Решение тригонометрических уравнений

ТИП: УРОК ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ.

ЦЕЛИ:

1) ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ:

• повторение различных способов решения тригонометрических уравнений;
• решение уравнений различными способами;
• решение уравнений, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ;
• решение тригонометрических уравнений, содержащих параметр.

2) ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ:

• развитие внимания;
• развитие умения правильно и чётко записывать решение;
• развитие умения слушать объяснение одноклассников;
• развитие умения проверять собственное решение.

3) РАЗВИВАЮЩИЕ:

• развитие умения находить наиболее рациональный способ решения;
• развитие математического мышления;
• развитие умения обосновывать своё решение;
• развитие умения обобщать полученные знания;
• развитие умения решать уравнения с параметром.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• классная доска;
• раздаточный материал с условиями заданий для работы в группах;
• компьютер;
• проектор;
• экран.

ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ, НАВЫКИ:

В результате проведения урока учащиеся должны повторить основные приёмы решения тригонометрических уравнений, уметь решать тригонометрические уравнения уровня школьных выпускных и конкурсных экзаменов, должны понимать и уметь находить решение уравнений, содержащих параметр.

ХОД УРОКА:

1) Повторить основные способы решения тригонометрических уравнений:

• решение уравнений, методом преобразования их к квадратным относительно
• какой-либо тригонометрической функции;
• решение однородных уравнений относительно синуса и косинуса;
• решение уравнений методом разложения на множители;
• решение уравнений методом введения вспомогательного аргумента;
• решение уравнений методом замены .
• Решение уравнений различными методами (работа в группах).
• Решение уравнений конкурсных экзаменов (с использованием компьютера).
• Решение уравнений с параметром (с использованием классной доски и компьютера).
• Подведение итогов урока, выставление оценок.

МАТЕРИАЛЫ К УРОКУ

1. К каждому из указанных уравнений подобрать метод решения и решить его (решение уравнений на доске и в тетрадях):

Ответы:

2. Работа в группах (каждая группа получает конверт с заданием и карточку для выставления оценки и самооценки выполненной работы).

ВИД КАРТОЧКИ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК.

КРИТЕРИЙ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНКИ:

“5”-решил 5уравнений различными способами самостоятельно;

“4”-решил 5уравнений различными способами и получил одну консультацию у членов группы;

“3”-решил 5уравнений различными способами и получил две или три консультации у членов группы;

“2”-испытывал трудности при решении уравнений и постоянно консультировался у членов группы;

Оценка выставляется группой после обсуждения и самим учеником, итоговая оценка выставляется учителем.

КАРТОЧКА №1.

КАРТОЧКА №2.

КАРТОЧКА №3.

КАРТОЧКА №4.

КАРТОЧКА №5.

ОТВЕТЫ:

КАРТОЧКА №1.

КАРТОЧКА №2.

КАРТОЧКА №3.

КАРТОЧКА №4.

КАРТОЧКА №5.

3. Решение уравнений конкурсных экзаменов.

Перепишем уравнение следующим образом:

Такое уравнение равносильно системе двух уравнений с одним неизвестным (в силу ограниченности синуса):

Решаем уравнение (диофантово) в целых числах:

Левая часть уравнения делится на 4, следовательно,

Значит, решениями являются все числа вида

Ответ: .

Преобразуем левую часть уравнения:

После замены переменной

Придем к смешанной системе

Разлагая левую часть уравнения на множители:

получим корни уравнения . Второй и третий корень не годятся из-за условия .

Остается решить простейшее уравнение

Очевидно, уравнение преобразуется к виду

Значения - не корни данного уравнения. Умножим его на :

Заметим, что при - не корни.

Ответ: .

4. Решение уравнений с параметром

1) При каких значениях уравнение имеет решение?

Разделив обе части уравнения на , получим

Поскольку , существует такое число ,что , например, , уравнение примет вид

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда , т.е. .

2). При каких значениях уравнение

имеет решение?

Разделив обе части уравнения на и учитывая нечетность синуса, имеем

Поскольку , существует такое число ,что, например, уравнение примет вид

Ввиду того, что при всех , данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда .

Т.е. или .

5. Подведение итогов урока, домашнее задание.