Натуральные числа. Некоторые числовые закономерности

Тема: Натуральные числа. Некоторые числовые закономерности ( приёмы быстрого счёта).

Цель:

1. Познакомить учащихся с числовыми закономерностями.
2. Учить обобщению и выводу общих закономерностей, связанных с рядом натуральных чисел.
3. Познакомить с историческими сведениями, связанными с развитием математической науки.
4. Развивать интерес к предмету, связывая его с литературой, искусством, учить видеть красоту натуральных чисел.

Оборудование урока:

1. Репродукции И.Е. Репина, В.И. Сурикова, И. И.Шишкина, В.М.Васнецова, И. И. Левитана и других.
2. Картина художника Богданова – Бельского «Трудная задача» (Рисунок 1)
3. Для каждого ученика карта – задание на урок (Приложение 1)

Ход урока:

- Сегодня на уроке мы познакомимся с числовыми закономерностями, о некоторых мы вскользь уже говорили на предыдущих уроках, с некоторыми мы встретимся впервые.

Итак, пусть это вас не удивляет, но я предлагаю путешествие по картинной галерее.

- В наш маленький городок прибыла выставка работ художников - передвижников. И я вас приглашаю на экскурсию в картинную галерею. Общество художников - передвижников образовалось в 1870 г., членами этого общества были И.Е. Репин, В.И. Суриков, И. И.Шишкин, В.М.Васнецов, И. И. Левитан и др. Они правдиво изображали жизнь и историю народа, родную природу, обличали порядки самодержавной России.

В зале вы видите картины художников Маковецкого "Свидание", "За лекарством".

- Следующая картина русского живописца конца XIX начала XX века Николая Петровича Богданова-Бельского (1868 - 1945 гг.). Он писал жанровые картины, посвященные сельской школе, крестьянским детям. Наиболее известна его картина "Трудная задача", написанная в 1895 году. К сожалению, вы видите маленькую копию этой картины (Приложение 1). Чтобы всем было хорошо её видно, мы вам это покажем. (Ребята в образе как изображено на картине, в таких же костюмах и с тем же выражением лиц замирают).

- Далеко не в центре вы видите педагога С. А Рачинского. На картине он изображен с сохранением портретного сходства. С. А Рачинский - педагог, профессор естественных наук, покинувший университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

- Многие помнят эту картину, но немногие из тех, кто видел её в Третьяковке или на репродукциях или, глядя на картину сейчас, обращали внимание на содержание самой математической задачи, написанной мелом на доске.

- А задача действительно не из легких. Судите сами! Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат.

Задача 1.

Ученики Рачинского хорошо справлялись с подобными задачами. По выражению лица педагога видно, что некоторые ученики уже сказали ему правильный ответ. Только новички ещё испытывают затруднения. Но и они вот-вот найдут правильное решение.

- Итак, спустя 100 лет, сможем ли мы решить эту "трудную задачу"?

Числа 10, 11, 12, 13, 14 обладают удивительной любопытной особенностью: на прошлом уроке мы повторяли квадраты этих и других чисел, 10² +11²+12² = 13² + 14²

А так как 100 + 121 + 144 равно 365, 13² + 14² тоже 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

(так как дробная черта - это знак деления)

- 365 - удивительное число еще и тем, что определяет число дней в году, а при делении на 7 дает в остатке 1, что имеет значение для старого семидневного календаря.

- Прекрасно, мы справились с задачей С. А Рачинского. Но в математике существует достаточное количество цифровых и числовых диковинок, которые на вид трудно считаются даже не устно.

Посчитаем сумму чисел от 1 до 20, это можно сделать всего секунд за десять, записывать эту сумму совершенно не обязательно. Самое главное в способе подсчета.

Задача 2

А теперь решим задачу Гаусса.

- Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось ещё в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удавил окружающих, поправив расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. А у вас? На грифельной доске у него было написано 101·50 = 5050.

Посчитать сумму чисел от и до	Чисел	Пар	Сумма крайних	Результат
От 1 до 20	20	10	21	210
От 1 до 100	100	50	101	5050
От 1 до 50	50	25	51	1275
От 1 до 30	30	15	31	465
От 1 до n	n	n/2	n +1	n ( n+1)/2
От 101 до 300	200	100	401	40100
От 51 до 450	400	200	501	100200

Мы автоматически вывели формулу для вычисления суммы n чисел, чисел было чётное количество, а для нечетного n эта формула справедлива?

(Формула верна для любого n).

Но докажем немного по-другому, ведь нечетное число чисел не разобьешь на пары. Поступим так, запишем искомую сумму дважды 1 + 2 + … + (n - 1) + n.

n + (n – 1) + … + 2 + 1

Сумма пар (n + 1), пар всего n штук значит, нашу двойную сумму можно посчитать так n·(n +1) так как слагаемые от 1 до n мы сложили дважды, то полученную сумму мы разделим на 2. Получилась та же формула

- Для чего нужна эта формула? ( Для быстрого вычисления суммы)

В "трудной задаче" Рачинского мы встретились с квадратами натуральных чисел, на предьщуших уроках мы уже повторяли их свойства.

Кстати, закономерность, о которой пойдет сейчас речь, впервые заметил А.Н.Колмогоров ещё в шестилетнем возрасте. По его учебникам и сейчас учатся наши теперешние старшеклассники.

Закономерность 1

Сделайте вывод: Сумма первых n нечетных чисел равна квадрату n

1² = 1

2² = 1+3

3² = 1 +3 + 5

…

7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

Закономерность 2

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625

Сумма трёх чисел, записанных в трёх клеточках "уголком" слева, равна четвёртому, записанному внизу справа.

Перед вами ещё несколько закономерностей:

Закономерность 3

Проверьте эту закономерность для n=5. Сделайте вывод: сумма кубов n натуральных чисел равна квадрату суммы этих n первых натуральных чисел.

1³+2³ ==(1+2)²

1³+2³ +3³ ==(1+2+3)²

1³+2³ +3³+4³==(1+2+3+4)²

Закономерность 4

Рассмотрите следующие равенства. Запишите и проверьте правильность последующих равенств такого же типа

9 · 1 + 2 = 11	8· 1 + 1 = 9	9·9+7 = 88
9 · 12 + 3 = 111	8·12 + 2 = 98	9·98 + 6 = 888
9 · 123 + 4 = 1111	8·123 + 3 = 987	9·987+5 = 8888
9 · 1234 + 5 = 11111	8·1234 + 4 = 9876

Какие можно подметить здесь привила?

Итак, сегодня на уроке мы с вами увидели красоту цифр, чисел натуральных. В математике, ребята, есть своя красота, таких красивых последовательностей немного. Знайте их, умейте их видеть.

Я думаю, что вы будете интересоваться различными математическими диковинками, курьёзами.

Это вам будет любопытно, так же как и мне.

Еще С. В. Ковалевская говорила: «Математик должен быть поэтом в душе»