Цель урока: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.
Задачи урока:
Учебно-познавательная:
- Закрепление, систематизация и обобщение знаний и умений в понятии наибольшее и наименьшее значение функции, практическое применение формируемых умений и навыков.
Развивающая:
- Развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке.
Коммуникативные:
- Умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать.
Ход урока
I. Слово учителя: (2 мин.)
Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.
II. К доске вызываются два “ сильных” ученика решать задания: (10мин)
1-й ученик:
Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
Решение:
Обозначим сторону основания через х см, тогда
высота параллелепипеда будет 
.
Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х2+4*
*х=х2+
;
S/(х)=2х-
; S/(х)=0;
2х-
=0;
2х3=432; х3=216; х=6;
По условию задачи х 
(0;
)
Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см2 наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см.
2-й ученик:
В окружность радиуса 30 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х
см, тогда вторая будет
, S(х) площадь прямоугольника,
тогда S(х)=х
;
S/(х)= 
-
S/(х)=0; Приведем дробь к общему
знаменателю, получим 
3600-2х2=0; х=30
; Берем только положительное
значение по условию задачи. По смыслу задачи х
(0;60);
Найдем знак производной на промежутке (0;30
) и на
промежутке (30
;60). Производная меняет знак с “+” на
“-”. Отсюда х=30
точка максимума. Следовательно, одна
сторона прямоугольника30
, вторая 30
.
III. В это время выполняется взаимопроверка по теме “Применение производной” (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл) Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте.
Вопросы записаны на переносной доске, дается только ответ:
- Функция называется возрастающей на данном промежутке, если…
- Функция называется убывающей на данном промежутке, если…
- Точка х0 называется точкой минимума, если…
- Точка х0 называется точкой максимума, если…
- Стационарными точками функции называют точки…
- Написать общий вид уравнения касательной.
- Физический смысл производной.
IV. Класс садится по группам. Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.
1 задание:
Для функции f(х)=х2+
найти минимум на
промежутке (0; ?);
2 задание:
Для функции f(х)=х
найти максимум на промежутке
(0;60);
V. Предоставляется слово “сильным” ученикам. Учащиеся класса проверяют свои решения.(10мин).
VI. Выдаются задачи по выбору для каждой группы. (10 мин)
1 группа.
На отметку “3”
Для функции f(х)=х2*(6-х) найти наименьшее значение на отрезке[0;6]
Решение:
f(х)=х2*(6-х)=6х2+х3;
f/(х)=12х-3х2; f/(х)=0; 12х-3х2=0; х1=0; х2=4;
f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max
На отметку “4”
Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х2;
S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х=5;
По условию задачи х 
(0;10)
Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10 ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;
На отметку “5”
Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Решение:
Обозначим одну сторону участка через х м, тогда
вторая будет 
м, длина изгороди Р(х)=3х+
;
Р/(х)= 3-
; Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40.
Берем только положительное значение по условию
задачи.
По условию задачи х 
(0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на
промежутке (40; ?). Производная меняет знак с “-” на
“+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно,
Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона
40м, вторая 
=60м.
2 группа.
На отметку “3”
Для функции f(х)=х2+(16-х)2 найти наименьшее значение на отрезке[8;16]
Решение:
f/(х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f/(х)=0; 4х-32=0; х=8;
f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;
На отметку “4”
Участок прямоугольной формы одной стороной
прилегает к зданию. При заданных размерах
периметра в 
м,
надо огородить участок так, чтобы площадь была
наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольного участка
через х м, тогда вторая будет (
-2х)м, площадь S(х)= (
-2х)х =
х -2х2;
S/(х)= 
-4х; S/(х)=0; 
-4х; х =
;
По условию задачи х 
(0;
)
Найдем знак производной на промежутке (0; 
)и на
промежутке (
;
). Производная меняет знак с “+” на “-”.
Отсюда х = 
точка максимума. Следовательно, одна
сторона участка = 
м, вторая 
-2х= 
м ;
На отметку “5”
Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?
Решение:
Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х3-260х2+4000х;
V/(х)=12х2-520х+4000; V /(х)=0; 12х2-520х+4000=0;
х1=10; х2=
По условию задачи х
(0; 25); х1 (0; 25), х2
(0;25)
Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.
3 группа.
На отметку “3”
Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке [0;60]
Решение:
f(х)=х*(60-х)=60х-х2;
f/(х)=60-2х; f/(х)=0; 60-2х=0; х=30;
f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max
На отметку “4”
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;
S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = 
=5;
По условию задачи х 
(0; 10)
Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;
На отметку “5”
Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
Решение:
Обозначим глубину канавы через х м, тогда
ширина будет 
м, Р(х)=2х+
;
Р/(х)=2-
; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем
только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х 
(0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на
промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-”
на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно,
Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона
канавы 1,5м, вторая 
=3м.
4 группа.
На отметку “3”
Для функции f(х)=х2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке[0;18]
Решение:
f(х)=х2 (18-х)=18х2-х3;
f/(х)= (18х2-х3)/; f/(х)=0; 36х-3х2=0; х1=0; х2=12
f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max
На отметку “4”
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2;
S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;
По условию задачи х 
(0; 100)
Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;
На отметку “5”
Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см2.
Решение:
Обозначим одну сторону основания через х см,
тогда высота будет 
см, объем V(х)=х2
=
;
V/(х)= =
V /(х)=0 300-3х2=0; х2 =100;
х=10. Берем только положительное значение по
условию задачи.
По условию задачи х 
(0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на
промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”.
Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см3
- наименьшее значение, значит, сторона
основания 10см, высота 
= 50см
VII. Делегаты от групп рассказывают решение выбранных задач.(10мин)
VIII. С учетом баллов в разминке и работе в группах выставляются отметки за урок.
IX. Подводится итог урока.
X. Домашнее задание: Решение задачи на балл выше, кто выполнял задачу на “5”, они освобождаются от домашней работы.