В настоящее время модернизация образования предусматривает выбор детьми профиля обучения в старшем звене. Для создания условий выбора детьми в 10 классе физико-математического профиля для дальнейшего обучения, для развития положительной мотивации изучения геометрии и формирования прочных навыков доказательства, на котором построен школьный курс геометрии 10-11 класса, работу по обучению школьников доказательству надо начать вести в 7 классе.
Нужно ли в средней школе обучать проведению математических доказательств? Мне кажется, что ответ вряд ли может вызвать сомнения… Анализ многочисленной литературы, в которой рассматривается проблема обучения доказательству, показывает, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследовании логических аспектов доказательства. В ряде работ находит отражение обучение эвристикам, овладение которыми облегчает поиск доказательства. Несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся доказательству, владение соответствующим умением находится на низком уровне. Об этом свидетельствуют многочисленные публикации, авторы которых анализируют результаты экзаменационных работ учащихся за среднюю школу и работ абитуриентов на вступительных экзаменах в вузы. Основной причиной этому является традиционная методика обучения доказательству, которая исходит, главным образом, из отождествления доказательства с его логической формой.
Строгие доказательства – это отличительный признак математики; он представляет собой существенную часть вклада математики как науки в общественную культуру. Учащийся, на которого математическое доказательство ни разу не оказало впечатляющего влияния, упустил одно из важнейших интеллектуальных переживаний.
Проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время ее актуальность возросла т.к. с появлением физико-математических профильных классов учителя сталкиваются с тем, что ученики не считают доказательства теорем нужными. Доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Они являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Доказательства являются способом систематизации учебного материала, с их помощью и посредством их устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее доказанными теоремами. Они являются средством мотивации и получения обучаемым новых знаний, в процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств. Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны. В качестве примера можно привести судебное разбирательство. Подозревают, что обвиняемый виновен, но это только подозрение, твердой уверенности в нем нет. Виновен обвиняемый на самом деле или нет – это еще надо доказать. Цель юридического доказательства состоит в том, чтобы устранить сомнения, но именно такова и самая очевидная, и самая естественная цель математического доказательства. У нас имеются сомнения в справедливости ясно сформулированного математического утверждения, мы не знаем, верно оно или ложно. В этом случае перед нами стоит альтернатива: для того чтобы ликвидировать сомнение, нужно либо доказать это утверждение, либо опровергнуть его.
К 13–14 годам жизни мозг школьника становится способным овладеть абстрактным, обоснованным, рассуждающим мышлением. Подростковый возраст – это возраст развития доказывающего мышления – доказывающего как с точки зрения формальной правильности, так и с точки зрения истинности, соответствия данных положений действительности. В подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими и еще меньше создает их: в этом возрасте доказывание, скорее дело памяти. Учитель должен умело этим воспользоваться.
Доказательство теорем курса геометрии представляет достаточно длинную цепь последовательно связанных дедуктивных умозаключений (логических шагов), устанавливающую истинность теоремы. Установление связи между отдельными шагами, их выделение, обоснование представляет для многих учащихся 7 класса значительную трудность. К тому же доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты и содержат в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже делается ссылка на утверждение отсутствующее в учебнике. Снижению этой трудности может способствовать использование специальных приемов.
Готовясь к уроку, целью которого является изучение теоремы, учитель продумывает не только способ ознакомления учащихся с доказательством теоремы, но и способ привлечения школьников к “открытию” ими теоремы, актуализации знаний и умений учащихся, необходимых для доказательства теоремы. Есть разные пути решения этих задач. Приведу пример своей работы.
Доказательство теоремы можно представить поэтапно. Например, первый признак равенства треугольников.
Первый этап состоит их проникновения в теорему: учащимся выдаются фигурки треугольников, с помощью которых в процессе наложения друг на друга устанавливается истинность утверждения (рассматривается доказательство по Л.С. Атанасяну).
Второй этап состоит из презентации теоремы (Приложение 1). С этой целью на экран проецируются постепенно слайды, которые преподносят учащимся определенную информацию логической цепочки доказательства. Доказательство целесообразно проводить устно совместно с учащимися, проводя рассуждения постепенно.
После тщательного разбора доказательства с приемами анимации, учащимся можно предложить совместное заполнение таблицы, которая состоит из двух колонок, одна из которых содержит утверждения, а другая – их обоснование (Приложение 2). Приведенная запись доказательства теоремы показывает, что на самом деле оно непростое, состоит из 15 шагов, а это ведь теорема, изучаемая учениками 7 класса, имеющими небольшой опыт доказательства. Поэтому выделить утверждения, найти им обоснования, выстроить последовательность шагов – задача для многих учеников чрезвычайно сложная. К тому же опыт показывает, что спешить с привлечением школьников к самостоятельному доказательству не следует, ученики должны сначала разобраться в структуре готовых доказательств, научиться работать с ними. Как же помочь в этом школьнику? Естественно, при встрече учащихся с теоремой и ее доказательством учитель разъясняет содержание понятия теоремы, знакомит с составными частями, доказательством на доступном ученику уровне, приводит примеры теорем, которые учащиеся уже доказывали, хотя и не называли эти предложения теоремами.
На основе приведенной таблицы (Приложение 2) составляется карточка, имеющая пропуски, которые учащиеся должны заполнить самостоятельно. Использование подобных карточек снижает трудности школьников в усвоении логики доказательства. Карточки могут использоваться при самостоятельной работе учащихся на уроке и при выполнении домашнего задания. Их можно видоизменять с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Работа с такими карточками требует от учащихся воспроизведения всей цепи рассуждений, способствует усвоению сущности дедуктивного метода, ускоряет математическое развитие учеников.
По окончании изучения темы: “Признаки равенства треугольников”, в качестве обобщения материала, при подготовке к контрольной работе как справочный материал учащимся можно предложить буклет, который включает в себя доказательство теорем и образцы оформления решения задач.
На основании вышеизложенного можно выделить шесть этапов при работе с доказательством теоремы:
- Проникновение в теорему.
- Определение канвы доказательств. На этом этапе учитель специальными вопросами побуждает учащихся к активной деятельности в поиске способа доказательства.
- Изучение доказательства с помощью мультимедийных средств.
- Изучение доказательства с помощью специальных карточек и сопутствующих упражнений, в процессе которых постигаются детали доказательства, цепочка дедуктивных умозаключений и т.д. На этом этапе учитель может организовать как индивидуальную, так и коллективную работу по усвоению доказательства, заранее подготовив таблицу с двумя колонками и попеременно закрывая строки из колонок, предлагая школьникам либо обосновать утверждение, либо по указанному обоснованию назвать утверждение.
- Запись доказательства в тетрадях школьников и на классной доске.
Применение буклета по теме в дальнейшей деятельности.
По мере продвижения учащихся в изучении геометрии надобность в использовании карточек будет уменьшаться, а доля самостоятельности в отыскании способа доказательства, его построении, записи увеличиваться.
Такой способ работы дает свои результаты, мотивируя тем самым учащихся на самостоятельное добывание знаний и желание преподнести их аудитории, включает учащихся к, своего рода, исследовательской работе по составлению и проведению уроков. А также воспитывает культуру общения, ответственность за принятие решений, стремление к самореализации, трудолюбие. Ученики объединяются в группы по интересам и совместно изучают материал, который затем предлагается для восприятия одноклассникам. Такая работа превращает уроки геометрии в интересное, увлекательное занятие.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М., 1990.
- Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ. М., 1975.
- Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей/ Сост. В.А. Гусев. М., 1979.
- Современные основы школьного курса матиематики: Пособие для студентов пед. Ин-тов/Н.Я. 5) Виленкин, К.И. Дуничев и др. М., 1980.
- Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. М., 2005.
- Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Киев, 1983.
- Столяр А.А. Педагогика математики. Мн., 1986.
- Формирование приемов математического мышления /под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995.