Тема: Решение тригонометрических уравнений.
Цель:
- показать многообразие способов решения уравнения sin x – cos x = 1;
- обратить внимание на "внешнее" отличие ответов при различных способах решения;
- научить выбирать наиболее рациональный способ решения тригонометрического уравнения;
- развивать познавательные и исследовательские умения;
- воспитывать математическую, графическую культуру и культуру общения.
I. Оргмомент (рапорт, сообщение темы, цели и задач урока).
II. Решение уравнения sin x – cos x = 1 различными способами.
1. Решение уравнения с помощью вспомогательного угла:
sin x – cos x = 1 (уравнение вида a cos x + b sin x = c)
a = –1, b = 1, c = 1,
a) ![]() |
б) ![]() Если k – четное, Если k – нечетное, |
![]() Ответ: |
![]() Ответ: |
в) sin x – cos x = 1. Разделим
обе части уравнения на
cos Далее аналогично 1.б). |
г) sin x – cos x = 1. 1 = tg Получим: tg
sin cos
Ответ: |
2. Решение уравнения с помощью формул приведения.
sin x – cos x = 1.
а) cos x = sin![]() sin x
– sin 2
Далее аналогично 1. б). |
б) sin x = cos![]() cos –2 sin
x = x = Далее аналогично 1. б). |
3. Решение уравнения методом приведения к однородному.
sin x – cos x = 1.
sin x = 2sincos
; cos x = cos2
– sin2
; 1 = sin2
+ cos2
.
2sincos
– cos2
+ sin2
– sin2
– cos2
= 0;
2sincos
– 2cos2
= 0; 2cos
= 0.
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
cos![]()
|
sin![]() ![]() ![]() tg
|
Ответ: ;
4. Решение уравнения с помощью универсальной подстановки.
sin x – cos x = 1.
;
,
.
Левая часть этих формул определена для всех х,
а правая – для , поэтому возможна потеря корней.
Проверим, являются ли корнями данного уравнения
числа вида
.
sin –
cos
= 1;
0 + 1 = 1 – верное равенство, следовательно, числа
вида
являются корнями данного уравнения.
Решим уравнение:
–
= 1;
2 tg
– 1 + tg2
– 1 – tg2
= 0;
2 tg =
2; tg
=
1;
;
Ответ: ;
5. sin x – cos x = 1.
Возведем в квадрат обе части уравнения и
применим формулы:
;
;
, где
.
sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 1;
sin2 x –sin 2x + cos2 x = 1;
–
+
= 1;
tg2 x – 2tg x + 1 – 1 – tg2 x = 0;
tg x = 0;
Проверим, являются ли числа вида
корнями данного уравнения:
sin
– cos
=
1;
1 – 0 = 1.
Да, являются.
Т.к. возвели в квадрат обе части уравнения, то могли появиться посторонние корни. Выполним проверку:
а) ![]() Если n = 0, sin 0 – cos 0 = 1; 0 – 1 = 1 – равенство неверное, Если n = 1, sin ? – cos ? = 1; 0 + 1 = 1 – равенство верное,
|
б) ![]() Если k = 0, sin 1 – 0 = 1 –верное равенство,
Если k = 1, sin – 1 – 0= 1 –неверное равенство, |
Ответ: ![]()
|
6. sin x – cos x = 1.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 1;
sin 2x = 0;
2х = n, n
Z;
х = , n
Z.
Т.к. возвели в квадрат обе части уравнения, то могли появиться посторонние корни. Выполним проверку.
Если n = 0, х = 0, sin 0 – cos 0 = 1;
0 – 1 = 1 – неверное равенство, –
посторонние корни.
Если n = 1, х =, sin
– cos
= 1;
1 + 0 = 1 – верное равенство, – корни данного
уравнения.
Если n = 2, х = , sin
– cos
= 1;
0 + 1 = 1 – верное равенство, – корни данного
уравнения.
Если n = 3, х =, sin
– cos
= 1;
– 1 – 0 = 1 – неверное равенство, –
посторонние корни.
Ответ: ;
.
sin x – cos x = 1.
sin x – cos x = sin2 x + cos2 x;
Сгруппируем одноименные функции и вынесем общие множители:
sin x(1 – sin x) – cos x(1 + cos x) = 0.
Из условия sin x = 1 + cos x;
– cos x = 1 – sin x.
Получим: sin x(– cos x) – cos x sin x = 0;
– 2 sin x cos x = 0;
sin 2x = 0.
Далее аналогично 6.
III. Итог работы:
- При различных способах решения уравнения было "внешнее" отличие записей ответов. В тригонометрии это бывает нередко. Конечно, эти ответы совпадают, т.е. разными способами задаются одинаковые множества чисел.
- Для данного уравнения рациональными решениями являются:
- разделить обе части уравнения на
, и с помощью вспомогательного угла решить уравнение;
- с помощью вспомогательного угла решить
уравнение по формуле
;
- с помощью формул приведения;
- приведение уравнения к однородному.
IV. Домашнее задание.
Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения:
(:
2);
Ответ:
(вспомогательный угол);
Ответ: ;
(привести к однородному);
Ответ:;
(привести к однородному).
Ответ: ;