Урок одной задачи по теме: "Решение тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика

Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Цель:

  • показать многообразие способов решения уравнения sin x – cos x = 1;
  • обратить внимание на "внешнее" отличие ответов при различных способах решения;
  • научить выбирать наиболее рациональный способ решения тригонометрического уравнения;
  • развивать познавательные и исследовательские умения;
  • воспитывать математическую, графическую культуру и культуру общения.

I. Оргмомент (рапорт, сообщение темы, цели и задач урока).

II. Решение уравнения sin x – cos x = 1 различными способами.

1. Решение уравнения с помощью вспомогательного угла:

sin x – cos x = 1 (уравнение вида a cos x + b sin x = c)

a = –1, b = 1, c = 1,

a)

б)

Если k – четное,

Если k – нечетное,

Ответ:

Ответ:
в) sin x – cos x = 1.

Разделим обе части уравнения на,
получим:

sin x – cos x = ;

cos sin x – sin cos x = ;

Далее аналогично 1.б).

 г) sin x – cos x = 1.

1 = tg = ctg

Получим:

tgsin x – ctgcos x = 1;

sin x – cos x = 1 ;

sinsin x – coscos x = ;

coscos x – sinsin x = –;

;

Ответ:

2. Решение уравнения с помощью формул приведения.

sin x – cos x = 1.

а) cos x = sin.

sin x – sin = 1;

2 = 1;

cos = ;

=

Далее аналогично 1. б).

 б) sin x = cos.

cos – cos x = 1;

–2 = 1;

sin= –;

= –;

– x =

x = –

x = +

Далее аналогично 1. б).

3. Решение уравнения методом приведения к однородному.

sin x – cos x = 1.

sin x = 2sincos; cos x = cos2 – sin2; 1 = sin2 + cos2.

2sincos – cos2 + sin2 – sin2 – cos2 = 0;

2sincos – 2cos2 = 0; 2cos= 0.

Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

cos = 0 или

;

.

 sin – cos= 0 ;

tg= 1;

;

Ответ: ;

4. Решение уравнения с помощью универсальной подстановки.

sin x – cos x = 1.

; , .

Левая часть этих формул определена для всех х, а правая – для , поэтому возможна потеря корней. Проверим, являются ли корнями данного уравнения числа вида .

sin – cos = 1;

0 + 1 = 1 – верное равенство, следовательно, числа вида являются корнями данного уравнения.

Решим уравнение:

– = 1;

2 tg – 1 + tg2– 1 – tg2 = 0;

2 tg = 2; tg = 1; ;

Ответ: ;

5. sin x – cos x = 1.

Возведем в квадрат обе части уравнения и применим формулы:
; ; , где .

sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 1;

sin2 x –sin 2x + cos2 x = 1;

– + = 1;

tg2 x – 2tg x + 1 – 1 – tg2 x = 0;

tg x = 0;

Проверим, являются ли числа вида корнями данного уравнения:

sin – cos = 1;

1 – 0 = 1.

Да, являются.

Т.к. возвели в квадрат обе части уравнения, то могли появиться посторонние корни. Выполним проверку:

а)

Если n = 0, sin 0 – cos 0 = 1;

0 – 1 = 1 – равенство неверное, – посторонние корни.

Если n = 1, sin ? – cos ? = 1;

0 + 1 = 1 – равенство верное,

– корни данного уравнения.

 б) .

Если k = 0, sin – cos = 1;

1 – 0 = 1 –верное равенство,

– корни данного уравнения.

Если k = 1, sin – cos = 1;

– 1 – 0= 1 –неверное равенство, – посторонние корни.
Ответ: ;

.

6. sin x – cos x = 1.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 1;

sin 2x = 0;

2х = img1.gif (848 bytes)n, nZ;

х = , nZ.

Т.к. возвели в квадрат обе части уравнения, то могли появиться посторонние корни. Выполним проверку.

Если n = 0, х = 0, sin 0 – cos 0 = 1;

0 – 1 = 1 – неверное равенство, – посторонние корни.

Если n = 1, х =, sin – cos = 1;

1 + 0 = 1 – верное равенство, – корни данного уравнения.

Если n = 2, х = , sin – cos = 1;

0 + 1 = 1 – верное равенство, – корни данного уравнения.

Если n = 3, х =, sin – cos = 1;

– 1 – 0 = 1 – неверное равенство, – посторонние корни.

Ответ: ; .

sin x – cos x = 1.

sin x – cos x = sin2 x + cos2 x;

Сгруппируем одноименные функции и вынесем общие множители:

sin x(1 – sin x) – cos x(1 + cos x) = 0.

Из условия sin x = 1 + cos x;

– cos x = 1 – sin x.

Получим: sin x(– cos x) – cos x sin x = 0;

– 2 sin x cos x = 0;

sin 2x = 0.

Далее аналогично 6.

III. Итог работы:

  1. При различных способах решения уравнения было "внешнее" отличие записей ответов. В тригонометрии это бывает нередко. Конечно, эти ответы совпадают, т.е. разными способами задаются одинаковые множества чисел.
  2. Для данного уравнения рациональными решениями являются:
  • разделить обе части уравнения на , и с помощью вспомогательного угла решить уравнение;
  • с помощью вспомогательного угла решить уравнение по формуле ;
  • с помощью формул приведения;
  • приведение уравнения к однородному.

IV. Домашнее задание.

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения:

(: 2);

Ответ:

(вспомогательный угол);

Ответ: ;

(привести к однородному);

Ответ:;

(привести к однородному).

Ответ: ;