Существенным недостатком школьного курса “Алгебра и начала анализа” является то, что тема “Обратные тригонометрические функции” освещена не достаточно. Для того, чтобы решать различные задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, достаточно хорошо знать определения и свойства этих функций и известные тригонометрические формулы. (Приложение 1)
Поэтому в данной статье делается попытка осуществить классификацию задач с обратными тригонометрическими функциями, опирающимися главным образом на разнообразие заданий предлагаемых на вступительных экзаменах.
Остановимся на примерах, которые встречаются на вступительных экзаменах.
1. Показать, что функция 
алгебраическая.
Решение: Применим формулу синуса суммы двух
углов, получим 
. Введем некоторые обозначения:
.
Следовательно, данная нам функция примет вид: 
Что и
требовалось доказать.
1.2. Показать, что функция 
алгебраическая.
Решение: Применим формулу тангенса суммы
двух углов, получим 
. Введем
некоторые обозначения: 
.
Следовательно, данная нам функция примет вид: 
Что и
требовалось доказать.
2. Найти точное значение 
Решение: По определению 
, следовательно, 
. Число
5 этому промежутку не принадлежит. Пусть 
и взяв
тангенсы левой и правой части последнего
равенства, получим 
. По условию
равенства тангенсов имеем, что 
. Но в наших
условиях 
Поэтому 
2.2. Найти точное значение 
Решение: По определению 
. На координатной
плоскости рассмотрим числовую окружность и
отметим на ней точки А и В с абсциссой равной 
(они
лежат на прямой 
). Точка А соответствует числам 
, а
точка В соответствует числам 
. Отрезку 
принадлежит единственная точка соответствующая
числу 
. Поэтому, 
.
- Найти точное значение
Решение: Пусть 
, тогда по
определению арккосинуса запишем: 
. Задача, таким
образом, сводится к следующей по известным
данным 
найти 
. Решим последнюю задачу с помощью
соотношениями между тригонометрическими
функциями. Действительно,
Pешая какую-нибудь задачу (чаще всего
геометрическую), в которой требуется определить
неизвестный угол, можно получить ответ в
различных формах записи выражающих один и тот же
угол. Например, 
3.1. Докажите, что 
.
Решение: Прежде исследуем каждый из этих углов:
Поскольку все три рассматриваемых угла лежат в
пределах от 0 до 
, то для доказательства их равенства
достаточно показать, что какая-нибудь
тригонометрическая функция каждого их этих
углов имеет одно и тоже значение:
Таким образом, на 
.
3.2. Доказать, что 
.
Решение: Вычислим косинус правой и левой
частей равенства 
. Применяя, формулу косинус суммы
аргументов и свойства обратных
тригонометрических функций получаем 
4.1. Вычислить 
Решение: По определению 
. Определим этот
угол с помощью графика функции 
.
На оси абсцисс отложим число 10, 
- есть ордината
точки графика, соответствующей х=10. Через точку 
проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной
из точек пересечения этой прямой с синусоидой
лежит на отрезке 
, это абсцисса и соответствует
искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и
в силу симметричности точек ? и 10 относительно
точки 
получаем, что 
. Следовательно, 
4.2. Вычислить 
Решение: По определению 
. Определим этот
угол с помощью графика функции 
.
На оси абсцисс отложим число 10, 
- есть абсцисса
точки графика, соответствующей х=10. Через точку
пересечения прямой х=10 и графика функции
проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной
из точек пересечения этой прямой с синусоидой
лежит на отрезке , это абсцисса и соответствует
искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и
в силу симметричности точек ? и 10 относительно
точки 
получаем, что 
. Следовательно, 
5.1. Сравните: 
Решение:
5.2. Сравните: 
6.1. Решите уравнение 
Решение: ОДЗ определяется из условия: 
Преобразуем уравнение 
и возьмем синус
от обеих частей: 
Проверим, попадают ли корни в ОДЗ:
6.2. Решите уравнение: 
Решение: Так как область значений функции
арксинус , тогда исходное уравнение можно записать
с помощью системы двух уравнений:
Левые части уравнений системы равны,
следовательно, будут равны и правые части 
6.3. Решите уравнение: 
Решение: Возьмем синус от обеих частей
уравнения 
. Воспользуемся формулой синус суммы двух
аргументов 
.
Используя формулы: 
получаем:
6.4. Решите уравнение:
Решение: Возьмем синус от обеих частей
уравнения . Воспользуемся формулой синус суммы двух
аргументов .
Используя формулы: получаем:
6.5. Решите уравнение: 
Решение: Введем обозначение 
, тогда исходное
уравнение представим в виде квадратного
уравнения: 
или 
. Найдем корни последнего уравнения 
. С
учетом ограничения функции арксинус получаем 
6.6. Решите уравнение: 
Решение: Представим уравнение в виде 
.
Возьмем тангенс от обеих частей уравнения 
.
6.7. Решите уравнение:
Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:
Возьмем косинус от обеих частей уравнения 
. Так
как 
и 
тогда 
. С учетом О.Д.З. получаем 
6.8. Решите уравнение: 
Решение: Из ограниченности функции арксинус
следует, что О.Д.З.: 
. Возьмем синус
от обеих частей уравнения: 
. Воспользуемся
формулами косинус двойного аргумента и синус
суммы аргументов, получим: 
Пусть 
, тогда последнее уравнение запишем в
алгебраической форме: 
Проверим, попадают ли корни в О.Д,З.:
