Урок математики по изучению и применению производной "Мост"

Общая характеристика

Проект с элементами инженерной задачи. Его форма не типична для стандартных школьных задач по математике, и его математическое содержание ученик должен выделить самостоятельно. Работа ориентирована на преодоление таких дефицитов, как:

• Применение понятий – функция, касательная и парабола в жизненной ситуации;
• Непосредственная связь с физикой, установление связей между различными математическими и физическими темами;
• Обращение к разным разделам курса математики при отсутствии прямых указаний на это;
• Анализ полученных данных для реальной ситуации;
• Выработка у учащихся умения применять математические знания и навыки в нестандартных ситуациях. Тем самым полученные знания и навыки приобретают для школьников смысл.

Ориентировочное время на работу – 1 урок. Рассмотрение задачи представляется наиболее уместным после изучения понятий касательная и нормаль в 10 классе с углублённым изучением математики.

ЗАДАЧА: В зоне отдыха фирме нужно построить мост параболической формы, соединяющий автостоянку и кафе, расстояние между которыми 200 метров. Рассчитать уравнение профиля моста.

Приводится историческая справка о различных мостах в разных странах и веках, назначения и особенности их конструкций.

ЗАДАНИЕ 1: Задайте систему координат, обоснуйте её.

ЗАДАНИЕ 2: Отметьте верное утверждение: прямолинейные участки пути направлены к горизонту под углом а\ 5 градусов, в\15 градусов, 0 градусов.

ЗАДАНИЕ 3: Составьте уравнение профиля моста. Определите высоту моста.

Подумайте, как рациональнее использовать участок земли под мостом. Предлагается под мостом смонтировать танцзал, его купол покрыть отражающим свет материалом и поместить источник света в точку фокуса. Профиль купола высотой 8 метров, диаметр основания – 20 метров.

ЗАДАНИЕ 4: В чём состоят преимущества и недостатки внутреннего покрытия. Почему предложили такое расположение источника света. Существуют ли примеры таких помещений в жизни.

ЗАДАНИЕ 5: Можно ли устраивать танцзал под мостом? Обоснуйте ответ . приведите примеры другой эксплуатации здания или арендованного участка.

ЗАДАНИЕ 6: Какой должен быть наклон у основания купола, чтобы строительство вашего здания было рациональным и безопасным.

ЗАДАНИЕ 7: Оцените реальность проекта. Измените входные параметры так, чтобы строительство вашего здания было рациональным.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

ЗАДАНИЕ 1: Проще уравнение у = ах² +вх+с, где в= о. Центр параболы лежит на оси ординат в точке (0;h). Въезд на мост – (100;0).

ЗАДАНИЕ 2: 15 градусов. Условные характеристики положения касательных у основания профиля.

ЗАДАНИЕ 3: у = ах² +с, где Х(100;0). Подставим в уравнение координаты 0=а*100² +с; а= -с \100² ; Но у^? (х _о) = tg15?,

y = 2ax₀ = tg15⁰, х _о = tg15⁰\2a,

х _о = - 100 => a= tg15⁰\ - 200,

c= tg15⁰\ ( 200) *(100²) = - a*100²= 50tg15⁰,

y= tg15⁰*(50- х² \200) - это уравнение профиля.

У= tg15⁰\ (- 200) * х² + 50tg15⁰,

С= 13,4=h

ЗАДАНИЕ 4: Учащиеся в физике встречаются с интересным свойством фокуса параболы. Лучи света, исходящие из фокуса, отражаются в точке параболы параллельно её оси симметрии. Если поверхность купола выполнить из отражающего свет материала, и мощный источник света поместить в точку фокуса, то лучи света, отражаясь от стен, польются в зал параллельно оси симметрии купола. Создадим интересный эффект освещения, при котором не будет боковых теней.

Обсудить недостатки современных покрытий.

ЗАДАНИЕ 5: Нет. Явление резонанса может разрушить конструкцию. И самое главное – под мостом находится опасная зона и скопления людей там необходимо исключить.

ЗАДАНИЕ 6: 1) Пусть ¦l _f ¦-расстояние от вершины параболы до фокуса. Y=a*x² +8, 100*a+8 = 0, a=-8\100, ¦l _f ¦= 1\4a=1*100\(4*8)=25\8 =3,125 m.

y= (- 8\100) x² +8, y^? = (-2*8\100)*x+0= (-4\25)*x.

A(-10;0); y?(-10)= (4\25)*10= (40\25)=1,6 =tg ,

Наклон под углом Arctg 1,6

ЗАДАНИЕ 7: Проект реален. Расчеты показывают, что купол сооружения впишется под мост т. к. разница между верхними точками 13,4-8=5,4 м. Кроме того расстояние от верхней точки параболы до фокуса равно 3, 125 м.. Будет ли выгодна эксплуатация здания? Да. Участок арендованной или купленной земли стал приносить большую пользу.

Урок окончен. Желаю успехов в предпринимательской деятельности.

КОММЕНТАРИИ.

1. Рассмотрите предварительно различные варианты положения параболы в системе координат.
2. Выделите, что свободный коэффициент выражает высоту моста.
3. Развернуть беседу о целесообразности предложения и рассмотреть предложения ребят.
4. Нет. Явление резонанса может разрушить конструкцию. Вспомните, что солдатам не разрешают идти в ногу по мосту.
5. Получив значение арктангенса, подумайте о реальности угла наклона стены.
6. Если решили строить здание обычной прямоугольной формы, то х- половина ширины здания, а у(х) – высота.

СИСТЕМА ОЦЕНКИ.

Задания 4, 5, 7 оцениваются отдельно.