Занятие элективного курса "Математика в экономике" по теме: "Сложные проценты" в 10-м классе

Цели занятия:

1) Изучить формулу сложных процентов, сравнить графики простых и сложных процентов, способствовать формированию навыков решения практических задач по теме урока.

2) Развивать логическое мышление, память учащихся, творческие и аналитические способности учащихся.

3) Воспитывать активную жизненную позицию, интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению учащихся.

Оборудование:

1. Раздаточный материал с таблицей “Коэффициенты наращения сложных процентов”, (приложение 1).
2. Печатные формулы простых и сложных процентов.
3. Заготовка для графика.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Защита домашнего задания

1) Обязательная задача (текст заготовлен на доске)

Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берет в банке взаймы под 10% годовых еще 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%. Чему равен доход предприятия за год работы?

Решение:

1. 100 + 50 = 150 (млн. руб.)
2. 150 · 0,3 = 45 (млн. руб.) – полученная прибыль на 150 млн. руб.
3. 50 · 0,1 = 5 (млн. руб.) – выплата за ссуду,
4. 45 – 5 = 40 (млн. руб.) – прибыль предприятия.

Ответ: 40 млн. руб.

2) Творческое задание: задачи, составленные учащимися с использованием различных источников информации.

2.1. По итогам деятельности разреза “Нерюнгринский” за 2003 г.:

Определить на сколько % п6еревыполнен план.

2.2. По образованию (По материалам газеты “Час досуга”)

В анализе работы Нерюнгринского района за 2003 год, говорится о том, что на 1. 09. 2003 года в школах района 10,5% педагогов имели высшую категорию и 32.5% имели I категорию. А сейчас давайте вычислим, сколько педагогов высшей и первой категории работает в нашей школе (в процентах от общего количества).

Всего в СОШ №18 – 65 педагогов.

Высшую категорию имеют 7 педагогов; р=7:65 100=10,7%.

I категорию – 15 педагогов; р=15:65 100=23,1%

Получается, что в нашей школе преподавателей высшей категории примерно столько же сколько в среднем по району, а учителей I категории меньше, чем в районе. Вот такой у нас педагогический коллектив.

2.3. Работа администрации города с письмами граждан

В газете “Индустрия севера” за 16 января 2004 года помещен материал о пресс-конференции главы муниципального образования “Нерюнгринский район” В. В. Старцева с представителями городских и республиканских СМИ, в котором меня заинтересовали некоторые факты.

Цитирую.

“За минувший год к главе администрации поступило 681 письменное обращение. Все они рассмотрены, 50% решены положительно, в 175 случаях отказано, по 138 дано разъяснение. По поводу зарплаты в 2002 году к главе обращались 32 раза, а в 2003–21раз.”

Выясним, на сколько процентов число обращений к главе администрации по поводу зарплаты в 2002 году больше, чем в 2003?

32 – число обращений в 2002году (В)

21 – число обращений в 2003 году (А)

Найти на сколько процентов В больше А.

Решение:

;

Ответ: В2002 году к главе администрации поступило на 52,4% обращений больше, чем в 2003 году.

III. Изучение нового материала:

10 Вводная беседа учителя.

Почему в 2003 году писем по поводу заработной платы в администрацию города поступило на 53% меньше чем в 2002 году?

- Учащиеся выдвигают предположения.

Каждое высказанное предположение может быть верным, а может быть и ложным. Для того чтобы узнать истинную причину нам, видимо, на данный момент недостаточно информации. Для того чтобы полностью владеть ситуацией, необходимо быть хорошо информированным по существу вопроса.

На предыдущих занятиях мы с вами рассматривали задачи на проценты, задачи на простые проценты, но этим не исчерпывается применение процентов в экономике, и сегодня мы расширяем свои знания в этой области.

Тема занятия “Сложные проценты”

2) Изложение темы:

Пусть банк выплачивает по сберегательному счету простые проценты по ставке I в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Вкладчик может поступить по разному:

I. Если он закроет счет через год, то он получит сумму S (1) = S (0) · (1 +I)

Допустим, что он положит эту сумму еще на один год с теми же условиями, тогда через второй год он получит: S (2) = S (1) · (1 + I) = S (0) · (1+I) ²

II. Если он не переоформит свой вклад, то по простым процентам он получит за два года:

S (2) = S (0) · (1 + 2I)

Равны ли эти суммы? Сравним их:

S (0 ·1 + I) ²– S(0) · (1 + 2I) = S(0) · (1 + 2I +I –1 – 2I ) = S(0) · I

Так какой же способ выгоднее для вкладчика?

- I. Так как вкладчик получает при этом на S (0) · I больше.

Величина S(0)·I – приращение на проценты, полученные за первый год или, так называемые “проценты на проценты”.

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты.

Исходная сумма или база (S (0)) для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления, а для простых процентов база постоянна (S (0)).

Запишем в словари ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.

Выведем формулу расчета наращенной суммы S (n) с годовой процентной ставкой I при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

– К доске вызывается ученик вывод формулы:

S (1) = S (0) +S (0) ·I =S (0) · (1 + I)

S (2) = S (1) + S (1) · I = S (1) · (1 + I) = S (0) · (1 + I)²

S (3) = S (0) · (1 + I)³·

……………………….. ·

S (n) = S(0) · (1 + I) ⁿ – Формула сложных процентов, где

S (n) – наращенная сумма через n лет

S (0) – базовая сумма

I – процентная ставка по сложным процентам

N – число периодов наращения

Эта формула описывается геометрической прогрессией со знаменателем q = 1 + I.

Пример 1. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочныи вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег вы получите через два года?

Дано: S (0) = 10000 руб. , I = 0,1, n = 2.

Найти: S (2).

Решение: S (2) = S(0) · (1 + I)²

S (2) = 10000 · (1 +0,1)² = 10000 ? 1,21 =12100 руб.

Ответ: 12100 руб.

Отношение

– коэффициент наращения по сложным процентам

Для начисления сложных процентов в банках используют “Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам”, рассмотрим их (таблицы на столах у всех учащихся )

Устная работа с таблицей:

Назовите коэффициент наращения по ставке 15% годовых для n = 4 ()

8% годовых для n =5 ()

Пример 2. (Письменно)

Вкладчик открыл счет в сбербанке на сумму 15000 руб. с годовой процентной ставкой 8. Какую сумму он будет иметь на счету через 3 года, через 5 лет?

Решение:

1. ,
2. 15000 ·1,2597 = 18895,5 руб
3. ; 15000 · 1,4693 = 22039,5 руб.

IV. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой.

Заполните таблицу:

Вариант	S (0) тыс. руб.	n	I %	S (n) тыс. руб.
1	500	3	18	821516
2	400	6	14	877989
3	50	5	14	96270,73
4	300	6	12	592146,75

Столбец S (n) закрыт до самопроверки.

V. Работа в парах.

Сравните коэффициенты наращения по простым процентам и сложным при I = 18% годовых. Заполните таблицу и постройте график зависимости Q от n.

Q n	0,25	0,5	1	5	10
Q = 1 +I·n
Qc = (1 +I)n

График зависимости Q от n

Какой совет вкладчикам банка вы можете дать, проанализировав расположение графиков?

(Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков).

VI. Пример из классической литературы:

Михаил Евграфович Салтыков – Щедрин описывает в “Господах Голавлевых” такую сцену: “...Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой “на зубок” 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей…”

Задание: Попробуйте по приведенным цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчетов примем равным пятидесяти годам.

Решение:

Пусть ставка равна X%,

Тогда S(50) =100·(1 + X)

800 =100 ·(1 +X)ⁿ

………………………

X~ 3.9

Итак, в то время ломбард платил 3,9% годовых.

VII. Домашнее задание:

1. Что выгоднее: заплатить за учебу в ВУЗе 10000 условных денежных единиц в начале обучения или 15000 у. д.е. по окончании учебы (через 5 лет).

Процентная ставка равна 10% годовых.

2. Практическое задание.

Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:

• Виды вкладов,
• Годовые процентные ставки по ним,
• Срок наращения,
• Минимальный взнос.

Составьте задачу и решите ее.

VII. Итоги занятия.

Приложение