Решение задач на расчет работы в термодинамике методом диаграмм состояний

ТЕМА: “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА РАССЧЕТ РАБОТЫ В ТЕРМОДИНАМИКЕ МЕТОДОМ ДИАГРАММ СОСТОЯНИЙ”.

Тип урока: урок закрепления изучаемого материала.

Задачи урока.

Оборудование. Дидактический материал.

1. Графопроектор, слайды.

2. Раздаточный материал.

3. Задачник. Л. А. Кирик. Физика-10. Разноуровневые самостоятельные и контрольные работы. М.: “Илекса”, 2004. – 192.: ил.

Ход урока

Введение.

Сегодня второй урок по теме: “ Работа в термодинамике”. Усвоили ли Вы на первом уроке физическую сущность работы в термодинамических процессах? Решение задач сегодня это покажет. Наш урок пройдёт в форме аукциона. Аукцион (“auctio” (лат.) – продажа с публичных торгов) – способ продажи, при котором товар предварительно выставляют для осмотра. Я выставляю типы задач на аукцион, объявляю количество баллов за каждый тип. Вы предлагаете ответы, получаете за них баллы, которые будут суммироваться индивидуально у каждого из Вас. В конце урока суммированные баллы определят Ваши отметки. За урок можно получить одну и более отметок. (1 минута)

Основная часть. Аукцион задач.

1. Начнём с “аукциончика” графиков (проецирую на экран слайд с графиками через графопроектор).

(2 минуты).

Задача №1. На аукцион выставлены три очень известных графические зависимости в осях (p,V). (Рис. 1).

Какую информацию Вы можете извлечь из этих диаграмм?

Отвечайте, пожалуйста, по одному. Правильный ответ – 0,5 балла.

Рис. 1

Ответы:

1. первый процесс – изобарное расширение. 2. второй процесс – изохорное уменьшение давления. 3. третий процесс – изотермическое сжатие. 4. А1 = p (V2 –V1).

5. А2 =0. 6. А3 = ? R T ln V2 /V1 7. А1 > 0. 8. А3 < 0.

(Учащиеся отвечают устно с мест.)

Итоги “аукциончика”. (Объявляю баллы.)

2. От предварительного “аукциончика” простейших графиков мы продвигаемся к “аукциону простых задач”.

На аукцион выставлены на выбор задача № 5 (средний уровень) по цене 0,5 балла и задача № 1

(достаточный уровень) по цене 1 балл на стр. 39 задачника.

Решения этих задачи потребуются в дальнейшем при рассмотрении более сложных задач. Время решения 2 минуты.

Задача №2.

Вариант А на 0,5 балла.

На рисунке 2 показана изобара газа в координатах р, V. Определите работу, совершенную газом в процессе расширения.

Рис. 2

Решение.

А = p (V_{2 –}V₁₎.

А = 1,2 МДж.

Вариант Б на 1 балл.

Азот массой 280 г был нагрет при постоянном давлении на 100 °С. Определить работу расширения газа.

Решение.

А = p ?V; p ?V = m/µ R?T; А = m/µ R?T.

А = 8,31 кДж.

(Учащиеся выполняют задачи в тетрадях и, получив ответ, поднимают руку. Учитель подходит к ним проверяет и выставляет баллы за правильный ответ. Два ученика в это время решают задачи на обратной стороне доски. Через 2 мин открываем решения на доске, проверяем его. Ученики у доски получают баллы в случае правильного решения).

Итоги “аукциона простых задач”. (Объявляю баллы.)

3. Теперь перейдём к “аукциону задач”.

Итак, нахождение работы с помощью графика зависимости р(V). За задачу можно заработать 3 балла. Эта задача № 3 на карточке лежащей, на парте.

Задача №3. Газ расширился из состояния с объемом V₁ и давлением р₁ в состояние с объёмом V₂ и давлением р₂ в процессе, при котором его давление зависит от объёма линейно. Найти работу газа. Давление р₁ меньше давления р₂. . Время решения 2 мин.

Решение.

Построим график зависимости, указанной в задаче, в координатах (р, V).

Рис. 3

Работа газа численно равна площади трапеции.

А = ? (p₁+ p₂₎ (V₂ – V_1).

(Учащиеся выполняют задачу в тетрадях и, получив ответ, поднимают руку. Учитель подходит, проверяет и выставляет 2 балла за правильный ответ. Через фиксированное время проецируется помощь (через 1 мин) и решение задачи (через 2 мин) с помощью графопроектора. Один ученик решает задачу на пленке графопроектора, лампа которого выключены. Через 2 мин проецируется решение, ученик делает пояснение).

Итоги “аукциона задач”. (Объявляю баллы.)

4. На аукцион выставляется хорошая задача на нахождение работы с помощью диаграммы состояния в осях (р, V). Итак, “аукцион хороших задач”. Эта задача № 4 на карточке лежащей, на парте. (Приложение). Правильное решение задачи оценивается в 5 баллов. В процессе решения я буду проецировать на экран подсказки. Сделавший всю задачу до подсказки, получит за неё 4 балла, после первой подсказки – 3 балла, после второй – 2 балла, а затем открывается всё решение задачи.

(В подсказках поэтапно открываю: 1. изотерму; 2. формулу работы).

Задача № 4.

Идеальный газ переводят изотермически из состояния 1 в состояние 2 (V₂< V₁), затем изобарно в состояние 3, возвращают изохорно в состояние 1. Начертите данный процесс в осях (р,V). Покажите штриховкой площадь, численно равную работе за цикл. Положительную или отрицательную работу совершает газ за цикл? Поясните. Время решения 3 мин.

Решение:

Рис. 4

А = А₁₂ + А₂₃ + А_31.

А₁₂ < 0;

А₂₃ > 0 Работа на участке 2 – 3 максимальна по модулю.

А₃₁ =0.

Полная работа за цикл положительна.

(Учащиеся выполняют задачу в тетрадях и, получив ответ, поднимают руку. Учитель подходит, проверяет и выставляет 5 баллов за правильное решение. Через отведенное время проецируется решение задачи через графопроектор. Решение на слайде пишет и поясняет ученик, который сделал задачу первым).

Итоги “аукциона сложных задач”. (Объявляю баллы).

5. На аукцион выставляется сложная задача. Эта задача № 5 на карточке лежащей, на парте. (Приложение). Ее правильное решение оценивается в 5 баллов. Итак, “Аукцион сложных задач”. Время выполнения задачи 5 минут.

Задача №5. С молем идеального одноатомного газа совершен цикл, изображенный на рис. 5. Температуры газа в различных состояниях равны Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. Найдите работу газа за цикл.

Рис. 5

Подсказка-вопрос: А что Вы предполагаете делать? (Ответ: Изобразить данный цикл в координатах (p,V).)

Вопрос: Подумайте, а стоит ли?

Решение.

Из рис. 5 видно, что на участках 1 – 2 и 3 – 4 реализуется прямая пропорциональная зависимость давления от температуры, т. е., как следует из закона Менделеева — Клапейрона, объем газа при этом не меняется, а значит, и работы газ не совершает.

Необходимо найти работу газа лишь при изобарических процессах 2 — 3 и 4 — 1.

На участке 2 — 3 совершенная работа будет равна А₂₃ = р₂ (V₃ – V₂₎.

На участке 4 — 1 совершенная работа будет равна А₄₁ = р₁ (V₁ – V₄).

Работа за цикл А = р₂ (V₃ – V₂₎. + р₁ (V₁ – V₄).

Уравнение Менделеева — Клапейрона записывается в виде p V=? R T.

р₁ V₁ = v R T₁ ; р₁ V₄ = v R T₄ ; р₂ V₃ = v R T₃ ; р₂ V₂= v R T_2.

Подставляя эти значения в выражение для работы, получаем окончательно:

А = v R(T₁ + T₃ – T₂ – T₄).

(Решение проецируется через графопроектор. Решение на слайде пишет и поясняет ученик, сделавший задачу первым).

Итоги “аукциона сложных задач”. (Объявляю баллы.)

6. Наконец, на аукцион выставляется самая сложная на сегодняшний урок задача.

Начинаем “Аукцион конкурсных задач”. Эта задача № 6 на карточке лежащей, на парте. (Приложение). Правильное решение задачи оценивается в 5 + 5 баллов. Время решения 7 мин.

Тем, кого не устраивает эта задача, предлагаю решить №1 (высокий уровень) стр. 40 задачника. Правильное решение – 5 баллов.

Задача № 6.

Вариант А на 5 баллов.

Один моль идеального газа совершает замкнутый процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар (Рис. 6). Температура в точке1 равна T_1, в точке 3 — T₃. Определить работу, совершаемую газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Рис. 6

Решение.

На участках 1 —2 и 3 —4 работа равна нулю.

Полная работа газа за цикл: А = А₂₃ + А_41.

А₂₃ = р₂ (V₃ – V₂₎. Используя уравнение Менделеева—Клапейрона, получим: р₂ V₃ = v R T_3;

р₂ V₂= v R T_2. Таким образом, А₂₃ = v R T₃ – v R T_2.

Аналогично, А₄₁ = v R T₁ – v R T_4.

Полная работа А = v R T₃ – v R T_2. + v R T₁ – v R T_4. По условию T₂ = T_4.

А = v R T_3. + v R T₁ – 2v R T_2.

Выразим T_2. через T₁ и T_3.

Процесс 1—2 — изохорический, поэтому T₁ / T₂ = р_{1 /} р₂ .

В изобарическом процессе 2—3 T₃ / T₂ = V₃ / V₂.

Умножив первое равенство на второе, получим:. T₁ T₃ / T ²₂ = р₁ V₃ / р₂ V₂ .

Учтем, что р₁ = р₄ и V₃ = V₄.

T₁ T₃ / T ²₂ = р₄ V₄ / р₂ V₂; но р₄ V₄ = р₂ V₂; поэтому T₁ T₃ / T²₂ = 1.

T₂ = v T₁ T₃ .

Работа за цикл А = v R (T_3. + T₁ – 2 v T₁ T₃₎.

Окончательно получаем: А = v R (vT_3. – v T₁)?.

Вариант Б на 5 + 5 баллов.

Над одним молем идеального газа совершается цикл, показанный графически на рисунке 7. Какую работу совершает газ во время этого процесса? Данные взять с рисунка.

Рис. 7

Подсказка-вопрос: А что Вы предполагаете делать? (Ответ: Изобразить данный цикл в координатах (p,V)).

Правильно.

Решение.

Нарисуем график зависимости в координатах (p,V).) для данного процесса (рис. 8).

Рис. 8

На участке 1 —2 давление меняется по закону р = V, где — некоторая постоянная.

Выразим температуру газа через давление: Т = р² /² и подставим в уравнение Менделеева—Клапейрона. Получим р = ² V/vR. Давление прямо пропорционально объему. На этом участке газ совершает положительную работу. Процесс 2—3 — изохорический, во время этого процесса работа равна нулю. В изобарическом процессе 3—1 работа совершалась над газом, т. е. газ совершал отрицательную работу. Полная работа газа равна площади треугольника 1 2 3:

А = (р₂ – р₁) (V₂–V₁) /2.

Так как V₂ = v R T₂ / р₂, V₁ = vRT₁ / р₁, окончательно получаем:

А = 0,5 v R (р₂ – р₁) (T₂ / р₂ – T₁ / р₁).

(Решение пишет на доске и поясняет первый ученик, решивший задачу).

Итоги “Аукциона конкурсных задач”. (Объявляю баллы.)

7. В заключение урока предлагаю “аукцион олимпиадных задач”. Пятерка достанется только одному ученику за идею и мгновенный ответ.

Задача №7.

Газ переводят из состояния 1 в состояние 3 в процессе, изображенном на диаграмме в координатах (p,V). (Проецирую на экран слайд через графопроектор).

Линии 1 – 2 и 2 – 3 представляют собой полуокружности равных диаметров. Найти работу газа в данном процессе. Данные взять с диаграммы.

Рис. 9

Решение.

Преобразуем графическую зависимость к виду:

Рис. 10

Рис. 11

Работа газа численно равна площади прямоугольника:

А = р₀ (5V₀ – V₀).

А = 4 р₀V₀.

(Решение проецируется через графопроектор. Решение на слайде пишет и поясняет первый ученик, решивший задачу).

Задание на дом. . Предлагается решить достаточно сложную задачу №8. Её цена 5 + 5 баллов. Задача №8 помещена на стенде кабинета.

Тем, кого не устраивает эта задача, предлагаю решить № 31. 1 и 31. 4 на стр. 160 учебника под ред. А. А. Пинского.

Задача №8. Найдите работу, совершенную молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (рис. 12). Точки 2 и 3 лежат на изотерме, прямая 3— 1 проходит через начало координат. Заданы температуры Т₁, и Т₂, Т_3. .

Рис. 12

Решение:

Работа на изохоре 1 – 2 равна нулю. Работа на участке 2 – 3 равна площади трапеции. Учтя, что

р ₂V ₂ = р ₃V ₃ = ?RT ₂, имеем:

Поскольку прямая 3 – 1 проходит через начало координат и, следовательно, р₁/V₁ = р₃/V₃ получаем:

Т ₁/V₁ ² = Т ₂/V₂ ² = Т ₃/V₃ ² . Поэтому работу А ₂₃ можно окончательно записать в виде:

Работа на участке 3—1 тоже равна площади трапеции:

Искомая работа в цикле равна:

Для участка прямой 2—3, соединяющего точки изотермы, так же как и для самой изотермы, работа газа определяется лишь отношением объемов. Работа же газа вдоль участка произвольной прямой, проходящей через начало координат на диаграмме р V, определяется лишь разностью температур конечного и начального состояний.

Заключение.

Сегодня было выставлено на интеллектуальный аукцион немало задач, и вы с ними справились. “Много задач вместе иногда решить легче, чем одну из них, если то большее число задач хорошо согласовано, а одна задача сама по себе изолирована” (Д. Пойа). Не правда ли?

Окончательные итоги. Максимальное количество решенных задач за урок –

Максимальная оценка за урок –

(Объявляю оценки. Некоторые учащиеся могут получить за урок несколько оценок за интенсивную умственную работу).

Надеюсь, все получили удовольствие от интеллектуальной деятельности.

Литература.

1. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл. изучением физики / О. Ф. Кабардин, В. В. Орлов, Э. Е. Эвенчик. ; под ред. А. А. Пинского. – 7-е изд. –М.: Просещение, 2002. – 415 с.: ил.

2. Л. А. Кирик. Физика-10. Разноуровневые самостоятельные и контрольные работы. М.: “Илекса”, 2004. – 192 с.: ил.

3. Практикум абитуриента. Молекулярная физика, оптика, квантовая физика. Под ред. В. В Можаева и А. И. Черноацана. Приложение к журналу “Квант” №2, 1995. – М.: – Бюро “Квантум”.

4. Ю. А. Конаржевский. Анализ урока. М.: – Центр “педагогический поиск”, 2003. – 336с.