Цели урока:
- ознакомить учащихся с историей происхождения дробей; показать историческую преемственность дробей,
- убедить учащихся в простоте и удобстве современной системы счисления; выработать умения решения задач с использованием сведений из истории математики.
Оборудование: компьютер или кодоскоп, печатные бланки, таблицы.
Ход урока
Сегодня на уроке мы подводим итог большой теме “Обыкновенные дроби”. Но наш урок будет не совсем обычным; мы не только будем решать задачи, но и узнаем о происхождении дробей и их роли в жизни древних людей.
Итак - цель нашего урока: необходимость изучения дробей и их функций в математике, а также их историческую преемственность.
Учитель истории: О происхождении дробей, дроби в Древнем Риме.
Наряду с неоходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.
Обратимся к истории Древнего Рима. У римлян основной единицей измерения массы служил асс, а также и денежной единицей. Асс делился на 12 равных частей - унций. Со временем унции стали применяться для измерения любых величин. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать.
Учитель математики:
Вместо 1/12 римляне говорили - одна унция; 5/12 - пять унций; три унции назывались четвертью
(3/12 = 1/4); четыре унции назывались третью (4/12 = 1/3); шесть унций назывались половиной
(6/12 = 1/2);
Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.
Характерен следующий отрывок из произведения знаменитого римского поэта I века до нашей эры Горация о беседе учителя с учеником в одной из римских школ той эпохи:
- Учитель: Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию!
- Ученик: Одна треть.
- Учитель: Правильно, ты хорошо знаешь дроби и сумеешь сберечь своё имущество.
Решим ещё две задачи:
Задача 1: От шести унций отнять одну унцию? (6/12 - 1/12 = 5/12).
Задача 2: От десяти унций отнять четыре унции (10/12 - 4/12 = 6/12 = 1/2). Учитель истории:
Дроби в древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными. У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в упортребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. Давайте вспомним египетские пирамиды - шедевры древней архитектуры. Для того чтобы строить такие пирамиды мастера должны были знать дроби. Например, высота одной из пирамид 148,5 м.
Учитель математики:
Таким образом ребята единичные дроби дошли до наших дней. Мы с вами знаем и другие дроби (правильные и неправильные). Кстати, египтяне называли ложными неправильные дроби, а реальными правильные.
Давайте вспомним, какие дроби называются правильными, а какие неправильными?
Вернёмся к Древнему Египту. А что же служило древним египтянам бумагой? Узнать это нам поможет самостоятельная работа.
См.Рисунок №1
Учитель истории: Да, действительно египтяне писали на папирусах.
Вопрос: Кто знает, как изготавливали папирус? (это свитки, изготавливаемые из стеблей тропических растений - папирусов).
Самым древним является Московский папирус написанный около 1805 года до н.э. Длина его 5,5 м, ширина 8 см. Хранится в Музее изобразительных искусств в Москве.Важнейшим по содержанию является папирус Ахмеса (имя писца). Длина 544 см, ширина 33 см. Хранится он в Лондоне в Британском музее. После того, как учёные расшифровали папирус, люди узнали, что египтяне имели десятиричную систему исчисления. Вот так записывали египтяне свои дроби.
Учитель математики: Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3\4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей:
Например, 3\4 = 1\2 + 1\4, т.е. рисовали два рисунка. Значит, не три четверти целого брали египтяне, а одну вторую да ещё четверть. В папирусе Ахмеса имеются таблицы для представления некоторых дробей в виде суммы единичных, причём, дробь 2/3 занимала особое место у египтян. Они стремились выразить любую дробь через сумму 2/3 и единичных дробей.
Задача 1: Представить 2/4; 5/6; 7/8 в виде суммы единичных дробей или суммы 2/3 и единичных дробей.
Решение:
2/4 = 1/4 + 1/4
5/6 = 1/6 + 4/6 = 1/6 + 2/3
7/8 = 1/8 + 6/8 = 1/8 + 3/4 = 1/8 +1/4 + 1/2
В задачах 7-9 папируса Ахмеса требуется разделить 7 хлебов, 8 хлебов, 9 хлебов между десятью лицами. Ответы выражаются так:
7 : 10 = 2\3 + 1\30;
8 : 10 = 2\3 + 1\10 + 1\30;
9 : 10 = 2\3 + 1\5 + 1\30.
Современная система деления значительно понятней и проще.Проверим, верны ли записи с точки зрения современных обыкновенных дробей?
1 вариант. 2 вариант. 2\11 = 1\6 + 1\66. 2\7 = 1\6 + 1\14 + 1\21.
Учитель истории:
Вавилонская нумерация. Шестидесятеричные дроби.
В Древнем Вавилоне уровень культуры был достигнут в третьем тысячелетии до нашей эры. Писали не на папирусах, а на глиняных табличках (папирус там не рос) тонко заострённой палочкой. А как называется такое письмо, мы сейчас узнаем,решив самостоятельную работу:
1) 1 - 4\7 = 3\7 (к) 5) 1/2 - 3\4 = 3\4 (о) 9) 10 : 1\ 10 = 100 (ь) 2) 3\7 • 14\9 = 2\3 (л) 6) 1 • 8\9 = 8\9 (п) 3) 0,3 • 5\21 = 1\14 (и) 7) 0 • 1\2 = 0 (и) 4) 5\6 - 1\3= 1\2 (н) 8) 2 3/8 : 12 3/4 = 1\3 (с)
См.Рисунок №2
Такое письмо называется клинописью, так как знаки имели вид клиньев.
Учитель истории: Раскопки XX века обнаружили большое количество клинописных математических табличек,среди развалин древних городов южной части Двуречья.
Вертикальный клин
обозначался 1; 60; 602; 603,…
Горизонтальный клин
обозначал 10. Чтобы
написать 62 поступали так: промежуток 
Учитель истории:
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестедесятеричной системы счисления удержались и до нашего времени. До наших дней сохранились деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов; градуса на 60 минут.
Учитель математики:
Задача1: Давайте выразим шестидесятеричные дроби в десятеричной системе счисления (правильными дробями).
18\60; 3250\ 3600 .
Ответ:
18\60=3\10; 3250\ 3600= 65\72.
Задача 2: Выразим в шестидесятеричных дробях следующие обыкновенные дроби:
2\3; 3\5; 7\8.
Ответ:
2\3=40\60; 3\5=36\60; 7\8=3150\60?=3150\3600.
Задача 3: Выразить в часах 11 минут.
Ответ:
11\60 часа.
Задача 4: Выразить в минутах 2/5 часа.
Ответ: 24 минуты
Учитель истории:
В средние века учение о дробях считалось самым трудным разделом арифметики. Трудность изучения дробей в средневековых школах обьяснялась тем, что учащихся заставляли наизусть учить “рецепты” без понимания. Кто знал дроби был в почёте. Автор старинной славянской рукописи 16 века пишет: “Неесть се дивно, что…в целых, но есть похвально, что в долях…”.
Первым учёным средневековья, который стал регулярно применять дробную черту и современную запись обыкновенной дроби, был итальянский математик Леонардо Пизанский
(т.е. из г.Пиза) или Фибоначчи (т.е. сын Боначчи)
(так например индийцы изображали дробь 2 1\5 так
2
1
5
Нумерация и дроби на Руси.
Наши предки - славяне пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией (представить таблицу подготовленную учителем истории).
Над буквами и числами ставился особый знак, названный - титло. ~
Для обозначения тысячи применялся знак 
, который
приставлялся слева от букв. Например,
(по таблице записать несколько чисел. Показать, что процесс был трудоёмким)
Вернёмся к Древней Руси. Значит дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия.
| 1\2- половина, полтина. | 1\3 - треть. |
| 1\4 - четь. | 1\6 - полтреть. |
| 1\8- полчеть. | 1\12- полполтреть. |
1\10- десятина (1,09 га - русская мера земельной площади). Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века. И только при Петре I стала вводится десятеричная система счисления, которая и сохранилась до наших дней. В 1903 г вышла в свет “Арифметика” Л. Ф. Магницкого. В которой в первой части изложены действия с целыми числами, во второй - с ломаными, т.е. дробями.
Учитель математики:
А теперь попробуем решить задачи, используя старинную терминологию, но с помощью вычислительной техники, позволяющей упростить нам процесс вычисления.
а) Сколько % составляет четь от полтины?
1\4 : 1\2 = 0,5 = 50%
б) Сколько % составляет полчеть от полтрети?
1\8 : 6\1 = 3\4 = 0,75 = 75%
в) Сколько % полполтреть составляет от полчети?
(округлить до сотых)
1\12 : 1\8 = 2\3 
0,666 0,67 = 67%
г) Сколько % десятина составляет от полполтрети?
1\10 : 1\12 = 1,2 = 120%
Я думаю вы убедились насколько совершенна современная система исчисления.
Итак, подведём итог, что же мы узнали с вами нового?
1-е - узнали о происхождении дробей;
2-е - о дробях в Древнем Египте;
3-е - познакомились с унцией - у нас есть дроби со знаменателем 12.
4-е - познакомились с клинописью, с шестидесятеричной системой счисления.
5-е - с алфавитной нумерацией на Руси.
6-е - попробовали посчитать на ЭВМ, используя старинную терминологию, задачи Древней Руси и убедились насколько современная система исчисления удобней и проще.
В конце урока подводится итог конкурса сказок, которые ребята писали в ходе изучения темы “Обыкновенные дроби”.
/одно из представленных на уроке сочинений ученика 6-го класса /.
История в Королевстве дробей
Эта история произошла много лет тому назад в стране обыкновенных дробей, в которой жили дроби с разными знаменателями. Жили они недружно - всё время ссорились. А причиной этих ссор было то, что эти дроби не могли решить значение какой из дробей больше, а какой меньше. Правила этой сказочной страной Королева дробей. Звали её 599/600 (пятьсот девяносто девять шестисотых), но жители Королевства её тоже не любили, считая что Королева незаконно называет себя самой большой дробью Королевства. А так как Королева была очень справедливой, она решила собрать все дроби и всё объяснить. Собралось много дробей - здесь были и 1 /4, и 56/150, и 5/300 и многие другие. Королева посмотрела на всех и пришла к такому выводу: “Что бы мы жили все дружно, надо всем нам прийти к общему знаменателю и тогда мы поймём кто больше, а кто меньше”. Все дроби закричали: “Ура! Ура!” На следующий день Королевой был издан приказ:
Для наведения порядка в Королевстве дробей приказываю: прийти всем к единому знаменателю 600!!!
Королева 599/600
И тогда дробь 1/4 стала 150/600, дробь 56/150 стала 224/600, а 5/300 - 10/600. И все дроби поняли, какая из них больше, а какая дробь меньше. С тех пор в Королевстве дробей настали мир и спокойствие.
Награждение победителей.
По усмотрению учителя, можно дать домашнее задание:
Например:
Надгробная надпись на могиле Диофанта (древнегреческого учёного) имеет содержание:
“Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую в юности, после седьмой части, проведённой в бездетном супружестве и ещё пяти лет, у него родился сын,
умерший по достижению половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года. Сколько лет жил Диофант?”
2) Старинная задача из “Арифметики” Л.Ф.Магницкого:
“Спросил некто учителя: Сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына?
Учитель ответил: “Если придёт учеников ещё столько же сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников. Сколько учеников у учителя?
3) Индийские древние учёные излагали задачи в стихах:
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчёлок пятая часть опустилась
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Её трижды сложи
И тех пчёл на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Всё летала то взад, то вперёд и везде
Ароматом цветов наслаждалась
Назови теперь мне
Подсчитавши в уме
Сколько пчёлок всего здесь собралось?
Литература:
- .М.Я.Выгодский “Арифметика и алгебра в Древнем мире”(М. Наука,1967г)
- Г.И.Глейзер “История математики в школе”(М. Просвещение,1964г)