Перевод чисел в позиционных системах счисления. 10-й класс

Цели:

Образовательные:

• изучение и усвоение нового материала: восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления;
• изучение и усвоение нового материала: перевод чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот.

Воспитательные:

• повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач;
• обеспечение сознательного усвоения материала.

Развивающие:

• развитие мышления при помощи задач;
• совершенствование умственной деятельности с привлечением устного счета.

Опорные понятия:

• язык,
• алфавит,
• система счисления,
• позиционная и непозиционная системы,
• основание системы.

Задачи учителя:

• познакомить с восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления;
• научить переводу чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот.

План урока:

1. Организационный момент. Объявление темы урока.
2. Повторение пройденного материала.
3. Объяснение нового материала.
4. Физпауза.
5. Объяснение нового материала.
6. Проверочная работа (на усмотрение учителя).
7. Решение примеров.
8. Подведение итогов урока.
9. Домашнее задание.

ПРОВЕДЕНИЕ УРОКА

1. Организационный момент.

2. Повторение (устный опрос).

а) Что называется знаком?

б) Что называется символом?

в) Что называется алфавитом?

г) Какие вы знаете алфавиты?

д) Какие вы знаете наборы знаков, для которых нет какого-то порядка?

е) Назовите наборы, состоящие из двух знаков.

ж) Какие технические коды возникли с появлением электрического тока?

3. Объяснение нового материала.

Системы счисления, родственные двоичной

При работе с компьютерами приходится иметь дело с двоичными числами, поскольку двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека – числа получаются очень длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести двоичное число в десятичную систему и записать его в таком виде, а потом, когда оно понадобится, перевести его обратно, но все эти переводы очень трудоемки. Поэтому в современных компьютерах помимо двоичной системы счисления применяют и другие, более компактные по длине чисел системы – восьмеричная и шестнадцатеричная. Перевод из родственной системы в двоичную и обратно может быть мгновенно выполнен в уме.

Восьмеричная система счисления

В этой системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, сама восьмерка (как и двойка в двоичной системе) записывается совокупностью цифр “один” и “ноль” (10О, где буква О – обозначает восьмеричную систему счисления). Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает – как и в десятичном числе – просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем – 64 и т.д. Число 100₈ есть не что иное, как 64₁₀, а число 611₈ равно 6*64₁₀ + 1*8₁₀ + 1 = 393₁₀.

Примеры:

1) 502О = 5*8² + 0*8¹ + 2*8⁰ = 5*64 + 0 +2 = 320 + 2 = 322D;

2) 3602О =3*8³ + 6*8² + 0*8¹ + 2*8⁰ = 3*512 + 6*64 + 0*8 + 2*1 = 1536 + 384 + 0 + 2 = 1922D

Для замены десятичного целого числа на равное ему восьмеричное число используется алгоритм последовательного деления этого числа на 8.

Примеры: записать число 317 и 1922 в восьмеричной системе счисления.

Итак, имеем: 317D = 475О; 1922D = 3602О.

Рассмотрим правило замены двоичного числа на равное ему восьмеричное, предварительно рассмотрев таблицу, в которой каждой восьмеричной цифре поставлено в соответствие трехзначное двоичное число:

(Можно предложить учащимся самим предложить заполнить данную таблицу).

Удобство применения восьмеричной системы при работе с машинно-ориентированной информацией заключается в том, что переход от восьмеричной записи числа к двоичной осуществляется очень просто:

Каждую цифру восьмеричной записи следует заменить ее двоичным представлением (соответствующей двоичной триадой, т.е. трехразрядным числом).

Например:

Достаточно прост и обратный переход от двоичного представления какого-либо числа к восьмеричному:

Для этого в двоичной записи числа нужно выделить триаду (влево и вправо от запятой) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.

Например:

 

Задание.

1) Переведите число 611₈ в двоичную систему.
 

2) Переведите двоичные числа в восьмеричные.
111 111 111₂ = 777₈, 11 111 101 001₂= 3751₈

4. Физпауза.

5. Объяснение нового материала.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в 8-ричной системе достаточна компактна, но еще компактнее она получается в 16-ричной системе. В этой системе счисления данные (например, содержимое ячеек памяти – это 8-разрядные двоичные числа) представляются уже в виде двухразрядных чисел, а адреса – в виде максимум четырехразрядных. Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используют привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита:

A – 10,  D – 13,

B – 11,  E – 14,

C – 12,  F – 15.

Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 16₁₀, в следующем – 256₁₀ и т.д. Цифра F, записанная в самом младшем разряде, означает 15₁₀, в следующем разряде – 15₁₀*16₁₀ и т.д. Число 100₁₆ есть не что иное, как 256₁₀, а число AF0₁₆ равно 10₁₀*16²₁₀ + 15₁₀*16₁₀ = 2800₁₀.

Часто нижний индекс 16 опускают, например, вместо BAD₁₆ пишут просто BAD и это не приводит к ПЛОХИМ последствиям, поскольку в каждый момент понятно, о чем говорится – о числе или об английском слове bad (плохой).

Переход от шестнадцатеричной записи числа к двоичной осуществляется:

Каждую цифру шестнадцатеричной записи следует заменять соответствующей ей двоичной тетрадой. Неполные тетрады дополняются нулями. Разбивку производят для целой части числа – справа налево, а дробной – слева направо от запятой. Каждую из этих тетрад (групп) обозначают соответствующим символом:

Примеры:

Вопрос: Что обозначает буква “Н” после чисел?

Подведем итоги
Системы счисления, применяемые в ЭВМ

Можно предложить эту таблицу составить самим учащимся.

6. Проверочная работа ( проводить на этом или на следующем уроке – на усмотрение учителя).

Перед вами рисунок геометрической фигуры, в углах которой разбросаны кружочки с парами букв. Здесь зашифрована известная русская поговорка. Попытайтесь прочесть ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

Ответ: Что посеешь, то и пожнешь.

7. Решение примеров.

1) Перевести число 15FC₁₆ в двоичную систему.

2) Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

3) Представьте следующие десятичные числа в виде позиционной записи:

576
1924
12,5

4) Имеются позиционные записи десятичных чисел. Чему равны сами числа?

8*10² + 5*10¹ + 3*10⁰ + 7*10^-1 + 6*10^-2 (853,76)

0*10⁴ + 1*10³ + 8*10² + 4*10¹ + 0*10⁰ + 0*10^-1 + 9*10^-2(01840,09=1840,09)

9*10⁵ + 4*10³ + 3*10⁰ + 4*10^-2 + 4*10^-3 (904003,044)

5) Переведите в двоичную запись десятичные числа:

17 ; 49; 63

6) Переведите в десятичную запись двоичные числа:

1001
1101
10101

8. Домашнее задание

1. Примеры, которые не успели решить на уроке.

2. Следующие двоичные числа расположите в порядке возрастания: 1001, 111, 100001, 010, 1101, 100, 110000, 10001.