Цель урока: научиться применять теоретические знания для решения задач с практическим содержанием, показать красоту и значимость геометрии.
ХОД УРОКА
1. Повторение теории
а) Признаки подобия треугольников.
б) Пропорциональные отрезки в круге.
2. Слово учителя о цели этого урока
Геометрия – это не просто наука о свойствах треугольников, параллелограммов, окружностей. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.
На уроке будут рассмотрены красивые задачи, решить которые, помогут знания по геометрии, которые учащиеся получили в 8 классе.
3. Выступление одного из учащихся с кратким сообщением о Конан Дойле
Всемирно известный писатель Артур Конан
Дойль был врачом.
Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В
рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как
Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут
конец тени от вяза, который срубили. Он знал
высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так
объяснил свои действия: “… я связал вместе два
удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим
клиентом отправились к тому месту, где когда-то
рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил
направление тени и измерил ее. В ней было девять
футов.
Дальнейшие мои вычисления были уж совсем
несложны. Если палка высотой в шесть футов
отбрасывает тень в девять футов, то дерево
высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в
девяносто шесть футов, и направление той и
другой, разумеется, будет совпадать”.
Задача 1. Измерение высоты дерева
Для того, чтобы измерить высоту дерева BD,
приготовили прямоугольный треугольник АВ1C1
с углом А = 45о и, держа его вертикально,
отошли на такое расстояние, при котором, глядя
вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку
дерева В. Какова высота дерева, если расстояние
АС = 5,6м, а высота человека 1,7м?
Дано:
АВ1С1,
С = 90о,
АС = 5,6м
h человека = 1,7м.
Найти: BD
Решение:
1) Так как А общий для обоих треугольников, а АС1В1
и АСВ (по
условию) прямые (то есть равны по 90о), то АС1В1
и АСВ –
подобные (по признаку подобия о 2-х углах).
2) Тогда АВ1C1
= АВС = 45о,
=> ВС = АС = 5,6м, но к получившейся длине мы должны
еще прибавить рост человека, то есть длина дерева
DB = 7,3м.
Ответ: 7,3м.
Задача 2. Неприятельская вышка
Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?
Дано:
MN = 22м,
BN = 500м
Найти: КВ.
Решение:
АКВ ~ АМN (по 2-м
углам: А
– общий, АВК
и AMN –
прямые, а если треугольники подобны, то все его
элементы тоже подобны. То есть, 
, а 
.
Следовательно, 
м.
Ответ: 2 м.
Задача 3. Земля как на ладони, когда ты в небе на воздушном шаре
Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту 4 км над Землей (радиус Земли примерно равен 6370 км)?
Решение:
1. По теореме о касательной к окружности,
касательная перпендикулярна радиусу,
проведенному в точку касания, то есть OTM = 90о.
2. MO = 6370 + 4 = 6374 км,
3. тогда по теореме Пифагора:
MT 2 + OT 2 = MO 2
MT 2 = MO 2 – OT 2
MT = 112,9 км
Ответ: 112,9 км
Задача 4. Определение расстояния до кораблей в море
Решения отдельных старинных задач
практического характера могут найти применение
и в настоящее время, а поэтому заслуживают
внимания.
История геометрии хранит немало приемов решения
задач на нахождение расстояний. Определение
расстояний до кораблей, находящихся в море, –
одна из таких задач, решаемая двумя способами.
Найти расстояние от точки А, находящейся на
берегу до корабля
Дано:
АВ = а.
Найти: АК.
Решение:
1-й способ. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстояния КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, CD = AК, а отрезок CD можно непосредственно измерить.
Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из 3-х этапов:
- Измерение углов 1 и 2 и расстояния АВ.
- Построение А'В'К' с углами 1 и 2 при вершинах А' и В'
соответственно.
- Учитывая подобие треугольников АВК, А'В'К' и
равенство
, по известным длинам отрезков АВ, А'К' и
А'В' нетрудно найти длину отрезка АК. 
Задача 5. Хорды в романе
Поэт Г.
Лонгфелло был еще и математиком. Наверное,
поэтому яркие образы, украшающие математические
понятия, которые он использовал в своем романе
“Кавана”, позволяет запечатлеть некоторые
теоремы и их применение. Читаем в романе
Лонгфелло следующую задачу:
“Лилия, на одну пядь, поднимавшаяся над
поверхностью воды, под порывом свежего ветра
коснулась поверхности озера в двух локтях от
прежнего места: исходя из этого требовалось
определить глубину озера”. (1 пядь равна 10 дюймам,
два локтя 21 дюйму)
А решается эта задача на основе теоремы: если
две хорды одной окружности пересекаются, то
произведение длин частей одной из них равно
произведению длин частей другой.
Посмотрим на рисунок, и сразу станет ясно, как
находится глубина озера (x):
21 . 21 = 10(x + (x +10)),
441 = 20x + 100,
x = 17,05 (дюймов).
Ответ: 17,05 дюймов.
4. Итог урока
На уроке были рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими измерениями на местности – определением высоты предмета, нахождением расстояния до недоступных предметов. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения не требуется знаний больших, чем в объеме 8 классов.
5. Задание на дом:
№1
Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5600м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?
№2
М – наблюдательный пункт высотой h метров над
Землей; радиус Земли R, MT = d есть наибольшее
видимое расстояние. Доказать, что 
.
№ 3
Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу. (Остров О принять за точку).
№ 4
Вершина горы видна из точки А под углом 3842’, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найти высоту горы.
Список литературы:
1. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. “Примени математику”, М., Наука, 1989.
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. “Математика после уроков”, М., Просвещение, 1971.
3. Четверухин Н.Ф. “Методы геометрических построений”, М., Учпедгиз, 1952.
4. Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов А.С. “Землеустроительные работы”, М., Недра, 1988.
5. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. “Геометрия 7–9 планиметри. Дрофа 1995
6. Ткачев А.В.Домашняя математика 8 класс
7. Газета Математика №5 1999 г.
8. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия.