В. М., преподаватель математики ПЛ – 66, г. Нижнекамск.
2. Построить график функции:
3. Построить график функции:
4. Найти наибольшее возможные значение суммы А = 2006 cos x + 2007sin x не используя производную и методы векторной алгебры. (х ? R).
Решение:
5. Доказать, что
6. Вычислить интеграл:
7. Вычислить
Решение:
Используя геометрическую интерпретацию интеграла, получим:
Заштрихованная часть искомая площадь SABC = 9;
8. Задача
В трапеции ABCD AB CD через точку пересечения диагоналей
проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках N
и M , причем M N CD, M N = 1337
, CD = 1003. Найти AB.
Решение.
