Внеклассная работа по математике является неотъемлемой частью работы любого учителя математики.
Очень часто термины “способный”, “одаренный” употребляются как синонимы и отражают степень выраженности способности. Говорить о работе с одаренными детьми в обычном классе можно только тогда, когда известна природа одаренности. Что такое “одаренность” и как она проявляется в ребенке? Понятие “одаренность” –многозначное, установившегося, удовлетворяющего всех определения не имеется до сих пор. Мы придерживаемся такой точки зрения: “Говоря о способности, подчеркивают возможность человека что-то делать, а говоря о таланте (одаренности) подчеркивают прирожденный характер данного качества человека.”
По В.А.Крутецкому, психологу, специально занимавшемуся вопросами математических способностей, математические способности –это индивидуально-психологические способности, отвечающие требованиям учебной математической деятельности, обусловливающие успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение ЗУН в области математики.
Мы придерживаемся структуры математических способностей, которую выявили исследования Крутецкого. Они заключаются в следующем:
- Способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
- Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
- Способность к обобщению математических действий: способность ученика увидеть в частном, конкретном уже известное ему общее и способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее.
- Способность к свертыванию процесса математического рассуждения: при многократном решении однотипных задач учащимися отдельные этапы мыслительного процесса сокращаются и перестают осознаваться, но, когда нужно, учащийся может вернуться к полному развернутому рассуждению.
- Гибкость мыслительных процессов. Она выражается в легком и свободном переключении с одной умственной операции на качественно иную, в свободе от влияния шаблонных способов решения.
- Стремление к ясности, простоте, экономности, рациональности решения.
- Обратимость мыслительного процесса, т.е. перестройка его направленности в смысле переключения с прямого на обратный ход мысли.
- Математическая память- обобщенная память на математические отношения, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач, принципы подхода к +ним.
- Математическая направленность ума – стремление к математизации явлений окружающего мира, постоянной установке обращать внимание на математическую сторону явлений.
Так как способности вырабатываются в деятельности, то развитие способностей зависит от организации деятельности. Исходя из этого в нашей школе создана система работы с детьми с математическими способностями, целью которой являются активизация познавательной деятельности учащихся и развитие математических способностей учащихся
Вся работа исходит от лаборатории учителей математики, которая является структурной единицей методического объединения учителей естественно-математического цикла. Работа лаборатории имеет два направления: работа с учащимися и методическая работа. Т.к. методы и формы должны соответствовать возрастным особенностям учащихся, работу организуем по 4-м группам: начальные , 5-6, 7-8, 9-11 классы. Также можно выделить два аспекта деятельности учителей математики:
- организация традиционной урочной деятельности;
- организация внеурочной и внешкольной деятельности учащихся
Внеурочная деятельность включает в себя работу математических кружков, олимпиады, проведение математических недель, участие в работе заочных математических школ , научное общество учащихся, расширенное обучение по математике, подготовку к поступлению в учебные заведения. Внеурочная работа имеет свое продолжение в летнем математическом лагере .
Методическое направление работы лаборатории заключается в составлении программ занятий кружков и летнего математического лагеря , их апробации, в выработке комплекса мероприятий по диагностике, разработке мероприятий недель математики, обобщении опыта работы.
Для развития математических способностей учащихся большую роль играет урок – урок математики. На уроках помимо традиционных методов обучения применяем методы дифференцированного и индивидуального обучения. Учет индивидуальных особенностей учащихся, работа по дифференцированным заданиям повышают умственную активность, формируют самостоятельность, создают благоприятный психологический климат в классе. Уровневая дифференциация на уроках осуществляется не за счет различий в объемах преподаваемого материала, а за счет различных уровней требований к усвоению. Так как ученики с математическими способностями различаются по признаку быстроты их мышления , некоторые учащиеся изучают урочный материал по своему темпу, опережая своих одноклассников в прохождении программы. И так как мы находимся в рамках классно-урочной системы, у них появляется возможность на уроке углубить, расширить свои знания.
Кружковая работа охватывает учащихся с начальных классов до 8-го класса. Основными принципами кружковой работы являются: учет возрастных особенностей, демократичность, т.е. заниматься приходят все желающие, интересность, доступность, расширение учебного материала. Учителя начальных классов в своих классах проводят кружки “Развиваем логику”, “Занимательная математика”, в материал уроков включают задачи развивающего характера. Отдельные компоненты математических способностей формируются уже в начальных классах. Способность улавливать общее в различных задачах и примерах (способность к обобщению) начинает складываться раньше других компонентов. После решения ряда однотипных задач и примеров у способных учащихся в 3-4-х классах формируется процесс свертывания. Формализированное восприятие математического материала начинает проявляться тоже в начальных классах. У способных учащихся формируется стремление разобраться в условиях задачи, сопоставить ее данные, их начинают интересовать в задаче не просто отдельные величины, а именно отношения величин. Основываясь на вышесказанном, нужно сказать, что работа со способными к математике детьми в начальных классах очень необходима .
В 5-6-х классах продолжается формирование уже названных компонентов математических способностей. Кроме того задания в этой возрастной группе должны развивать гибкость мышления, стремление к более рациональному решению задачи. В программу кружков 5 и 6-х классов включаются такие темы, как “Принцип Дирихле”, “Круги Эйлера”, “Графы”, “Ряды натуральных чисел”, а по темам “Признаки делимости”, “Проценты”, “НОК и НОД” идет расширение урочного материала. Также рассматриваются задачи на части, на движение, на дроби, на составление уравнений и логические.
В начальных и средних классах используются такие формы работы, как математические игры, занимательные задачи, разгадывания головоломок, викторин.
В 7-8-х классах ведется работа по развитии компонентов математических способностей. Формы работы от занимательности переходят к проблемным, поисковым . В программу 7-8-х классов мы включаем рассмотрение задач на “Инварианты”, “Разбиения и раскраска плоскости”, “Модули”, текстовые задачи, элементы комбинаторики , расширяем урочный материал по темам “Степени”, “Разложение на множители”, “Функции”.
К 9-у классу определяется постоянный состав учащихся, занимающихся в математическом кружке. В 9-11 классах ведется расширенное обучение по предметам выбора. Рассматриваются такие темы: “Уравнения, содержащие знак модуля”, “Уравнения с параметром”, “Неравенства, содержащие модуль”, “Уравнения высших степеней”, “Иррациональные неравенства”, “Функции и их графики”.
Занятие математического кружка
Тема:
Ключ к угадыванию цифры.
Класс: 7 класс
Цель занятия: навести учащихся на “открытие” способа определения последней цифры степени;
План занятия:
- Организационная часть
- Занимательная страничка “В один день”
- Основная часть:
а. конкретизация и уточнение основной проблемы;
б. поиск и составление общего способа ее решения;
в. закрепление ЗУН.
- Итог занятия.
Ход занятия:
- Организационный момент.
- Занимательная страница “В один день” (сообщение делает ученик)
- Ежедневно на Землю выпадает столько осадков, что все ее жители могли бы пять раз принять ванну.
- Из ежедневного собираемого на нашей планете чайного листа можно заварить три миллиарда чашек чая.
- Ежедневно на нашу планету из космоса падает 110 т. “звездной пыли”
- В течение суток во всем мире производят 137 тыс.автомашин, столько же холодильников, 2, 3 млн.автомобильных шин, 101 тыс.стиральных машин и 6,5 млн.км. шпагата. Последним можно было бы 17 раз связать Землю с отстоящей на 384404 км Луной.
- Основная часть.
- Постановка проблемы: Какой цифрой оканчивается 32003?
- Конкретизация и уточнение проблемы:
1. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 3?
13х23х33х43х53х63х73х83х93 =……………….?
2. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 8?
18х28х38х48х58х68х78х88х98=………………..?
Делается вывод: существуют такие степени, которые оканчиваются той же цифрой, что и их основание.
3. Укажите среди чисел вида 4к-4 три числа, кратные 10 (к- натуральное число) .
Делается вывод: Нечетные натуральные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные-цифрой 6.
4. Найти последнюю цифру числа 6к , где к – натуральное число
Делается вывод: Степени с основанием 6 оканчиваются всегда на 6.
Вопрос: Назовите еще такие числа, любая степень которых оканчивается той же цифрой, что и само число.
- Поиск и составление общего способа решения:
5. Найти последнюю цифру числа 799 , 344, 4100
71=7; 72=.9 ; 73=..3; 74= 1; 75=7 и т.д.
Делается вывод: последние цифры степеней периодически повторяются.
6. Верно ли утверждение:
а. квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
б. куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
в. четвертая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр:0, 1, 5, 6;
г. пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число
При решении этого задания составляется таблица:
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 N2 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 N3 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 N4 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 N5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Вывод: Последние цифры степеней повторяются с периодом 4.
Теперь нужно подводить учащихся к “открытию” способа определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
Делается вывод и учащиеся записывают на тетради алгоритм:
Чтобы найти последнюю цифру степени целого числа с натуральным показателем, надо:
1. показатель степени поделить на 4 и найти остаток отделения;
2. если остаток равен
- 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;
- 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
- 3, то искомая цифра будет равна последней цифре куба основания;
- 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.
- Задачи на закрепление:
1. Найти по алгоритму последние цифры чисел : 743; 12 109; 408200
2. Делится ли на 5 число 7777 –1?
3. Доказать , что 2, 6 (26п –1) – целое число, при любом натуральном п.
- Итог занятия.
Одной из разновидностей внеурочной работы является подготовка к олимпиадам различных уровней. Подготовку к олимпиадам мы делим на системную и интенсивную. Системная работа проводится через кружки , обучение в заочных школах и в летних математических лагерях, через урочные индивидуальные задания способным учащимся. Интенсивная подготовка проводится непосредственно перед олимпиадами. Таким образом, учащиеся, которые постоянно участвуют на олимпиадах, в течении нескольких лет проходят системную, непрерывную подготовку. При интенсивной подготовке к олимпиадам важную роль играет правильная расстановка сил и учет возможностей каждого учителя математики.
Сотрудничество в работе является нашим ведущим принципом. Мы не делим классы на “свои” и “чужие”, на начальные и средние. Учитывая опыт работы по определенным темам , распределяем нагрузку по подготовке к олимпиадам. При интенсивной подготовке устраняются пробелы , систематизируются знания по крупным разделам курса математики. При подготовке к олимпиадам воспитывается настойчивость, усидчивость, собранность, воля к победе, развивается логическое, аналитическое мышления и другие компоненты математической способности.
В нашей школе стало традицией проведение недели математики. Основная задача недели математики – развитие интереса учащихся к математике. При проведении недели математики мы придерживаемся следующих принципов:
- Массовость. Стараемся привлекать всех учащихся к участию в мероприятиях. Для этого каждый раз придумываем интересные формы проведения мероприятий, используем возможности наглядности.
- Доступность. Мероприятия проводятся по возрастным группам.
- Творчество. Каждое дело творчески, иначе зачем?
- Сотрудничество.
Традицией недели математики стало проведение открытого чемпионата по решении задач, в котором участвуют учащиеся с 5 по 11 классы, их родители, родственники, учителя других предметов, и заочная семейная олимпиада.
Чемпионат по решении задач проходит в один тур: участникам предлагается на 3 час 5-6 задач.
Текст одного из чемпионатов
1. Как, не используя линейку, отрезать из ткани длиной 2-3 м. полметра?
2. На окружности написаны числа 1,2,3. Между ними записали сумму рядом стоящих чисел. Затем между полученными шестью числами тоже записали сумму соседних чисел. Найти сумму всех чисел после пяти таких действий.
3. Какая цифра за сутки покажется наибольшее число раз на электронных часах?
4. На столе -16 стаканов, из них 15 стоят правильно, 1 перевернут. Разрешается за один раз переворачивать 4 стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?
5. Как должна двигаться ладья по шахматной доске, чтобы побывать на каждом поле по одному разу и сделать наименьшее число поворотов?
Заочная семейная олимпиада проводится в целях развития интереса учащихся к математике, привлечения родителей к изучению математики, воспитания духа сотрудничества между ребенком и родителем. Семьям предлагается 10 задач сроком на 1 неделю. Совместные решения членов семьи оформляются на одном листе и сдаются жюри.
Текст заочной математической олимпиады
1. Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево… Каждый раз не дереве вырастало две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, у Буратино было 2004 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?
2. Гусеница выползла из своего дома в полдень и ползет по лугу, поворачивая после каждого часа направо или налево на 90. За первый час она проползла 1 м, а за каждый следующий час – на 1 м. больше, чем предыдущий. На каком наименьшем расстоянии от домика она может оказаться в 7 часов вечера?
3. Можно ли расставить на столе 4 одинаковых стакана так, чтобы все попарные расстояния между донышками были равны? За расстояние между донышками приняты расстояния между их центрами.
4. Сколько простых чисел, меньших 2005, имеют сумму цифр равную двум?
5. Коля сказал: “Когда шел 6-ой час я посмотрел на часы и обнаружил, что минутная стрелка отстает от часовой на три деления.” Скажите точное время, когда Коля посмотрел на часы.
6. Найти четырехзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.
7. На окружности стоят числа 1,2,3,4,5,6. Разрешается прибавлять к любым двум соседним числам по единице. Можно ли все числа сделать равными.
8. Назовем билет с номером от 000000 до 999999 'отличным', если в записи его номера имеются две соседние цифры, отличающиеся на 5. Сколько всего существует 'отличных' билетов
9. Часы бьют по 1 удару в каждые полчаса, а в каждый час- число часов. Утром часы пустили. Сделав 29 ударов они остановились. В котором часу они остановились?
10. В данной таблице указаны расстояния между городами Ах, Ох, Их, Ух, Эх. Найдите кратчайший путь гонщика, который должен выехать из города Ух, объехать остальные города и вернуться в Ух.
Ах Их Ох Ух Эх АХ 0 60 40 50 20 Их 60 0 30 35 45 Ох 40 30 0 55 50 Ух 50 35 55 0 20 Эх 20 45 50 20 0
Итак, мы представили Вам опыт работы лаборатории учителей математики Ертской средней школы Горного района Республики Саха (Якутия) по организации системы работы с детьми с математическими способностями.