Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.
Цели:
- Учебные:
- дать понятие возможности построения графиков функций;
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.
- Воспитательная:
- способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение.
Основные знания и умения:
- Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
- Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.
ХОД УРОКА
1. Проверка домашнего задания
2. Актуализация знаний и умений
Повторить свойства тригонометрических функций.
3. Объяснение нового материала
При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.
Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.
Точечный график можно реализовать фрагментом:
100 for x = a to b step 640/(b – a)
110 pset ( x0 + x + k, y0 – k * f(x))
120 next
Задача 1
Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.
10 screen 2
20 line (350, 0) – (350, 260)
30 line (0, 120) – (640, 120)
40 for x = 0 to 100
50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
60 next x
Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:
40 for x = 0 to 100 step 0.01
Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).
Задача 2
Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.
Решение:
Построим график функции y = cosx.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х 
R.
г) Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом 2
, т.е. cos(x + 2) = cosx для
всех х R.
д) cosx = 0 при х = 
+ k, k Z.
е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.
ж) cosx< 0 для всех х ( + 2k; 
+ 2k), k Z.
з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [2k; + 2k], k Z.
и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [– + 2k; 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение,
равное 1, в точке х = 2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение,
равное –1, в точке х = + 2k, k Z.
Используя эти свойства строим график функции у = cosx. Затем полученный график растягиваем по оси ординат в 3 раза, получим график функции у = 3cosx.
10 rem
20 def fny(x) = 3*cos(x)
30 screen 2
40 line (345, 0) – (345, 260)
50 line (0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.01
70 pset (10 * x, 120 + 120 * fny(x) / 10)
80 next x
Для построения графика другой функции достаточно вставить ее в строку № 20.
Рассмотренные графики представляют собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить, применяя прием уплотнения.
Задача 3
Построить график функции y = –
sin x + 1и
проверить соответствует ли он графику функции
построенному с помощью программы BASIC
Построим график функции y = sin x.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция нечетная: sin(–x) = sin x для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для
всех х R.
д) sin x = 0 при х = k, k Z.
е) sin x >0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.
ж) sin x < 0 для всех х ( +2 k; 2 + 2k), k Z.
з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [+ 2k; + 2k], k Z.
и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [–+ 2k; + 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение,
равное 1, в точке х = +2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение,
равное –1, в точке х = + 2k, k Z.
Используя эти свойства строим график функции у
= sin x. Далее построим график функции у = sin x.
Нетрудно заметить, что ординаты графика у = sin x в два
раза меньше соответствующих ординат графика у =
sin x. Поэтому график заданной функции строится
путем уменьшения всех ординат исходного графика
в два раза, т.е. путем сжатия исходного графика по
оси Оу в два раза. График функции у = – sin x
симметричен графику функции у = sin x
относительно оси Ох. График функции у = –sin x + 1
получается параллельным переносом графика у = – sin x. в
положительном направлении оси Оу на 1.
10 rem y = –sinx
+ 1
20 def y(x) = –
* sin(x) + 1
30 screen 2
40 line(320, 0) – (320, 120)
50 line(0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.33
70 pset (27 * x,120 – 120 * fny(x) / 10)
80 next x
График на экране можно построить в виде линии, для чего надо соединить точки графика прямыми. График будет иметь вид ломаной линии, однако чем плотнее будут располагаться точки, тем плавнее будет выглядеть кривая. Иногда необходимо вводить перерасчет координат из математической системы (х, у) в Экранную (U, V) по следующим формулам:
U = (x – a) * um / (b – a)
V = (d – y) * vm / (d – c)
Где um – размер экрана в пикселях по горизонтали,
vm – размер экрана по вертикали,
um/(b – a) – число точек на [a, b] (по горизонтали),
vm/(d – c) – число точек на [c, d] (по вертикали).
Задача 4
Построить график функции y = 2sin( x + 
) и
проверить соответствует ли он графику функции
построенному с помощью программы BASIC
Порядок построения графика такой:
– строим график функции у = sinх;
– ось ординат переносим по горизонтали на ;
– график растягиваем по оси ординат в 2 раза.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–2, 2].
в) Функция нечетная: sin(– x) = sin x для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для
всех х R.
д) sin x = 0 при х = – + k, k Z.
е) sin x >0 для всех х (–+ 2 k; 
+ 2k), k Z.
ж) sin x < 0 для всех х (+ 2k; 
+ 2k), k Z.
з) Функция убывает от 2 до – 2 на промежутке [
+2k; 
+ 2k], k Z.
и) Функция возрастает от – 2 до 2 на промежутке
[–
+ 2k; + 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение,
равное 2, в точке х = + 2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение,
равное –2, в точке х = + 2k, k Z.
10 rem y = 2sin(x + )
20 def y(x) = 2 * sin(x + 3.14/3)
30 screen 2
40 line(320, 0) – (320, 120)
50 line(0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.33
70 pset (27 * x,120 – 120 * fn y(x) / 10)
80 next x
5. Подведение итогов занятия
6. Домашнее задание: составить
программы и построить графики функций у = – sin 3x, у
= cos x – 2.