Цели:
- Познакомить учащихся с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомить с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков, узнать, как уметь измерять без инструментов.
- Рассмотреть понятия оптико-геометрических иллюзий, развитие глазомера.
Тип: комбинированный.
Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!
Марсилио Сичино
1. Поговорим об измерениях.
«...Потом Мэри Поппинс поставила градусник себе самой, подержала его одно мгновение и вытащила. «Полное совершенство во всех отношениях», - прочитала она, и самодовольная улыбка заиграла на ее лице...»
Трудно сказать, в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство, поэтому мы поговорим о более простом и привычном, а именно об измерении ...
И тема урока сегодня: Длина отрезка. Единицы измерения.
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением длины высот, расстояний. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: «Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Садовником, настоящим Поэтом и вообще Настоящим очень трудно. Но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое.
И все же давайте подумаем над вопросом: «что значит – измерить какую-то величину?»
2. Единицы измерения длины в разное время и странах.
Любые измерения производят в каких-то единицах: длины – измеряют в единицах длины, вес – в единицах веса и т.д. С незапамятных времен человеку приходилось измерять расстояния в связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и с добыванием пищи.
За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои. Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица ни чуть не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги.
Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои меры, часто связанные с собственной персоной. Например, английский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки.
Более демократична по происхождению другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.
На Руси в старину мерами длины были ШАГ,
ПЯДЬ: Малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (~ 23 см),
ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ – расстояние от локтя до конца среднего пальца.
Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ. Несколько позже появился АРШИН, с персид. - локоть (? 71 см), существовал персидский аршин, турецкий аршин и др., отсюда и появилась поговорка «Мерить на свой аршин».
Аршин делился на 16 вершков, 3 аршина составляли САЖЕНЬ – расстояние от ступни до конца среднего пальца вытянутой руки,
500 саженей – составляли ВЕРСТУ (или поприще), 7 верст – МИЛЮ. Таким образом, при раздроблении и превращении приходилось умножать, соответственно делить на разные числа: 16, 3, 500, 7... Между тем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации.
Метрическая система мер отвечает этим требованиям. Но о ней мы сегодня говорить не будем, вы можете узнать о ней на уроках физики.
Немного лишь скажу о происхождении метра. Известно, что Земля почти шарообразна. Большие окружности, проходящие через полюсы, - это земные меридианы. Четверть меридиана (расстояние от полюса до экватора) была определена и разделена на 10 000 000. Одну эту часть приняли (во Франции) за основную меру длины и назвали метром (от греч. слова «метрон» - мера).
Многим известно старинное пожелание морякам: «Семь футов под килем!»
А сколько это будет аршин; метров?
3. Эталоны.
С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикладыванием локтя. Кроме того, такое измерение уже не удовлетворяло возросшим требованиям точности. В самом деле, длина локтя или шага у разных людей различная, а мера длины должна быть постоянной. Постоянные образцы мер стали изготавливать из деревянных линеек и металлических стержней.
Образцы мер в настоящее время называются эталонами.
На следующих рисунках представлены - эталон метра и футляры, в которых он хранился.
Вернемся к вопросу, заданному в начале: «Что значит измерить?»
Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить с эталоном».
4. Свойства длины отрезка.
Попробуем выяснить некоторые правила длины:
- начертите отрезки длиной 2,5 см, 5 см, -2 см.
Вот и первое правило: Длина отрезка выражается положительным числом.
- Начертите два равных отрезка, измерьте их длины, сравните.
- Начертите еще два равных отрезка, измерьте и сравните.
Вот и второе: Равные отрезки имеют равные длины.
- Начертите отрезок АВ, между точками А и В поставьте точку С, что получилось? Измерьте АС и СВ, найдите сумму, измерьте АС. Что получили?
И третье: Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
5. Инструменты.
- А чем мы обычно измеряем? Сравниваем?
К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка. Употребление линейки берет свое начало с незапамятных времен. Циркуль был изобретен значительно позже. Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствует о применении линейки, но не циркуля. Согласно римскому поэту Овидию (I век) циркуль был изобретен в древней Греции.
В техническом черчении употребляют масштабную миллиметровую линейку. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль.
Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой.
«Рулетка» - термин французского происхождения (rouler – свертывать, катать).
6. Решение задач.
В книге Памелы Л. Трэверс «Мэри Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопросы Королю. «Первый вопрос: «Высоко ли до неба?» Король удовлетворенно хмыкнул. Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства.
- Ну, конечно, - начал он, - это понятие относительное, если мы будем измерять высоту над уровнем моря – результат будет один. Если с вершины горы – другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем...»
К сожалению, я вынуждена прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности не достаточно. Надо многое знать.
Решим и мы несколько задач на измерение отрезков.
1) На отрезке АС поставлена точка В, АВ=4,2 см, ВС=1,3 см. Найдите длину АС.
2) На отрезке АВ лежит точка С, АС=6,1 см, АВ=8,7 см. Найдите длину СВ.
3) На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R, LK=3,5 см, LS=9 см и LK=KR. Найти RS.
4) (Устно) Точка М лежит на прямой ЕF между Е и F. Чему равна длина отрезка МF, если EF=7,2 cм, EM=2,2 cм?
7. «Живой метр».
Приятно и полезно уметь не только измерять расстояния без мерной линейки, шагами, но и оценивать их прямо на глаз. Этот навык можно выработать только путем упражнений.
(Выйдя с товарищами на дорогу, наметить какой-нибудь придорожный предмет и прикинуть - сколько до него шагов. Затем все считают шаги, чтобы определить, чья оценка ближе к истинной – тот и выиграл.
Любопытно, что глазомер как будто не зависит от остроты зрения. И близорукие могут точно определять расстояния.
Можно упражняться в глазомерной оценке в любое время года, в любой обстановке.
Вы заметили, что названия мер у разных народов свидетельствуют об их происхождении от различных частей человеческого тела. Например, слово ДЮЙМ (английская и старая русская мера длины ?2,5 см) означает на голландском языке «большой палец». Слово ФУТ, повторимся – «ступня». А шаг, локоть, ладонь!
Хорошо бы каждому из нас обзавестись таким «живым метром», чтобы в случае нужды пользоваться им для измерения.
Полезно помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи. Оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами», ведь свой рост знают почти все.
Давайте измерим себя.
Для обмеривания мелких расстояний следует помнить длину своей «четверти», т.е. расстояния между концами расставленных большого пальца и мизинца.
Далее полезно знать длину своего указательного пальца: от основания среднего пальца и от основания большого.
Должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев.
Вооружившись всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнять разнообразные измерения буквально голыми руками, даже в темноте.
Измерьте все перечисленные расстояния и запишите в тетрадь.
8. «Не верь глазам своим...» Геометрические иллюзии.
Одна семиклассница делилась со своей подругой-шестиклассницей впечатлениями об уроках геометрии: «Вот чудеса, пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они равны. Никак не пойму: зачем это нужно? Ведь, что фигуры равны, это и так видно». "Чего же тут рассуждать," – думают многие семиклассники, начиная изучать геометрию. «Посмотришь на чертеж, и сразу видно, что доказывать ничего не надо, всё и так видно, что доказывать ничего не надо, всё верно. Глаз не обманет».
Сравните длины отрезков:
А вот два четырехугольника, в них противоположные вершины соединены отрезками.
Сравните длины этих отрезков.
Смотрим дальше.
Установите – прямые, кривые, параллельные ли линии на чертежах?
Мы уже на прошлом уроке сравнивали такие отрезки (иллюзия Мюллера-Лайера):
- Как это называлось?
А вот еще одна иллюзия (Понцо). Какая - синяя или красная черта - длиннее:
- Можно ли решить задачу на основании построенного чертежа?
- Не могут ли наши глаза обманывать нас?
9. Объяснение иллюзий.
Однажды известный математик пытался объяснить своему знакомому поэту, что такое пространство. Тот долго его слушал, а в конце заметил: «Это все не так. Я знаю, что пространство голубое и по нему летают птицы!» К сожалению математики смотрят на пространство более прозаично.
Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур (в пространстве – стереометрия, на плоскости – планиметрия).
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть» зрение.
Картинка венгерского художника Виктора Вазарели «Изучение перспективы» - прекрасный тому пример. Линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся дальше от нас, изображается в виде формы меньших размеров.
Рассмотрите, как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины, выпуклости, капли на плоском листе.
Иллюзии рассматривают не только геометры, ими занимаются и физики, и психологи, и художники.
Иштван Орос. Венгерский художник родился в 1951 году. Обучался в Будапеште в Университете Искусств и Дизайна. После окончания обучения в 1975 стал работать в театре художником и участвовал в создании мультипликационных фильмов. Позже стал писать плакаты. В своем творчестве любит использовать иллюзии и визуальные парадоксы.
Жос де Мей (Jos de Mey).
Фламандский художник родился в 1928 году. Обучался в Королевской Академии Искусств в Генте (Бельгия). Около 39 лет преподавал, а после 1968 основным его занятием стало рисование. На многих его работах можно увидеть сову как символ двойственности (по-голландски "сова" является символом теоретических знаний, а также образом глупого человека).Мы воспринимаем окружающее нас как данность: солнечный луч, играющий бликами на поверхности воды, переливы красок осеннего леса, улыбку ребенка... Мы не сомневаемся, что реальный мир именно таков, каким мы его видим. Но так ли это на самом деле? Почему иногда зрение нас подводит? Как мозг человека интерпретирует воспринимаемые объекты?
Иллюзии – это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение».
На иллюзиях Мюллера-Лайера и Понцо поробуем разобраться. Было предложено много теорий, объясняющих подобные искажения. Одна из более интересных гипотез предполагает, что человек накладывает обе картинки (отрезки) как плоские изображения в перспективе. Стрелочки на концах отрезков, а также схождение косых лучей в одной точке создают признаки перспективы, и человеку кажется, что отрезки расположены на разной глубине относительно наблюдателя.
Учитывая это, зрительная система вынуждена сделать вывод, что они разного размера. Те, которые кажутся удаленными, воспринимаются большими по размеру (вспомните картину В.Вазарели). Косые линии, сходящиеся в одной точке, ассоциируются либо с длинным шоссе, ж/дорожным полотном, на котором лежат два предмета. Зрительные шаблоны, сформированные таким «прямоугольным окружением, и заставляют нас ошибаться при взгляде на рисунки.
Позже мы рассмотрим и те картинки невозможного мира, которые вы уже видели ранее.
- Смогла я хоть немного заставить вас сомневаться в виденном?
Русская поговорка «Лучше один раз увидеть...», как раз и дает возможность осуществляться зрительным иллюзиям.
Иллюзии – результат работы зрительной системы, некий тест. Очень часто люди видят то, что они хотят увидеть. Ищите иллюзии вокруг, и вы больше узнаете о себе.
- Определите самое важное, что вы взяли для себя с урока.
10. Домашняя работа. Выставление оценок.
Стр. 13-16, №25, 33,
Вспомните пословицы, поговорки, в которых фигурируют меры длины.
Найти еще единицы измерения длины, которые не были перечислены на уроке.
Придумать и нарисовать картинку в стиле Вазарели.
Конечно, в этой разработке представлено лишь небольшое количество рисунков урока, в последующем далее списке литературы можно подобрать еще огромное количество иллюстративного материала к уроку.
Литература:
- Азевич А.И. – Задачи по геометрии. 7-9 классы. Дидактические материалы и контрольные работы. М.: Школьная пресса, 2003.
- Глейзер Г.И. – История математики в школе. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1964.
- Мазаник А.А. – Реши сам. Минск: Народная Асвета, 1980.
- Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. – Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1984.
- Перельман Я.И. – Занимательная геометрия. М.: Гос. изд-во технико-теоритеческой литературы, 1957.
- Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. – Наглядная геометрия. 5-6 классы. М.: Дрофа, 2002.
- Сайты в Интернете, посвященные геометрическим иллюзиям.