Решение уравнений (неравенств, систем) с параметрами является одним из самых сложных разделов курса школьной математики. При решении задач этого типа необходимо, прежде всего, умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения. Вместе с тем решение такого рода задач на вступительном экзамене в ВУЗ является необходимым условием получения высокой оценки.
Где мы на уроках встречаемся с параметрами?
- функция прямая пропорциональность у = кх;
- линейная функция у = кх + b;
- линейное уравнение ах + b = 0;
- уравнение первой степени ах + b = 0, 
;
- квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0,
.
Что же такое параметр? Чаще всего под параметрами понимают переменные, которые в условиях данной задачи считаются постоянными. Другими словами параметр – это буквенный коэффициент.
При рассмотрении одного уравнения (неравенства) с параметрами мы имеем дело одновременно с бесконечным множеством уравнений (неравенств). При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, а при других имеет. Многие учащиеся делают ошибки, воспринимая параметр, как “обычное” число, не задумываясь о том, что параметр, в действительности являясь числом, может принимать различные значения.
При решении уравнений и неравенств с параметрами чаще всего встречаются две задачи:
- Найти формулы для решения уравнений (неравенств), выражающие эти решения как функции от параметров;
- Исследовать решения уравнения (неравенства) в зависимости от значения параметров.
Первая задача: для каждого значения параметра найти все корни заданного уравнения (все решения заданного неравенства). При решении этой задачи обычно действуют в следующем порядке:
- сначала находят область допустимых значений параметров и переменных;
- решают уравнения (неравенства) относительно неизвестных;
- выясняют, при каких значениях параметра найденные корни уравнения (решения неравенства) допустимы.
В задачах этого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения (неравенства).
Вторая задача: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным условиям. В задачах этого типа ответ выглядит так: перечисляют все значения параметра, при которых выполняются условия задачи.
Начинать надо с простых примеров.
ЛИТЕРАТУРА
- Журнал “Математика в школе” №5, 1993 г.
- В.В. Амелькин. В.Л. Рабцевич “Задачи с параметрами” Минск: “Асар”, 2004 г.
- “Параметр против абитуриента” Курган, 1999 г.
- П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир “Задачи с параметрами” Москва – Харьков, 1998 г. и др.