Оригами – база для изучения геометрии

Оригами ? искусство складывания из бумаги, древнее японское изобретение и одно из самых распространённых в настоящее время по всему миру детских (и не только детских) занятий и увлечений, при котором “голова работает руками”, и очень успешно. Идея оригами проста настолько, что проще не бывает. Преобразовывая складыванием квадратный листок бумаги, надо получить какую-то определенную фигурку. В классическом оригами при этом не нужны ни ножницы, ни клей, а требуется лишь лист однотонной бумаги - и процесс пошёл. Развитие оригами как современного направления искусства связывают с именем знаменитого японского мастера Акиро Йошидзавы. Изобретенная им система записи процесса складывания фигур оригами сегодня называется “оригамная азбука”. Условные обозначения, символы, графические знаки, придуманные Акиро, позволяют зафиксировать на бумаге процесс складывания фигуры и увидеть его геометрическую красоту.

В оригами заложены богатые возможности для развития геометрических представлений учащихся, ознакомления их с максимально богатым набором геометрических фигур (как плоских, так и пространственных), усвоения в процессе складывания основной геометрической терминологии, приобретения умений и навыков изображать (рисовать) геометрические фигуры. В связи с этим мы полагаем, что включение занятий оригами в систему дополнительного образования в начальной школе и 5–6 классах очень важно, так как геометрическая информация, подлежащая в дальнейшем изучению в курсах планиметрии и стереометрии, зарождается, осмысливается и в некоторой степени систематизируется при построении оригамных фигур. Подобное конструирование знания позволяет предусмотреть включение интуиции, воображения, логического мышления и других процессов в познавательный опыт детей.

В соответствии с канонами оригами исходной, а вследствие этого - основной геометрической фигурой, - является квадрат. Свойства квадрата и его частей используются при складывании любой модели. В связи с этим мы считаем, что при складывании первых фигурок очень важно обсуждать с учащимися следующие вопросы:

• что такое квадрат;
• что означает равенство сторон (углов), и как его можно проверить;
• что такое диагональ квадрата, на какие части она его делит;
• какие элементы квадрата совмещаются при сгибе по диагонали;
• взаимное расположение двух диагоналей;
• что такое средняя линия квадрата, на какие части она его делит;
• какие элементы квадрата совмещаются при сгибе по средней линии.

Построение простейших моделей классического или модульного оригами начинается с построения либо диагонали, либо средней линии квадрата. И складывание многих фигурок продолжается созданием хорошо известных несложных конструкций, которые называются базовыми формами. Базовые формы играют роль своеобразных “дебютов”, исполнив которые можно начать свою собственную “партию”. В связи с этим мы считаем, что при обучении искусству оригами необходимо обращать внимание учащихся на базовые формы изделий, анализировать свойства геометрических фигур, встречающихся и используемых при их построении. Это и определяет, на наш взгляд, дальнейший порядок знакомства с геометрическими объектами. Для определения этого порядка нами было проведено исследование геометрических свойств базовых форм.

Во-первых, мастера оригами выделяют разное количество основных базовых форм. Так, например, Афонькины С.Ю. и Е.Ю. [1] рассматривают всего девять форм, у Сержантовой Т.Б. [5] их двенадцать, Выгонов В.В. [3] выделяет семнадцать базовых форм.

Во-вторых, мы проанализировали паттерны базовых форм. (Паттерн получается при разворачивании собранной модели до исходного квадрата. Из сетки линий, которая возникает в процессе работы над моделью, выбираются только те, по которым физически согнута бумага в готовой модели. Паттерн является наиболее компактной формой записи готовой сложенной модели на плоскости.) Это позволило сделать вывод о том, что основными линиями на них являются:

• одна или две диагонали квадрата;
• одна или две его средних линии;
• одна, две или три биссектрисы треугольников, получившихся при складывании.

Также мы смогли выделить паттерны, имеющие общие линии. На основе этого нами разработана схема взаимосвязи базовых форм (рис. 1).

Рис. 1

Первым построением, во всех случаях, может быть только одно из двух: либо сгиб по диагонали квадрата, либо сгиб по его средней линии. Этот шаг определяет последовательность базовых форм, расположенных в правой части схемы. Если же при построении участвуют сгибы как по двум диагоналям, так и по двум средним линиям, то получаются цепочки базовых форм, представленных в левой части схемы.

В-третьих, в процессе построения базовой формы каждая линия делит его на определенные геометрические фигуры (треугольники и четырехугольники). Нами замечено, что при этом в 58? случаев наиболее значимыми являются части четырехугольной формы, и лишь в 42 ? - треугольной. И, наконец, проведенный анализ базовых форм и их паттернов позволил нам определить наиболее рациональную, с точки зрения оригами, последовательность знакомства учащихся с геометрическими фигурами и их свойствами. Результаты представлены на рисунке 2.

Рис. 2

При построении моделей оригами мы обсуждаем следующие вопросы для четырехугольников:

• какое определение данного четырехугольника мы можем сформулировать (выделить его характерные признаки);
• что такое диагональ, на какие части она делит изучаемую фигуру;
• какие элементы четырехугольника совмещаются при сгибе по диагонали;
• взаимное расположение двух диагоналей;
• что такое средняя линия, на какие части она делит изучаемую фигуру, какие элементы совмещаются при сгибе по средней линии;

• взаимное расположение двух средних линий.

В процессе работы учащиеся формулируют определения диагонали и средней линии произвольного четырехугольника:

Диагональ – отрезок прямой, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне [4, с. 123].

Средняя линия четырехугольника – отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон [2, с. 16].

При проведении занятий нами было замечено, что в самом начале работы у учащихся вызывают сложности построения сгибов, совмещающих, например:

• противоположные стороны ромба;
• смежные стороны прямоугольника;
• вершину и центр прямоугольника и т.д.

По нашему мнению, это связано с тем, что первая из изучаемых фигур – квадрат, – самая симметричная из всех видов четырехугольников. И ребята, складывая ромб по средней линии, пытаются при этом совместить не только стороны, но и вершины ромба. В связи с этим при каждом построении мы обсуждаем вид четырехугольника, свойства линии сгиба, результаты наблюдений заносим в таблицу.

Список литературы:

1. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Веселые уроки оригами в школе и дома: Учебник. – СПб.: Издательский дом “Литера”, 2001. – 208 с.; ил.
2. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 – 169 с. – (Б-чка “Квант”. Вып. 61).
3. Выгонов В.В. Оригами. – М.: Издательский дом МСП, 2004. – 128 с.: ил.
4. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 2 Д – Коо. – М.: “Советская энциклопедия”, 1979. – 1104 с., ил.
5. Сержантова Т.Б. Оригами. Новые модели. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 192 с.: ил.