Урок по теме: "Применение производной к исследованию функций"

Разделы: Математика

Цели:

  • обобщить знания, закрепить умения учащихся применять производную к исследованию функций;
  • развивать у учащихся логическое мышление, математическую речь, память, творческие способности;
  • воспитывать внимание, аккуратность, интерес к предмету.

МТО: кодоскоп, кодослайды (условия устных задач, ответы с/р); плакаты: “применение производной”, высказывания Е. Вагнера, И.Гете, ребус, графики функций; раздаточный материал: варианты самостоятельной работы, тексты прикладных задач.

Плакаты:

Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий,
впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются

Е. Вагнер

ХОД УРОКА

I. Оргмомент

Проверка готовности класса к уроку.

II. Мотивация учебной деятельности

Сообщение темы, постановка целей урока. Вступительное слово учителя о роли понятия производной в науке и практике.

III. Основная часть

1. Обобщение и систематизация опорных знаний по теме (фронтальный опрос, устные упражнения)

1. На чем основано применение производной?

2. В чем заключается физический смысл производной?

3. Какие физические задачи можно решить, используя следующие данные:

 

Закон движения тела, m = 3 кг
Sinp t + Cosp t Закон гармонических колебаний точки t = 3c
Ф(t) = 0,01 Sin10p t Закон изменения магнитного потока
m = 100 e –0,06t Закон радиоактивного распада
q(t) = 3,05 + 6,11t – Закон изменения заряда на обкладках конденсатора
y = x tg a – Уравнение траектории полета снаряда

4. В чем заключается геометрический смысл производной?

5. Какой угол образует касательная к графику функции y = 0,5 x2 + x + 1 с осью Ox в точке x0 = 0; x0 = –1.

6. Для исследования каких свойств функции используется понятие производной функции?

7. Какие из данных функций убывают на всей области определения?

y = 3 x – 2;
y = x2;
y = –4 x + 5;
y = – x3 + x.

8. Докажите, что функция y = 3 x + Sin x ( y = x3 + ex ) возрастает на всей области определения.

9. Верно ли, что если функция f(x) убывает на некотором промежутке, то f? (x) < 0 на этом промежутке?

10. На промежутке (0; 4) y? (0) > 0, на промежутке (4, 6) y? (0) < 0. Является ли точка x = 4 точкой максимума?

11. На рисунке изображен график непрерывной функции.

Укажите:

  • Область определения функции;
  • Множество значений функции;
  • При каких значениях x f (x) > 0, f (x) < 0, f(x) = 0;
  • При каких значениях x f? (x) > 0, f? (x) < 0;
  • Точки, в которых выполняется а). необходимое, б). достаточное условие существования экстремума;

12. Определяя стационарные точки, ученик указал x = –6; x = –3; x = –1; x = 2; x = 4. Прав ли он?

13. Являются ли точки x = –1; x = 6 точками экстремума?

14. Чему равно значение f? (–6)?

15. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции?

16. В одной системе координат изображены графики функций и ее производной. Укажите их. Объясните “поведение” производной?

17. Разбейте графики функций на пары “функция – ее производная”.

18. По графикам функций постройте графики их производных.

2. Решение задач на доске и в тетрадях

Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)

Вариант I

Вариант II
1. Изобразите график непрерывной функции, зная что:

а) область определения функции есть промежуток [–4; 3];
b) значения функции составляют промежуток [–3; 2];
с) функция возрастает на промежутке [–4; –2] и [–1; 3], убывает на промежутке [–2; –1];
d) значения функции отрицательны только в точках промежутков [–4; –2) и (–2; 1)

 1. Изобразите график непрерывной функции, зная что:

а) область определения функции есть промежуток [–3; 4];
b) значения функции составляют промежуток [–4; 4];
с) производная функции на промежутке (0; 2) принимает положительные значения, а на промежутках (–3; 0) и (2; 4) – отрицательные значения;
d) график функции имеет единственную касательную, параллельную оси абсцисс.
2. Для функции f (x) с помощью графика ее производной найдите:

– промежутки возрастания;
– промежутки убывания;
– точки экстремума.

 2. Для функции f (x) с помощью графика ее производной найдите:

– промежутки возрастания;
– промежутки убывания;
– точки экстремума.

Задачи

1. На автомобиле КРАЗ имеется два топливных бака цилиндрической формы емкостью 200 литров каждый. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

2. Источник тока с электродвижущей силой Е = 220В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R. Чему должно быть сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?

3. Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что ее масса изменяется по закону m(t) = 1–t(m – в г; t – в с). Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

4. Десантный катер высадил разведгруппу в районе (3205) в 3 км от берега в створе с устьем реки Прямая. Задача группы на надувной лодке выйти к мысу Сагиз (В), находящемуся на берегу на расстоянии 5 км от устья (А) реки Прямой. Скорость лодки 4 км/ч, а скорость передвижения группы по суше 5 км/ч. к какому пункту (С) берега должна пристать лодка, чтобы группа вышла к мысу Сагиз в кратчайший срок?

3. Обсуждение задач, подготовленных учащимися

1. Найти приближенное значение функции при x = 2,01()

2. Под действием некоторой силы тело движется по траектории против часовой стрелки. Действие силы прекратилось в момент, когда положение тела определялось координатами (1; 3). Составить уравнение дальнейшей траектории движения тела.

IV. Заключительная часть

– Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают. Подумайте, чем отличаются три кривые роста знаний, изображенные на рисунке.

Плакат:

Мало знать, надо уметь
Мало хотеть, надо делать.

И. Гете

 

 

Подведение итогов, оценка деятельности учащихся.