Цель: расширить математический кругозор учащихся, познакомив с полярной и косоугольной системами координат, рассмотреть понятие уравнение линии в разных системах координат.
Ход занятия
1. Актуализация знаний
Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.
а) Координатная прямая
- Вспомните определение координатной прямой.
- Какие свойства чисел можно описать с помощью координатной прямой?
- Что правее на координатной прямой: А (а) или В (-а), С (х) или Д (2х)?
- Какое взаимнооднозначное соответствие можно установить с помощью координатной прямой?
б) Прямоугольная система координат (сообщение Микановой Иры)
Еще греческий ученый Гиппарх (100 л. до н.э.) предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, то есть ввел теперь хорошо известные географические координаты, обозначив их числами. Только через 1600 лет, в XV веке французский математик Оресм ввел по аналогии с географическими координатами координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой, то, что мы сейчас называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связывающий геометрию с алгеброй. Точка плоскости — геометрический объект — заменяется парой чисел (х; у), то есть алгебраическим объектом. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. Он стал основателем аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Известно высказывание Декарта: “Я решил все задачи!”. Он имел ввиду геометрические задачи своего времени. Рассмотрим геометрическую задачу: “Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?”. Ответ на этот вопрос известен из школьного курса геометрии: существуют три случая расположения прямой и окружности: прямая и окружность могут, во-первых не иметь общих точек, во-вторых, иметь единственную точку (случай касания) и, наконец, иметь две общие точки (случай пересечения). Однако обосновать этот ответ чисто геометрическими средствами не так уж просто, особенно для случая пересечения. Заменим эту задачу алгебраической.
Задание для учащихся:
Задача 1. Найдите число точек пересечения единичной окружности и прямой, параллельной оси абсцисс.
Решение:
Эти фигуры задаются двумя уравнениями:
Чтобы найти общие точки, решим систему этих двух уравнений:
Подставим у = а в первое уравнение х2 = 1 – а2
При 1 – а2 > 0 уравнение имеет два корня.
При 1 – а2 < 0 уравнение не имеет корней.
При 1 – а2 = 0 уравнение имеет один корень.
Зная, что радиус окружности равен единице и что модуль а — это расстояние от прямой до начала координат, то есть от центра окружности, мы можем сформулировать ответ на вопрос.
Ответ: Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от прямой до центра окружности меньше ее радиуса; одну общую точку, если это расстояние равно радиусу, и не имеют общих точек, если это расстояние больше радиуса.
Из этого частного случая мы можем сделать общий вывод потому, что любой случай расположения прямой и плоскости можно свести к рассмотренному нами простейшему, если подходящим образом выбрать систему координат. Достаточно взять центр окружности за начало координат, радиус окружности — за единицу по обеим осям и мы получим для прямой и окружности те же самые уравнения. Еще одно достоинство метода координат заключается в том, что свобода выбора системы координат позволяет при решении задач рассматривать наиболее простые случаи.
2. Изучение нового материала
а) Косоугольная система координат (сообщение Безбородовой Натальи)
Косоугольная система координат отличается от прямоугольной тем, что ее оси не перпендикулярны. Координаты точки определяются как в прямоугольной системе координат по прямым параллельным осям.
Рисунок 1.
В некоторых случаях оказывается удобным менять не только угол между осями, но и брать на осях разные единицы измерения. Координатная сетка вместо квадратов образует параллелограммы. Многие формулы, полученные в прямоугольной декартовой системе координат, остаются в силе и в косоугольной системе.
Например, уравнение 
так остается уравнением прямой,
отсекающей на осях координат отрезки а и в.
Постройте график линейной функции 
в косоугольной системе
координат.
Рисунок 2.
Не меняются формулы нахождения координат середины отрезка, но формула расстояния между двумя точками будет более сложной, даже если единицы масштаба на осях будут одинаковыми.
Подумайте, при каких условиях уравнение х = у останется уравнением биссектрисы первого и третьего координатных углов и в косоугольной системе координат.
Определите, какие линии будут задавать в косоугольной декартовой системе координат уравнения
а) х2 + у2 = 4
б) у = х2
в) ху = 1
Ответ на этот вопрос трудно строго обосновать. Постройте требуемые линии приблизительно, по точкам и посмотрите, на какие знакомые прямые они похожи.
б) Полярная система координат (сообщение Коминой Ирины)
Полярные координаты точки определяются
следующим образом: на плоскости задается
числовой луч ОХ. Начало луча, точка О, называется
полюсом, а ось ОХ – полярной осью. Для
определения положения точки М в полярной системе
координат указывают расстояние от полюса до этой
точки и направление, в котором она находится.
Расстояние от точки до полюса называется
полярным радиусом точки и обозначается буквой 
(произносится
“ро”).
Направление задается углом поворота от луча ОХ до луча ОМ.
Рисунок 3.
Постройте точки М (3; 45°) и В (2; 120°).
Рисунок 4.
Как называются числа 3, 2, 45°, 120°?
Итак, в полярной системе координат положение
точки определяют два числа (; 
)
— полярные координаты точки.
Задание 1.
Найдите координаты всех вершин правильного треугольника со стороной 1, если одна из вершин совпадает с полярной осью, а другая с полюсом.
Задание 2.
Постройте окружность с центром в полюсе и R = 2.
Запишите уравнение окружности ( = 2).
3. Проверка домашнего задания
Учащиеся показывают приготовленные заранее (консультируясь с учителем) чертежи различных линий в разных системах координат.
1. Спираль Архимеда. Эту довольно сложную
кривую задает на полярной плоскости уравнение = . Спираль Архимеда
описывается точкой, двигающейся по вращающемуся
кругу. Архимед (ок. 287–212 гг. до н.э.) не только
описал эту кривую, но и научился находить
касательную к своей спирали, а так же вычислять
площадь ее витка.
Рисунок 5.
2. Лемниската Бернулли. Это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек — фокусов — постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Ее автор – швейцарский математик Яков Бернулли (1654–1705). В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Построить лемнискату можно с помощью двух прямоугольных треугольников и нарисованной на листе бумаги окружности. Вершина острого угла одного из треугольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого — на окружности.
Рисунок 6.
4. Лабораторная работа
На приготовленных заранее листах бумаги ученики, выполнив вычисления, строят кардиоиду (от греческих слов kardia — “сердце” и eidos — “вид”). Эта кривая получается, если зафиксировать в плоскости окружность и начать катить по ней без скольжения окружность того же радиуса. Точка М на подвижной окружности будет описывать замкнутую траекторию.
Существуют и другие способы получения кардиоиды. Есть еще столь же изящный, сколь неожиданный способ увидеть кардиоиду. Представьте себе, что окружность — это края чашки, в одной точке ее отражается яркая лампочка. В чашку налит черный кофе, позволяющий увидеть яркие отраженные лучи. Кардиоида в результате выделена лучами света.
Рисунок 7
Рисунок 8
Таблица для лабораторной работы:
|
0° | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° | 210° | 240° | 270° | 300° | 330° | 360° |
| sin |
|||||||||||||
|
5. Подведение итогов
Показать лучшие результаты лабораторной работы. Повторить разные системы координат, их основные характеристики.
6. Домашнее задание
- Построить в полярных координатах кривую у = sin.
- Изобрести координаты на окружности. (Как определить положение точки на окружности?)