Цели:
1. Обучающие:
- сформировать представление о новом свойстве прямоугольных треугольников, известном как теорема Пифагора;
- доказать теорему Пифагора;
- выработать первичные навыки применения её для решения треугольников;
- показать возможность вариативных доказательств теоремы.
2. Развивающие:
- формировать логическое мышление учащихся; развивать познавательный интерес;
- работать над правильностью математической речи, графической культуры.
3. Воспитывающие:
- выработать навыки самоорганизации учебной деятельности воспитывать аккуратность, сознательную дисциплину, товарищеские отношения.
Тип урока – урок формирования новых знаний.
Методы обучения: эвристическая беседа, практическая работа, устное решение задач по готовым чертежам, решение задач из учебника, самостоятельная работа, дополнительные сообщения учащихся.
Оборудование: портрет, плакат с доказательствами теоремы Пифагора, модели прямоугольных треугольников, карточки с индивидуальными заданиями.
Литература:
- Учебник геометрии 7 – 9 Л.С. Атаносян и другие 1998.
- “За страницами учебника математики”, И.Я. Депман, Веленкин Н.Я. Москва Просвещение 1989г.
- История математики в школе 7 – 9 класс, Глейзер Г.И. Москва Просвещение, 1982 г.
- Словарь юного математика.
План.
- Создание проблемной ситуации при выполнении практической работы постановка цели урока (5 минут)
- Историческая справка о жизни Пифагора (1 минута)
- Актуализация опорных знаний (5 минут)
- Доказательство теоремы Пифагора (7 минут)
- Закрепление и первичный контроль (15 минут)
- Итоги урока и домашнее задание (2 минуты)
- Знакомство с альтернативными доказательствами и с историей теоремы Пифагора.
Оформление доски
Ход урока
1. Организационный момент
Здравствуйте, садитесь. Запишите в тетради число, “Классная работа”.
Начнем урок с выполнения практической работы. Задание. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трем сторонам I вариант 3, 4, 5 см. II вариант 6, 8, 10 см.
Индивидуальные задания: постройте треугольник со сторонами 10, 11 и 12 см. и проверьте верно ли равенство 10?+11?=12?
2. Беседа
Какого вида получился треугольник? (прямоугольный) Попробуйте установить зависимость между сторонами треугольника, возведите длины сторон в квадрат и составьте равенство (3?+4?=5?, 6?+8?=10? - записать на доске).
Вспомните название сторон прямоугольного треугольника (катет и гипотенуза).
Прочитайте получившееся равенство со словами катет и гипотенуза.
Итак, вы сформулировали новое свойство прямоугольных треугольников.
Давайте посмотрим, обладают ли аналогичным соотношением сторон не прямоугольные треугольники.
Ребята выполняли такую же работу, но с другими числами у них получились тупоугольный и остроугольный треугольник, и в обоих случаях равенство из квадратов сторон не выполняется, значит полученным соотношением обладают только прямоугольные треугольники. А сейчас я попрошу вас еще раз сформулировать новое свойство прямоугольного треугольника.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
А знаете, вы ведь сейчас сформулировали знаменитую теорему Пифагора, сегодня мы рассмотрим её доказательство и начнем её применять к решению задач.
3. Историческая справка.
Послушайте небольшой рассказ о Пифагоре.
(Ученик) В Древней Греции жил ученый Пифагор (580 – 500 г. до н.э.). О жизни его известно немного, зато с его именем связано много легенд. Рассказывают, он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.
Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, в кружок принимались с большими церемониями, после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя, так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией возникла, так называемая, Пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками, ими было сделано много важнейших открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так что установить о Пифагоре правду невозможно.
4. Актуализация опорных знаний.
При доказательстве теоремы Пифагора мы будем использовать свойства площадей, давайте их вспомним. И чтобы успешнее справиться с доказательством, решим такие задачи.
Задача №1.
Найти площадь прямоугольного треугольника, со сторонами 2 и
4 см.(рисунок на альбомном листе)
Задача №2.
Найти угол 3 по рисунку, если угол 1+угол 2 = 90
Задача №3.
По данным рисунка на доске докажите, что четырехугольник КМНП является квадратом.
Что вы скажите о треугольниках КВМ, МСН, НДП, КАП(равны их гипотенузы).
И тогда какая фигура внутри(ромб).
Что нужно чтобы ромб стал квадратом? (прямой угол).
Рассмотрите углы с вершиной в точке К, что вы заметили(рисунок похож на устную задачу).
Можно ли сказать что угол 1 + угол 2 = 90 градусов? Почему?
(Угол 1 равен углу П, как соответственные углы равных треугольников. По свойству прямоугольных треугольников, угол П + угол 2 = 90 градусов, значит угол1 + угол2 = 90 градусов, и значит ромб является квадратом.
5. Мы основательно подготовились к доказательству теоремы Пифагора. У вас на столах лежат модели прямоугольных треугольников, воспользуйтесь ими и постройте прямоугольный треугольник, обозначьте катеты, а, б, гипотенузу с. Достройте треугольник до квадрата со стороной а+б, как на рисунке предварительной задачи, подпишите стороны.
Из каких фигур состоит квадрат?(из четырех равных треугольников и квадрата.
Запишем площадь большого квадрата по второму свойству площадей S=4 S треуг. +S квадр.
Как найти площадь большого квадрата по третьему свойству, малого квадрата прямоугольных треугольников.
6. Закрепление. Для закрепления теоремы выполним несколько устных задач.
Задача №1. Составьте верное равенство, связывающие стороны треугольника, используя теорему Пифагора.
7. Письменная задача № 487 из учебника.
Дано: треугольник АВС, АВ=ВС=17см, АС=16см, ВН-высота.
Найти: ВН
Решение:
Треугольник АВС равнобедренный, значит высота ВН является медианой, т.е. АН=НС=8см.
Рассмотрим треугольник ВНС – прямоугольный, по теореме Пифагора ВН?=ВС?-НС?, ВН?=17?-8?=225, ВН=15см.
Ответ: ВН=15см.
Итак, мы решили несколько устных задач и одну письменную, теперь я хочу проверить все ли вы усвоили теорему и сумеете ли самостоятельно её применить к решению задач.
Самостоятельная работа
К доске прикреплены треугольники. Найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника. (На боковой доске решают двое учащихся…).
| I-Вариант | II-Вариант |
 |
|
8. Проверьте свое решение по решению на доске…
Ну что ж, вы молодцы. Хорошо справились с заданиями, значит, теорема Пифагора вам покорилась. Дома еще раз закрепите полученные вами знания.
Д/З: Пункт 54 № 483, № 486, № 488.
Исторические сведения о теореме:
Долгое время считалась, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что она встречалась в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 есть прямоугольный, знали за две тысячи лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим соотношение для построения прямых углов. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольных треугольников, он, вероятно, первым сумел его строго доказать. Сначала это равенство было установлено для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе содержит четыре треугольника, а на каждом катете квадрат содержит по два треугольника, поэтому площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах, именно так она формулировалась в древности. “Пифагоровы штаны во все стороны равны”.
А вот так наглядно доказывали теорему индусы, сопровождая рисунок лишь одним словом, “смотри”, на рисунке изображены два равных квадрата, каждый квадрат разбит на части, состоит из квадратов и равных треугольников. Ясно что если из площади большего квадрата вычесть четыре площади треугольника, то получим равные площади. Отсюда с?=а?+в?.
9. Сообщение ученикам.
Доказательство теоремы Гарфилда. А вот еще одно доказательство, похожее на наше, только мы достраивали треугольник до квадрата, а Гарфилд - до прямоугольной трапеции.
В 8-9 классах мы еще будем встречаться с другими доказательствами теоремы Пифагора, а я вам предлагаю выполнить творческие задания: Разобрать и подготовить в виде сообщения одно из доказательств взятых из газеты, книг. А теперь немного шутки. И вот такие карикатуры рисовали ученики средних веков на теорему Пифагора, они называли её “ветряной мельницей”, ослиным мостом, бегством убогих. В те времена её немногие могли выучить, она казалась нерадивым ученикам непреодолимым препятствием.
10. Значение теоремы.
Теорема Пифагора одна из главных теорем геометрии, её значение состоит в том, что из неё и с её помощью можно вывести большинство теорем, она широко используется в различных областях науки: технике, практической жизни, и если бы надо было послать в космос сигнал, чтобы внеземные цивилизации узнали о существовании разумной жизни на земле, то послать можно было бы рисунок теоремы Пифагора.
Закончить урок мне хочется легендой. Существует легенда, что Пифагор в честь своего открытия принес в жертву Богам сто быков, что и послужило поводом для создания этого стихотворения. - Урок закончен. Всем спасибо.