Тема: Обратные тригонометрические функции.

1. Функции. Определения. Графики и свойства

1.1 Функция у=arcsin x

Для тригонометрической функции Y = sin x, рассматриваемой в интервале , переход к однозначной обратной функции невозможен, так как одному значению у соответствует множество значений аргумента х. Поэтому обратная функция у = arcsin x при каждом значении х, лежащем на отрезке , имеет бесчисленное множество значений. При изучении функции, обратной синусу, выбирают отрезок , на котором функция Y= sin x возрастает, и рассматривают соответствующую этому отрезку обратную функцию у = аrcsin x, которую называют главным значением у = Arcsin x.

Определение 1. Обратной тригонометрической функцией у=arcsin x. называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , синус которой равен х. ( Равенства у=Arcsin x и Х= sin у - эквивалентны).

Основные свойства функции у = аrcsin x.

1. Функция у = аrcsin x определена на отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у = аrcsin x возрастает, E(у).

3. Функция у = аrcsin x нечетная, аrcsin (-x) = -аrcsin (x).

4. Функция у= аrcsin x называется главным значением у = arcsin x. Все значения дуг (углов) синус которых равен х, определяются формулой

Аrcsin x =(-1), где n . (1.1)

1.2. Функция у= arccos x.

Определение 2. Обратной тригонометрической функцией у=arccos x называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , косинус которой равен х. (Равенство у=arccos x и cos y=x эквивалентны).

Основные свойства функции у=аrccos x.

1. Функция у=аrccos x определена на отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у=аrccos x возрастает, E(у).

3. Функция у=аrccos x свойством нечетности и четности не обладает, справедливо равентсво arccos (-x) =

4. Функция у= аrccos x называется главным значением у= Аrccos x. Все значения дуг(углов)косинус которых равен х, определяются формулой

Аrcсos x =, где n . (1.2)

1.3 Функция у= arctg x

Определение 3. Обратной тригонометрической функцией у=arctg x. называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , тангенс которой равен х. ( Равенства у=arctg x и Х= tg у - эквивалентны).

Основные свойства функции у = аrctg x.

1. Функция у=аrctg x определена на отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у=аrctg x возрастает, E(у) .

3. Функция у = аrctg x нечетная, аrctg (-x) = -аrctg (x).

4.Функция у = аrctg x называется главным значением функции у = Аrctg x. Все значения дуг (углов) синус которых равен х, определяются формулой x

Аrctg x =, где n . (1.3)

1.4 Функция у= arcctg x

Определение 4. Обратной тригонометрической функцией у=arcctg x называют дугу (угол) у, взятую на отрезке x , котангенс которой равен х. (Равенства у=arcсtg x и Х= сtg у – эквивалентны).

Основные свойства функции у=аrcсtg x.

1. Функция у = аrcctg x определена на отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у = аrcсtg x убывает, E(у)=

3. Функция у = аrсctg x не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, но для нее справедливо arcctg (-x)=

4.Функция у = аrcctg x называется главным значением у = Аrcctg x. Все значения дуг (углов) котангенс которых равен х, определяются формулой x

Аrcсtg x =, где n . (1.4)

2. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций:

sin(arcsinx)=x, если (2.1)

cos(arccosx)=x, если (2.2)

tg(arctgx)=x, если (2.3)

ctg(arcctgx)=x, если (2.4)

arcsin(sinx)=x, если (2.5)

arcos(cosx)=x, если (2.6)

arctg(tgx)=x, если (2.7)

arcctg(ctgx)=x, если (2.8)

3. Применение свойств обратных тригонометрических функций.

Решая различные вычислительные задачи с обратными тригонометрическими функциями, я подразделила их на следующие:

1) Вычисление значений обратных тригонометрических функций разными способами: применяя свойства функций, тригонометрические формулы и графический способ. (Эти вопросы я рассматриваю в данной статье).

2) Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих обратные тригонометрические функции.

3) Построение графиков, содержащих обратные тригонометрические функции.

4) Решение уравнений, систем, неравенств с параметром.

3.1 Вычислите:

1).

Дополнительно:

6).

7).

9)

3.1. Учитывая область значений аркфункций и формулы 2.5-2.8 , вычислите:

График фигуры Y=Arccos(cosx) .

главный- arccos(cosx)=x, если

y(10)= 4?-10 12,56-10=2,56, 2,56.(При условии, что )

12) arcsin(sin6)=

График фигуры Y=Arcsin(sin(x)) в приложении №1.

Учитывая, что главный арксинус имеет область значений тогда

arcsin(sinx)=x, если

Ответ: arcsin(sin6)=.

13) arctg(tg. Учитывая, что y=tgx имеет период , то

Ответ:.

Дополнительно:

14) ,

15) arcos(cos8)=3-8

16) arctg(tg4)=4-.

Для вычисления значений некоторых обратных тригонометрических функций удобно пользоваться следующими формулами

Докажем, данные формулы.

1) , .

2) arcsin z=, arccos z=.

4) Учитывая пункт 2), получим :

.

Аналогично доказывается и второе равенство.

3.2 Вычислить:

17)

Решение: ,

?-3 + arcos(sin3) = ,

Ответ: arcos(sin3) =3- .

18) Решение: arctg(tg)+arcctg(ctg)=,

arctg(tg)+ =,

Ответ: arctg(tg)= - .

Дополнительно:

19);

20);

21);

22) .

3.3. Вычислить, используя формулы двойного, тройного и половинного аргумента.

Дополнительно:

28) sin(2arctg3)=

29)