Цель: “Получить ученика” умеющего решать логарифмические и показательные неравенства методом интервалов.
Задачи:
- Выявить уровень сформированности математического и логического мышления.
- Развить и усовершенствовать навыки решения неравенств методом интервалов.
- Проверить знания основных разделов школьной математики.
Для успешного решения большинства логарифмических и показательных неравенств является умение преобразовывать исходное неравенство к более простому. Нашими преобразованиями будут равносильные переходы. Мы предлагаем решение неравенств методом интервалов (знаменитый метод интервалов, которым учащиеся начинают пользоваться с восьмого класса).
Рассмотрим шесть основных видов неравенств, которые можно решить методом интервалов.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
В курсе математического анализа для 10-11классов
доказывается теорема: “Если
непрерывная на
и не обращается в нуль на
открытом промежутке
то
имеет один тот же знак во всех
внутренних точках отрезка
”. Это и есть основание для
метода интервалов для неправильной функции:
найти нули
и определить знаки
на
промежутках между соседними нулями вычислив
значение в пробных точках.
Рассмотрим неравенство вида:
Пусть и
непрерывные функции на некотором
промежутке
, где
, тогда
и
тоже непрерывные функции на
. И
решение неравенства
зависит от того, что
или
.
если , то
и
если , то
и опять
Верно и обратное:
если , то при
,
и
при ,
и опять
Таким образом мы заметили, что знак разности
совпадает со знаком произведения
.
И можно вывести условие равносильности .
Рассмотрим неравенство вида: , где
,
непрерывные
функции. ОДЗ
.
Воспользуемся определением сложной
экспоненты, взяв в качестве основания число е, по
основному логарифмическому тождеству lna(x)
Рассматриваемое неравенство принимает вид
используя предыдущее условие равносильности
получаем неравенство
Знак совпадает со знаком произведения
, тогда
Можно записать полное условие равносильности,
включающее ОДЗ
Логарифмические неравенства вида: и
пусть
и
положительные функции и непрерывны на (с;d),
если то
то есть
если то
, то есть
И, наоборот.
Если то при
то
при то
полное условие равносильности включающее ОДЗ
можно записать так
Аналогично доказывается, что верно и следующее
условие равносильности
Неравенства для логарифмов с переменным
основанием вида и
где
непрерывные
на промежутке J
ОДЗ: также имеют условия равносильности
знак функции
совпадает со знаком произведения
.
А теперь все условия равносильности для всех видов неравенств.
1.
2.
3.
4.
5а.
-
5б.
6а.
6б.
Преимущество и красота приведенных выше условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований.
Замечание:
Если основание логарифма и подлогарифмические выражения являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов (а не обобщенным).
Все условия равносильности логарифмических
неравенств с основанием формально точно такие же,
как и для логарифмов с постоянным основанием, а
поэтому легко запоминаются.
При решении строгих неравенств условие можно
опустить так как это условие включено в полное
условие равносильности.
Практическая часть.
Решите неравенства
1. ![]() |
10.![]() |
2. ![]() |
11. ![]() |
3. ![]() |
12. ![]() |
4. ![]() |
13. ![]() |
5. ![]() |
14. ![]() |
6. ![]() |
15. ![]() |
7. ![]() |
16. ![]() |
8. ![]() |
17. ![]() |
9. ![]() |
18. ![]() |
19. ![]() |
20. Найти все значения параметра а, для каждого
из которых неравенство имеет хотя бы одно решение.
Решения:
№ 1. ![]() |
ОДЗ ![]() |
Ответ:
№ 2.
,
, Ответ:
№ 3.
Ответ:
№ 4.
и
Ответ:
№ 5.
Ответ:
№ 6. ,
Д=
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ответ:
№ 7.
Ответ:
№ 8. .
Ответ:
№ 9.
Ответ:
№ 10.
Ответ:
№ 11.
ОДЗ для переменной х,
Ответ: (-2;-1)
№ 12.
Ответ:
№ 13.
ОДЗ для переменной х,
Д=4+76=80
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ответ:
№ 14. ![]() |
![]() |
,
так как
С учетом ОДЗ для переменной, ответ:
№ 15.
(2) и (4)
дублируют друг друга
Ответ:
Самостоятельно №16, 17, 18, 19, 20.
Ответы для самоконтроля:
№ 16.
№ 17.
№ 18.
№ 19.
№ 20.
Самостоятельно решить следующие неравенства, которые предлагались выпускникам
2006 года на ЕГЭ задание С5 (Приложение №1)
Данные неравенства и метод их решения вполне доступны учащимся классов с углубленным изучением математики. В общеобразовательных классах они могут быть использованы на интегрированных уроках, на факультативных занятиях, элективных курсах или кружковых занятиях. Решение неравенств вызывает интерес к математике, позволяет систематизировать знания, способствует развитию логического мышления и творческих навыков.
В работе использовалась следующая литература: Т. С. Пиголкина, ФЗФТШ при МФТИ 2006год. “Решение уравнений”. Тренировочные задания по математике ЕГЭ – 2006.
М. И. Сканави “Сборник решений задач для поступающих в ВУЗы”, Москва 1999 год.