Цель: “Получить ученика” умеющего решать логарифмические и показательные неравенства методом интервалов.
Задачи:
- Выявить уровень сформированности математического и логического мышления.
- Развить и усовершенствовать навыки решения неравенств методом интервалов.
- Проверить знания основных разделов школьной математики.
Для успешного решения большинства логарифмических и показательных неравенств является умение преобразовывать исходное неравенство к более простому. Нашими преобразованиями будут равносильные переходы. Мы предлагаем решение неравенств методом интервалов (знаменитый метод интервалов, которым учащиеся начинают пользоваться с восьмого класса).
Рассмотрим шесть основных видов неравенств, которые можно решить методом интервалов.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
В курсе математического анализа для 10-11классов
доказывается теорема: “Если 
непрерывная на 
и не обращается в нуль на
открытом промежутке 
то 
имеет один тот же знак во всех
внутренних точках отрезка 
”. Это и есть основание для
метода интервалов для неправильной функции:
найти нули 
и определить знаки 
на
промежутках между соседними нулями вычислив
значение в пробных точках.
Рассмотрим неравенство вида: 
Пусть 
и 
непрерывные функции на некотором
промежутке 
, где 
, тогда 
и 
тоже непрерывные функции на 
. И
решение неравенства 
зависит от того, что 
или 
.
если 
, то 
и 
если 
, то 
и опять 
Верно и обратное:
если 
, то при 
, 
и 
при 
, 
и опять 
Таким образом мы заметили, что знак разности 
совпадает со знаком произведения 
.
И можно вывести условие равносильности 
.
Рассмотрим неравенство вида: , где 
,
непрерывные
функции. ОДЗ 
.
Воспользуемся определением сложной
экспоненты, взяв в качестве основания число е, по
основному логарифмическому тождеству 
lna(x)
Рассматриваемое неравенство принимает вид 
используя предыдущее условие равносильности
получаем неравенство
Знак 
совпадает со знаком произведения 
, тогда
Можно записать полное условие равносильности,
включающее ОДЗ 
Логарифмические неравенства вида: 
и 
пусть 
и 
положительные функции и непрерывны на (с;d), 
если 
то 
то есть 
если 
то 
, то есть 
И, наоборот.
Если 
то при 
то 
при 
то 
полное условие равносильности включающее ОДЗ
можно записать так 
Аналогично доказывается, что верно и следующее
условие равносильности 
Неравенства для логарифмов с переменным
основанием вида 
и
где 
непрерывные
на промежутке J
ОДЗ: 
также имеют условия равносильности
знак функции 
совпадает со знаком произведения 
.
А теперь все условия равносильности для всех видов неравенств.
1. 
2. 
3. 
4. 
5а. 
- 
5б. 
6а. 
6б. 
Преимущество и красота приведенных выше условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований.
Замечание:
Если основание логарифма и подлогарифмические выражения являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов (а не обобщенным).
Все условия равносильности логарифмических
неравенств с основанием 
формально точно такие же,
как и для логарифмов с постоянным основанием, а
поэтому легко запоминаются.
При решении строгих неравенств условие 
можно
опустить так как это условие включено в полное
условие равносильности.
Практическая часть.
Решите неравенства
1.  |
10. |
2.  |
11.  |
3.  |
12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
6.  |
15.  |
7.  |
16.  |
8.  |
17.  |
9.  |
18.  |
19.  |
20. Найти все значения параметра а, для каждого
из которых неравенство 
имеет хотя бы одно решение.
Решения:
| № 1. . |
ОДЗ  |
Ответ: 
№ 2.
,
, Ответ:
№ 3.
Ответ: 
№ 4.
и 
Ответ: 
№ 5.
Ответ: 
№ 6. ,
Д= 
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Ответ: 
№ 7.
Ответ: 
№ 8. .
Ответ: 
№ 9.
Ответ: 
№ 10.
Ответ: 
№ 11.
ОДЗ для переменной х, 
Ответ: (-2;-1)
№ 12.
Ответ: 
№ 13.
ОДЗ для переменной х, 
Д=4+76=80
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Ответ: 
| № 14. |
 |
,
так как 
С учетом ОДЗ для переменной, ответ: 
№ 15.
(2) и (4)
дублируют друг друга
Ответ: 
Самостоятельно №16, 17, 18, 19, 20.
Ответы для самоконтроля:
№ 16. 
№ 17. 
№ 18. 
№ 19. 
№ 20. 
Самостоятельно решить следующие неравенства, которые предлагались выпускникам
2006 года на ЕГЭ задание С5 (Приложение №1)
Данные неравенства и метод их решения вполне доступны учащимся классов с углубленным изучением математики. В общеобразовательных классах они могут быть использованы на интегрированных уроках, на факультативных занятиях, элективных курсах или кружковых занятиях. Решение неравенств вызывает интерес к математике, позволяет систематизировать знания, способствует развитию логического мышления и творческих навыков.
В работе использовалась следующая литература: Т. С. Пиголкина, ФЗФТШ при МФТИ 2006год. “Решение уравнений”. Тренировочные задания по математике ЕГЭ – 2006.
М. И. Сканави “Сборник решений задач для поступающих в ВУЗы”, Москва 1999 год.