Цель: “Получить ученика” умеющего решать логарифмические и показательные неравенства методом интервалов.

Задачи:

1. Выявить уровень сформированности математического и логического мышления.
2. Развить и усовершенствовать навыки решения неравенств методом интервалов.
3. Проверить знания основных разделов школьной математики.

Для успешного решения большинства логарифмических и показательных неравенств является умение преобразовывать исходное неравенство к более простому. Нашими преобразованиями будут равносильные переходы. Мы предлагаем решение неравенств методом интервалов (знаменитый метод интервалов, которым учащиеся начинают пользоваться с восьмого класса).

Рассмотрим шесть основных видов неравенств, которые можно решить методом интервалов.

В курсе математического анализа для 10-11классов доказывается теорема: “Если непрерывная на и не обращается в нуль на открытом промежутке то имеет один тот же знак во всех внутренних точках отрезка ”. Это и есть основание для метода интервалов для неправильной функции: найти нули и определить знаки на промежутках между соседними нулями вычислив значение в пробных точках.

Рассмотрим неравенство вида:

Пусть и непрерывные функции на некотором промежутке , где , тогда и тоже непрерывные функции на . И решение неравенства зависит от того, что или .

если , то и

если , то и опять

Верно и обратное:

если , то при , и

при , и опять

Таким образом мы заметили, что знак разности совпадает со знаком произведения .

И можно вывести условие равносильности .

Рассмотрим неравенство вида: , где ,непрерывные функции. ОДЗ .

Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве основания число е, по основному логарифмическому тождеству ^lna(x)

Рассматриваемое неравенство принимает вид используя предыдущее условие равносильности получаем неравенство

Знак совпадает со знаком произведения , тогда

Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ

Логарифмические неравенства вида: и пусть и

положительные функции и непрерывны на (с;d),

если то то есть

если то , то есть

И, наоборот.

Если то при то

при то

полное условие равносильности включающее ОДЗ можно записать так

Аналогично доказывается, что верно и следующее условие равносильности

Неравенства для логарифмов с переменным основанием вида и

где непрерывные на промежутке J

ОДЗ: также имеют условия равносильности знак функции совпадает со знаком произведения .

А теперь все условия равносильности для всех видов неравенств.

1.

2.

3.

4.

5а. -

5б.

6а.

6б.

Преимущество и красота приведенных выше условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований.

Замечание:

Если основание логарифма и подлогарифмические выражения являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов (а не обобщенным).

Все условия равносильности логарифмических неравенств с основанием формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а поэтому легко запоминаются.

При решении строгих неравенств условие можно опустить так как это условие включено в полное условие равносильности.

Практическая часть.

Решите неравенства

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.
19.

20. Найти все значения параметра а, для каждого из которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решения:

№ 1. .

ОДЗ

Ответ:

№ 2.

,, Ответ:

№ 3.

Ответ:

№ 4.

и

Ответ:

№ 5.

Ответ:

№ 6. ,

Д=

Ответ:

№ 7.

Ответ:

№ 8. .

Ответ:

№ 9.

Ответ:

№ 10.

Ответ:

№ 11.

ОДЗ для переменной х,

Ответ: (-2;-1)

№ 12.

Ответ:

№ 13.

ОДЗ для переменной х,

Д=4+76=80

Ответ:

№ 14.

, так как

С учетом ОДЗ для переменной, ответ:

№ 15.

(2) и (4) дублируют друг друга

Ответ:

Самостоятельно №16, 17, 18, 19, 20.

Ответы для самоконтроля:

№ 16.

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

Самостоятельно решить следующие неравенства, которые предлагались выпускникам

2006 года на ЕГЭ задание С5 (Приложение №1)

Данные неравенства и метод их решения вполне доступны учащимся классов с углубленным изучением математики. В общеобразовательных классах они могут быть использованы на интегрированных уроках, на факультативных занятиях, элективных курсах или кружковых занятиях. Решение неравенств вызывает интерес к математике, позволяет систематизировать знания, способствует развитию логического мышления и творческих навыков.

В работе использовалась следующая литература: Т. С. Пиголкина, ФЗФТШ при МФТИ 2006год. “Решение уравнений”. Тренировочные задания по математике ЕГЭ – 2006.

М. И. Сканави “Сборник решений задач для поступающих в ВУЗы”, Москва 1999 год.