Цели занятия: Систематизация и углубление знаний учащихся по данной теме, развивать умение самостоятельно применять полученные знания, вырабатывать навыки решения уравнений с переменной под знаком модуля.
План занятия.
1.Организация класса.
2.Этап повторения.
Решите уравнение, используя определение модуля:
,
,
.
Найдите множество решений уравнения:
1) 
Решение: уравнение 
равносильно совокупности уравнений
или 
Решением
полученных уравнений являются числа 2 и 
Ответ: 
; 2.
2) 
Решение: 
Ответ: 
.
3) 
Решение: уравнение не имеет решения, т.к. 
Ответ: решения нет.
(Эти задания учащиеся выполняют устно, комментируя свои решения.)
Рассмотрим более сложный случай, когда
уравнение имеет вид 
Из определения модуля следует, что корни
уравнения должны удовлетворять условию 
При соблюдении этого условия искомые корни
уравнения должны также удовлетворять
совокупности 
или
.
Значит, уравнение 
равносильно совокупности двух систем:
или 
Рассмотрим ряд уравнений:
1) Решим уравнение 
.
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1) или 
(2).
Решим систему (1).
Из условия, 
т.е. 
,
удовлетворяет только число 4. Значит система (1)
имеет единственное решение:
.
Решим систему (2).
Из этих корней условию 
удовлетворяет только число 
.
Решением системы (2) является 
.
Множеством корней исходного уравнения служит
объединение множеств решений систем , т.е.
множество, состоящее из чисел 4 и 
.
Ответ: 4; 
.
Решите уравнение:
а) 
б) 
в) 
У доски поочередно работают учащиеся.
Решение.
а) 
. Уравнение
равносильно совокупности двух систем:
или 
Уравнение
Корень 
удовлетворяет условию 
.
Уравнение
решения не
имеет.
Следовательно, система (2) не имеет решения.
Решением исходного уравнения является 
.
Ответ: 1.
б) 
Решим систему (1).
Решая уравнение 
, найдем, что его корнями являются числа 
и 
.
Учитывая условие 
, система не имеет решения.
Решим систему (2).
Решая квадратное уравнение 
, найдем, что его корнями являются
числа 
и 
. Учитывая,
условие 
определяем, что система (2) решения не имеет.
Следовательно, исходное уравнение не имеет
решения.
в) 
.
Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
(1) или 
(2).
Решим систему (1).
Квадратное уравнение:
т.к. 
, то 
.
Решим неравенство второй степени методом интервалов:
Рассмотрим функцию
, нули функции: 
.
Определим знаки функции на промежутках. Нули функции разбивают координатную прямую на три промежутка:
1) 
, 
,
2) 
, 
,
3) 
, 
.
Решением неравенства является 
.
Решением системы (1) является число 2.
Решим систему (2).
Квадратное уравнение:
Учитывая условие, что 
выясняем, что систем (2) не имеет решения.
Решением исходного уравнения является число 2.
Ответ: 2.
Один из распространенных приемов, которым часто пользуются при решении уравнений с переменной под знаком модуля, состоит в том, что освобождаются от знака модуля, выделяя промежутки, в которых выражение, записное под знаком модуля, сохраняет знак.
Пример
.
Освобождаясь от знака модуля , получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1) или 
(2).
Решим систему (1).
Решением системы является число 2.
Рассмотрим систему (2).
,
решением системы (2) является число 
. Следовательно,
множеством решений исходного уравнения являются
числа 2, 
.
Пример 2.
Найдите корни уравнения 
, принадлежащие промежутку (-4;4).
Решение:
.
Корни двучлена 
разбивают числовую прямую на три промежутка: 
, 
, 
Освобождаясь от знаков модуля на каждом из этих промежутков, получим, что данное уравнение равносильно совокупности трех систем:
или 
, или 
.
Решим каждую из этих систем.
Решением системы (1) является число 
.
Решение биквадратного уравнения системы (2) не
удовлетворяет условию 
, следовательно, система (2) не имеет
решения.
Решением системы (3) является число 
.
Промежутку (-4;4) принадлежат числа 
; .
Ответ: 
.
И в заключение рассмотрим задание. При каких
значениях 
уравнение 
имеет 2 корня?
Решим уравнение графическим способом. Построим
график функции 
,
Рисунок 1.
1) 
, решений
нет
2)
, 2 корня
3) 
, 4 корня
4) 
, 3 корня
5) 
, 2корня
Ответ: уравнение 
имеет 2 корня, при 
и 
. Для домашнего задания предлагаются
следующие уравнения:
1)
, 2)
, 3)
,
4)
, 5)
, 6)
.
Постройте график функции 
, и при каких значениях параметра 
уравнение
имеет три корня?