Цели урока
Образовательные:
- Научить применять законы булевой алгебры логики для упрощения логических выражений;
- Научить по заданной таблице истинности получать формулу логического выражения и схему логического элемента.
Развивающая
- Развитие внимания, кропотливости, способности к сравнению.
Этапы урока
- Повторение, актуализация полученных знаний:
Приоритет логических операций.
Законы алгебры логики. - Постановка задачи.
- Знакомство с СКНФ и СДНФ
- Самостоятельная работа по получению формулы и схемы логического элемента по известной таблице истинности.
- Домашнее задание.
- Рефлексия.
Оборудование:
На партах учащихся должны быть законы алгебры логики (приложение 1).
Карточки, законы алгебры логики и примеры составления СКНФ и СДНФ можно разместить в локальной сети, предварительно отсканировав, или просто отпечатать и раздать каждому ученику на парту. При проведении урока целесообразно применить мультимедийный проектор для проведения презентации. Это поможет учителю более рационально использовать время урока, а ученикам – поможет быстрее воспринять информацию.
Ход урока
На экране проецируется первый кадр презентации – надпись "Алгебра логики на службе разведки или разгадаем загадку “Черного ящика”…"
Учитель начинает: Ни для кого не является
секретом, что существует такая часть
человечества, которая посвящает погоне за чужими
секретами и разгадке сложнейших загадок большую
часть своей жизни. (В качестве примера можно
привести сюжеты из художественных фильмов,
мультфильмов и детективов в которых
представители различных разведок пытаются
овладеть новым экземпляром "чипа" или,
другими словами, логической микросхемы.) И,
конечно, много усилий нужно приложить для того,
чтобы разгадать секрет и выяснить устройство
этого "чипа". При разгадке схемы такого
устройства используется алгебра логики. И на
сегодняшнем уроке мы и познакомимся с методами
помогающими решить такого рода задачи.
В ходе нашего урока нужно будет использовать
законы алгебры логики для упрощения логических
выражений. И, начиная нашу работу, я прошу, чтобы
вы напомнили мне:
- Приоритет логических операций в порядке убывания. (Вызванный к доске ученик записывает обозначения и название логических операций в порядке убывания приоритета.)
- Порядок построения таблицы истинности. А точнее – заполнение таблицы значений для логических переменных. (Вызванный к доске ученик заполняет и поясняет заполнение таблицы истинности для трех логических переменных.)
- И для упрощения выражений нам понадобятся законы алгебры логики.
Закон исключения (склеивания) (опросить учеников)
Распределительный закон (опросить учеников)
Закон поглощения (опросить учеников)
На экране проектора слайд – картинка – "исследование…"
Учитель: Ну и после повторения можно, наконец, перейти к основной части нашего урока.
Так как же исследовать "чип"?
Оказывается очень просто.
Первое, что нужно знать – какие из его выводов являются его входами, а какие его выходами.
Затем подавать на его входы электрические сигналы соответствующие логическим "0" и "1" и отслеживать при этом сигналы на его выходах.
Если записать результаты измерений, то мы получим таблицу истинности.
Имея таблицу истинности логического элемента для получения его логической формулы можно применить один из двух способов.
Способ 1.
Наиболее широкое распространение получила совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
Её логичнее применять, когда среди значений логической функции (последний столбец таблицы истинности) значений равных "1" меньше чем значений равных "0".
Пример составления СДНФ.
| x | y | z | f(x, y, z) |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Составляем СДНФ таким образом: для каждой строки с единицей в крайнем правом столбце запишем конъюнкции входных переменных. (Для ячейки таблицы, в которой стоит значение “1”, пишем переменную-аргумент, а для каждой ячейки, где проставлен 0, пишем переменную-аргумент со знаком инверсии.) Возьмем выражения для каждой строки в скобки и объединим их операцией дизъюнкции. Для нашего примера СДНФ выглядит так:
Для упрощения выражения
- Вначале применяют закон склеивания для
логического сложения {20}:
,
в приведенном примере он применим к тем выражениям в скобках, которые отличаются друг от друга лишь двумя инверсными значениями переменных (например, первая и вторая скобки содержат y и не y , а остальная часть выражения совпадает).
После упрощения по закону склеивания получаем:
- К полученному выражению применим
распределительный (дистрибутивный) закон для
логического сложения{6} (только в обратной
записи):
Вынесем из скобок 
и получим:
- К полученному выражению (в скобках) применим
закон поглощения для логического сложения{18}:
и получим итоговую логическую функцию:
На этом упрощение выражения закончено. (Правильность преобразования можно проверить с помощью построения таблицы истинности полученной функции.)
После упрощения и проверки строится схема логического элемента
ИТОГ: Таким образом, зная только таблицу истинности логического элемента, мы выяснили его логическую формулу и его схему.
Способ 2.
Так же широкое распространение получила совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).
Её логичнее применять, когда среди значений логической функции (последний столбец таблицы истинности) значений равных "0" меньше чем значений равных "1".
Пример составления СКНФ.
Составим СКНФ например для функции,
| x | y | z | f(x, y, z) |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Составляем СКНФ таким образом: для каждой строки с нулем в крайнем правом столбце запишем дизъюнкции входных переменных (для ячейки таблицы, где проставлен 0, пишем переменную-аргумент, а для каждой ячейки, где проставлена 1, пишем переменную-аргумент со знаком инверсии). Возьмем выражения для каждой строки в скобки и объединим их операцией конъюнкции. Для нашего примера СКНФ выглядит так:
.
Упростим выражение:
- вначале применим закон склеивания для
логического умножения{21}
В приведенном примере он применим к тем выражениям в скобках, которые отличаются друг от друга лишь двумя инверсными значениями переменных (например вторая и третья скобки содержат x и не x, а остальные части выражений совпадают).
После упрощения по закону склеивания получаем:
- к полученному выражению применим
распределительный (дистрибутивный) закон для
логического умножения {7}
Вынесем из скобок и получим:
- к выражению в скобках применим закон поглощения
для логического умножения{19}:
. В результате получим выражение:
.
На этом упрощение закончено. (Правильность преобразования можно проверить с помощью построения таблицы истинности полученной функции.)
После упрощения и проверки строится схема логического элемента
ИТОГ: Таким образом, зная только таблицу истинности логического элемента, мы выяснили его логическую формулу и его схему.
Примечание для учителя:
В большинстве случаев при упрощении логической формулы применение законов идет в указанной выше последовательности, но иногда уже после применения закона склеивания упростить выражение не представляется возможным.
После разбора примеров составления СКНФ и СДНФ приступаем к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам-заданиям.
Самостоятельная работа проводится по карточкам из пособия “Раздаточные материалы по информатике 7-9 классы”. Часть 1 Анеликова, Л.А. –М: Дрофа,2004.
По ходу работы учитель корректирует деятельность учащихся. Результаты самостоятельной работы оцениваются в конце урока.
Домашним заданием может быть работа по получению формул и схем по заранее составленным таблицам истинности.
При проведении рефлексии следует попросить ребят выразить свое мнение о работе на уроке, путем ответов на вопросы:
- Чему вы научились на уроке?
- Что вызвало затруднения на уроке?
- Почему при выполнении задания у вас возникали трудности?
- Как, по вашему мнению, можно ли было их избежать?
- Что вам понравилось на уроке?