Объяснительная записка.
В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Мне захотелось расширить тематику задач, и на факультативе по алгебре я предложила учащимся задачи, которые не включены в учебник. Для каждого из рассматриваемых типов задач я предлагаю алгоритм решения. Уважаемые коллеги, быть может, это покажется интересным и вам.
Алгоритм решения задач на совместную работу.
- Принимаем всю работу, которую необходимо
выполнить за 1.
Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно. - Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
- Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.
Задача №1
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.
2. Пусть х – время, необходимое первому
комбайнеру для уборки всего урожая, у - время,
необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда–
производительность первого комбайнера, –
производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть
участка, с которого может убрать урожай первый
комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может
убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.
4.Составим систему уравнений:
у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому
комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.
Задача №2
Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.
Задача №3
Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?
Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.
- Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц - Искомое двузначное число 10х + у
- Составить систему уравнений
Задача №1.
Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.
Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.
2х2 + 12х – 32 =0
х2 +6х – 16 =0
х1 =-8 (посторонний корень) х2 =2, тогда у =4.
Ответ: 24.
Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр.
Если из этого числа вычесть произведение его
цифр, то получится 13. Найдите это двузначное
число. (27).
Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его
цифр. Если это число сложить с произведением его
цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).
Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа
равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим
число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке. Найти число.(32).
Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три
раза меньше самого числа. Если к искомому числу
прибавить 18, то получится число, написанное теми
же цифрами, но в обратном порядке. Найти это
число.
Алгоритм решения задач на смеси.
х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.
Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)Составить систему уравнений.
Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным
и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов
каждого раствора было взято?
Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).
Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.
Составим систему уравнений:
0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго
раствора.
Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием
никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого
их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с
содержанием 30% никеля?
Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и
получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество
каждого раствора в килограммах было
использовано?
Литература:
1. В.С. Крамор. Повторяем и
систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа. “ Просвещение”.
2. М.Б.Миндюк, Н.Г. Миндюк. Разноуровневые
дидактические материалы по алгебре. 9 класс.
“Генжер”.
3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.
4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.
8 – 9. “ Просвещение”.