Существенным недостатком школьного курса “Алгебра и начала анализа” является то, что тема “Обратные тригонометрические функции” освещена не достаточно. Для того, чтобы решать различные задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, достаточно хорошо знать определения и свойства этих функций и известные тригонометрические формулы. (Приложение 1)
Поэтому в данной статье делается попытка осуществить классификацию задач с обратными тригонометрическими функциями, опирающимися главным образом на разнообразие заданий предлагаемых на вступительных экзаменах.
Остановимся на примерах, которые встречаются на вступительных экзаменах.
1. Показать, что функция
алгебраическая.
Решение: Применим формулу синуса суммы двух
углов, получим . Введем некоторые обозначения:
.
Следовательно, данная нам функция примет вид:
Что и
требовалось доказать.
1.2. Показать, что функция алгебраическая.
Решение: Применим формулу тангенса суммы
двух углов, получим . Введем
некоторые обозначения:
.
Следовательно, данная нам функция примет вид:
Что и
требовалось доказать.
2. Найти точное значение
Решение: По определению , следовательно,
. Число
5 этому промежутку не принадлежит. Пусть
и взяв
тангенсы левой и правой части последнего
равенства, получим
. По условию
равенства тангенсов имеем, что
. Но в наших
условиях
Поэтому
2.2. Найти точное значение
Решение: По определению . На координатной
плоскости рассмотрим числовую окружность и
отметим на ней точки А и В с абсциссой равной
(они
лежат на прямой
). Точка А соответствует числам
, а
точка В соответствует числам
. Отрезку
принадлежит единственная точка соответствующая
числу
. Поэтому,
.
- Найти точное значение
Решение: Пусть , тогда по
определению арккосинуса запишем:
. Задача, таким
образом, сводится к следующей по известным
данным
найти
. Решим последнюю задачу с помощью
соотношениями между тригонометрическими
функциями. Действительно,
Pешая какую-нибудь задачу (чаще всего
геометрическую), в которой требуется определить
неизвестный угол, можно получить ответ в
различных формах записи выражающих один и тот же
угол. Например,
3.1. Докажите, что .
Решение: Прежде исследуем каждый из этих углов:
Поскольку все три рассматриваемых угла лежат в
пределах от 0 до , то для доказательства их равенства
достаточно показать, что какая-нибудь
тригонометрическая функция каждого их этих
углов имеет одно и тоже значение:
Таким образом, на
.
3.2. Доказать, что .
Решение: Вычислим косинус правой и левой
частей равенства . Применяя, формулу косинус суммы
аргументов и свойства обратных
тригонометрических функций получаем
4.1. Вычислить
Решение: По определению . Определим этот
угол с помощью графика функции
.
На оси абсцисс отложим число 10, - есть ордината
точки графика, соответствующей х=10. Через точку
проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной
из точек пересечения этой прямой с синусоидой
лежит на отрезке
, это абсцисса и соответствует
искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и
в силу симметричности точек ? и 10 относительно
точки
получаем, что
. Следовательно,
4.2. Вычислить
Решение: По определению . Определим этот
угол с помощью графика функции
.
На оси абсцисс отложим число 10, - есть абсцисса
точки графика, соответствующей х=10. Через точку
пересечения прямой х=10 и графика функции
проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной
из точек пересечения этой прямой с синусоидой
лежит на отрезке
, это абсцисса и соответствует
искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и
в силу симметричности точек ? и 10 относительно
точки
получаем, что
. Следовательно,
5.1. Сравните:
Решение:
5.2. Сравните:
6.1. Решите уравнение
Решение: ОДЗ определяется из условия:
Преобразуем уравнение и возьмем синус
от обеих частей:
Проверим, попадают ли корни в ОДЗ:
6.2. Решите уравнение:
Решение: Так как область значений функции
арксинус , тогда исходное уравнение можно записать
с помощью системы двух уравнений:
Левые части уравнений системы равны,
следовательно, будут равны и правые части
6.3. Решите уравнение:
Решение: Возьмем синус от обеих частей
уравнения . Воспользуемся формулой синус суммы двух
аргументов
.
Используя формулы: получаем:
6.4. Решите уравнение:
Решение: Возьмем синус от обеих частей
уравнения . Воспользуемся формулой синус суммы двух
аргументов
.
Используя формулы: получаем:
6.5. Решите уравнение:
Решение: Введем обозначение , тогда исходное
уравнение представим в виде квадратного
уравнения:
или
. Найдем корни последнего уравнения
. С
учетом ограничения функции арксинус получаем
6.6. Решите уравнение:
Решение: Представим уравнение в виде .
Возьмем тангенс от обеих частей уравнения
.
6.7. Решите уравнение:
Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:
Возьмем косинус от обеих частей уравнения . Так
как
и
тогда
. С учетом О.Д.З. получаем
6.8. Решите уравнение:
Решение: Из ограниченности функции арксинус
следует, что О.Д.З.: . Возьмем синус
от обеих частей уравнения:
. Воспользуемся
формулами косинус двойного аргумента и синус
суммы аргументов, получим:
Пусть , тогда последнее уравнение запишем в
алгебраической форме:
Проверим, попадают ли корни в О.Д,З.: