Цели урока.
По математике:
- повторение и закрепление знаний по теме “Линейная функция”;
- применение линейных функций для решения различных нестандартных задач.
По информатике:
- формирование практических навыков в построении графиков функций с использованием компьютерной программы Advanced Grapher.
Теоретическая часть
1. Функция, которая для любого х задается
формулой у = kx + b, где k и b –
вещественные числа, называется линейной. График
этой функции – прямая, пересекающая ось Oу в
точке (0; b), ось Ох – в точке (-b/k; 0), если k
0 и
прямая, параллельная оси абсцисс, если k = 0.
Число k характеризует величину угла наклона
графика к оси Ох и называется угловым
коэффициентом прямой. Прямые, параллельные оси
ординат, задаются уравнением вида х = а.
2. Всякое уравнение, неравенство, система или совокупность уравнений или неравенств, задает на координатной плоскости фигуру, состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, неравенству, системе, совокупности.
3. Функция, определенная на множестве Х, называется кусочно-линейной, если множество Х можно разбить на промежутки ненулевой длины, внутри каждого из которых эта функция линейна.
4. Определение модуля:
|x| = 
Практическая часть
1. Изобразите фигуры, заданные уравнением или неравенством:
a) xy = 0
Исходное уравнение равносильно системе
Этими уравнениями задаются оси координат. Значит, искомое множество – это множество всех точек, расположенных на осях координат.
b) х2 – у2 = 0
х2 – у2 = (х – у)(х + у), следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
График первого уравнения совпадает с графиком функции у = х, а второго – с графиком функции у= -х. Значит, искомое множество – это множество точек, расположенных на этих прямых.
c) 
= 2
Преобразуем это уравнение.
Искомое множество – это точки прямой, заданной уравнением у = 0,5х + 2,5, кроме точки, ордината которой равна 2.
d) y2 – y > 0 —> y(y – 1) >0
Искомое множество – это множество точек координатной плоскости, у которых ордината либо меньше нуля, либо больше 1.
e) x2 – 4y2 = x + 2y
Преобразуем это уравнение.
x2 – 4y2 – (x + 2y) = 0 —> (x – 2y)(x + 2y) – (x + 2y) = 0 —>
(x + 2y)(x – 2y – 1) = 0
Исходное уравнение равносильно системе
2. Постройте графики функций:
Искомое множество состоит из точек прямых y= -1
при x < 0, y = 2x – 1 при 0
x < 1, y = 1 при x
1
Можно, конечно, теперь построить график в тетради по точкам, но гораздо удобнее и быстрее можно сделать это с помощью компьютера. Запускаем программу Advanced Grapher. Вид окна программы изображен на рис. 1.
Используем следующие знаки арифметических операций: +, –, *, /, ^ соответственно для сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. Для записи модуля |x| используем функцию ABS(x).
Рис. 1. Окно приложения Advanced Grapher
Для построения нового графика нужно нажать
кнопку
на панели инструментов. На экране
появляется окно Добавить график (Рис. 2). В
поле ввода Формула вводим заданное выражение
ABS(x) – ABS(x– 1).
Рис. 2. Окно добавления графика.
Далее выбираем цвет и толщину линии. Нажимаем кнопку ОК и график готов (Рис. 3).
Рис. 3. График функции |x| - |x – 1|
Аналогично строятся остальные графики.
a) y = |x| + |x – 1| + |x – 2|
b) y = ||x| – 2|
c) y = ||x – 3| – x|
3. Решить уравнение:
||x| – 2| = x
Рис. 4. Графики для решения уравнения ||x| – 2| = x
Для решения нужно построить графики функций y = ||x| – 2| и y = x, а затем определить точку их пересечения (Рис. 4).
Для вывода на экран координатной сетки нужно
нажать кнопку Параметры фона
на
панели инструментов и выставить параметры
горизонтальных и вертикальных линий (Рис. 5).
Рис. 5. Определение параметров линий сетки.
Графики пересекаются в точке с координатой х = 1. Это и будет решение уравнения.
4. Домашнее задание. Решить следующие неравенства:
y > |x| – 2
(x – 1)(y + 2)0
Урок проводился в кабинете информатики на компьютерах Pentium III, 850 Mhz, RAM 128Mb с установленной ОС Windows ME.
Для построения графиков использовалась программа Advanced Grapher.
http://www.serpik.com/agrapher/index.htm
V 1.61 Бесплатная лицензия для граждан и организаций России.