Цели занятия:
– Расширить границы восприятия мира.
– Показать существование других геометрий и других миров.
– Подключить к рассуждению о человеке способном пойти против целого общества, его качествах, мировоззрении и т.д.
– Познакомить с основными понятиями геометрии Лобачевского.
– Сравнить геометрию Лобачевского и геометрию Евклида.
– Развивать интуицию, способность к самоанализу, самостоятельному мышлению.
– Повысить интерес к математике.
– Развивать находчивость, смелость, умение общаться, слушать собеседника, рассуждать, иметь свою точку зрения, уважать мнение другого.
– Развивать творческое мышление.
– Воспитать стремление к труду, бережливости своего времени и рациональности его использования.
– Интуитивно понимать мировые законы развития, осознанного существования человека, существования личного пути и призвания…
Ход занятия:
I. Рассуждение.
Настроить детей на необычное занятие. Сообщить, что занятие будет в форме философской беседы. Сообща, с помощью наводящих вопросов, выяснить, что такое философия, кто такой философ. Подключить всех к общей беседе, дать возможность порассуждать, используя свой опыт, знания и интуицию. Объявляю тему занятия, и рассматриваем портрет Николая Ивановича Лобачевского.
II. Погружение.
С помощью стихов и тихо звучащей музыки погрузиться в мир чувств, эмоций, переживаний. Дети читают стихи о Лобачевском.
В. Фирсов. Н.И. Лобачевскому
Высокий лоб, нахмуренные брови.
В холодной бронзе – отраженный луч…
Но, даже неподвижный и суровый,
Он, как живой, - спокоен и могуч.
Когда-то здесь, на площади широкой,
На этой вот казанской мостовой,
Задумчивый, неторопливый, строгий,
Он шел на лекции – великий и живой.
Пусть новых линий не начертят руки,
Он здесь стоит, взнесенный высоко,
Как утверждение бессмертья своего,
Как вечный символ торжества науки.
Владимир Михановский. Пути параллелей
(Страницы жизни великого геометра. Отрывки из поэмы)
Восстание мысли.
…Снасти ветхие рвёт и ревёт непогода.
Поспешая по белым снегам,
Наступает декабрь двадцать пятого года,
Кривотолков встревоженный гам,
Гнев, тревога, надежда, тоска, ожиданье…
Параллели рядов, параллели времён.
В Петербурге восстанье! Восстанье! Восстанье!
Розоватыми вспышками снег озарён.
Псов дорассветный лай. Душа изнемогла.
Отныне Николай вершит свои дела.
Оперся на штыки, заткнул России рот.
Одних – на рудники, других – на эшафот.
Вновь над Россией мгла в неверном постоянстве.
Такие вот дела в евклидовом пространстве.
Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.
Ты на четкий чертёж неотрывно глядишь.
После встал, потянулся устало,
Вечность тайну тебе нашептала,
И умом изумленным постигнул ты то,
Что доселе не знал и не ведал никто:
Параллели стрелою нацелены ввысь,
Параллели пронзают межзвездные дали.
Параллели – ты чуешь! – стремятся сойтись,
Только сразу такое постигнешь едва ли.
Гений, гений, просторы вселенной исчисли!
Это – тоже восстанье – восстание мысли.
…И всё громче, как будто свершая обряд,
Ты, мол, разум утратил, - коллеги твердят.
-Чушь, - кричат, - Лобачевский, нелепица, бред.
Ничего смехотворней и в мире-то нет!
Параллели не встретятся – это же просто,
Как дорога от города и до погоста!
Ну, хоть рельсы возьми: пересечься им, что ли,
Хоть сто лет рассекая раздольное поле?
Не понять им: коль к звездам протянутся рельсы, -
Окунуться с разбега в иные законы.
Там, где в нуль обращается зябнувший Цельсий,
Аксиомы пространства пока потаенны…
Сумерки гения
Где-то Волга блестит, зеленеют луга,
Разнотравьем шелковым манят берега,
Здесь же – мраком налит кабинет до краёв.
Приговор катаракты бесстрастно суров.
Темнота подступает волной,
Нависает зловещей стеной.
Мир окрестный, геометр, ты больше не видишь.
О, как тьму бессердечную ты ненавидишь!
Жизнь – на ощупь: вот книга, вот стол, вот перо,
Вот подсвечник – чеканное серебро.
Прежде всех ты почуял – сквозь стылую млечность
Параллели, сливаясь, спешат в бесконечность.
Слишком рано…Других убедить ты не в силе.
И тебя осмеяли, при жизни забыли.
Просто видел ты дальше, чем видит иной.
Просто видел ты больше, чем видит любой.
…Всё труднее шаги, всё короче дыханье.
Паралич… И в простор отлетает душа.
В тот простор, где звезды путеводной мерцанье,
Где бегут параллели, столкнуться спеша…
3. Удивление.
Знакомлю с геометрией Лобачевского, что приводит детей в замешательство, возможно ли такое? Эта новая информация вызывает сомнение, интерес, любопытство, непонимание, но моя цель достигнута, я вызвала бурю чувств, восстание мысли, сдвинула точку восприятия с определенного места, заставила хоть на миг ощутить мир по-другому.
Рассказываю историю создания
геометрии Лобачевского, которая одновременно
является историей попыток доказать пятый
постулат Евклида. Пятый постулат – это одна из
самых важных аксиом в аксиоматике Евклида. Сам 5П:
если две прямые пересекаются третьей так, что по
какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов
меньше двух прямых углов, то по эту же сторону
исходные прямые пересекаются. 
. <Рисунок1>
Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома – лишняя, то есть она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Допустив, что 5П неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.
Не может ли быть так, что, заменив 5П Евклида его отрицанием, мы придем к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но и не содержит логических противоречий? Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления “Начал” Евклида.
Первым был К. Гаусс. Это обнаружили после его смерти. Он не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым.
ХIХ век принес решение загадки 5П. К этому открытию независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник – профессор Казанского Университета Николай Иванович Лобачевский.
Он тоже выводил различные следствия из отрицания 5П, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию. Он доказал множество теорем, не обнаруживая логических противоречий. И тогда Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой 5П заменен его отрицанием. Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Свои исследования он изложил в ряде сочинений, начиная с 1829 года. Но математический мир не принял идеи Лобачевского. Ученые не были готовы к мысли о том, что может существовать геометрия, отличная от евклидовой. И лишь Гаусс выразил свое отношение к научному подвигу русского ученого: он добился избрания в 1842 году Н.И. Лобачевского член-корреспондентом Геттингенского королевского научного общества. Эта единственная научная почесть, выпавшая на долю Лобачевского при жизни. Он умер, так и не добившись признания своих идей.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования 5П. Например:
-вертикальные углы равны;
-углы при основании равнобедренного треугольника равны;
-из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр;
-сохраняются признаки равенства треугольников.
Но теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, изменяются.
Теорема о равенстве углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности.
Первый сюрприз: в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 1800.
В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников.
В геометрии Лобачевского существует 4 признак равенства треугольника: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, тогда эти треугольники равны.
Разность (1800 – сумма углов треугольника АВС)>0° в геометрии Лобачевского - дефект этого треугольника. SАВС=k DАВС. D – дефект треугольника. Число k зависит от выбора единиц измерения площади и углов. <Рисунок2>
Пусть угол АOВ – острый. В геометрии Лобачевского можно выбрать такую точку М на стороне ОВ, что перпендикуляр MQ к сторонам ОВ не пересекается с другой стороной угла.
Этот факт как раз подтверждает, что не выполняется 5П: сумма углов a и b меньше развернутого угла, но прямые ОА и MQ не пересекаются. Если начать приближать точку М к точке О, то найдется такая “критическая” точка М0, что перпендикуляр M0Q0 к стороне ОА все еще не пересекается со стороной ОА, но для любой точки М', лежащей между О и М0, соответствующий перпендикуляр М'Q' пересекается со стороной ОА.
Прямые ОА и М0Q0 все более приближаются друг к другу, но общих точек не имеют. <Рисунок3>
Именно такие, неограниченно приближающиеся друг к другу прямые, Лобачевский называет в своей геометрии параллельными. А два перпендикуляра к одной прямой (которые неограниченно удаляются друг от друга) Лобачевский называет расходящимися прямыми.<Рисунок4>
Этим и ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися (в этом случае они имеют единственный общий перпендикуляр).
Интересный вариант расположения трех прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них параллельны (только в разных направлениях).<Рисунок5>
Все прямые параллельны друг другу в одном направлении (пучок параллельных прямых). Эта линия перпендикулярна всем прямым. Эта линия называется предельной окружностью или орициклом.<Рисунок6>
Прямые пучка являются как бы ее “радиусами”, а “центр” предельной окружности в бесконечности, поскольку “радиусы” параллельны. В то же время предельная окружность – не прямая линия – она “искривлена”.
Это некоторые факты из геометрии Лобачевского.
Возникает убежденность, что эта теория, богатая удивительно красивыми результатами и содержательными фактами, в самом деле, непротиворечива. Но эта убежденность не заменяет доказательства непротиворечивости. Чтобы получить доказательство, надо было построить модель. И Лобачевский это хорошо понимал и пытался ее найти.
Но сам Лобачевский уже не смог сделать. Построение такой модели (т.е. доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского) выпало на долю математиков следующего поколения.
В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой и доказал, что на ней действует геометрия Лобачевского. Но на ней реализуется не вся плоскость Лобачевского, а лишь ее пучок, но все же этим была пробита первая брешь в глухой стене непризнания Лобачевского.
Через два года немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) предлагает другую модель плоскости Лобачевского. “Плоскостью” он назвал внутренность круга К. <Рисунок7>
Еще существует модель А. Пуанкаре (1859-1912).
Здесь даю задание желающим подготовить сообщения по темам: детство и юность Николая, К. Гаусс, А. Пуанкаре, Ф. Клейн, Э. Бельтрами, Я. Бойяи, Риман.
4. Размышления вслух.
Для того чтобы, выйти из тупика и найти правильный путь решения вопроса, нужно было не бояться авторитетов, обладать революционным духом, выдающейся научной смелостью; нужен был гений математического мышления, способный порвать с многовековыми предубеждениями, по-новому понять и решить проблему.
Таким гением и революционером в науке был наш великий соотечественник Н. И. Лобачевский.
Далее идет беседа-размышление о том, каким мог быть человек способный пойти против общества? Что позволило сделать открытие? Что особенного было у него? Чем отличался от других? Как пришло открытие? Мысли о времени, смысле жизни, зачем она дана нам. О выборе своего пути. О своих способностях. О невежестве. О качествах человека, идущего к цели – трудолюбии, устремленности, смелости, дерзости …
Лобачевский говорит, что овладение специальными знаниями (умственное образование) еще не завершает воспитания, так как человек еще должен учиться уметь наслаждаться жизнью, понимать красоту и быть счастливым. А счастливому человеку доступно все.
5. Обратная связь, или размышления на бумаге.
В конце занятия прошу детей написать отзыв о происходящем.
Список литературы:
- Д. Тарджеманов “Юность Лобачевского”, Казань –1987
- Б.Л. Лаптев “Н.И. Лобачевский и его геометрия”, М.: “Просвещение” - 1976
- О.А. Казанский “Педагогика как любовь”, М-1996
- Г.И. Глейзер “История математики в школе”, М.: “Просвещение”-1982
- Б.А. Кордемский “Увлечь школьников математикой”, М.: “Просвещение” - 1981
- Н.К. Рерих “Живая этика” о школе и воспитании. Пособие для преподавателей
- Л.С. Атанасян “Доп. главы к школьному учебнику геометрии”, М.: “Просвещение”1996
- Е.Е. Семенов “За страницами учебника геометрии”, М.: “Просвещение” -1999
- Журнал “Квант”, №4,1992
- С. Акимова “Занимательная математика. Нескучный учебник”, СПб.: “Тригон”-1998
- “100 великих имен”. Энциклопедия, “Слово” - 1998
- Энциклопедический словарь юного математика, “Педагогика - пресс” - 1997
- М. Колесников “Н.И. Лобачевский”
- А. Ливанова “Три судьбы” Постижение мира”