Функция у = и её график.
ЦЕЛИ:
1) ввести определение функции у = ;
2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;
3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;
4) научить читать графики функций у =.
I. Новый материал – развёрнутая беседа.
У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .
Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?
Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.
У: Такие функции принято задавать формулой вида
у = (1).
Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .
(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).
Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.
Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:
= = = , то есть у = - линейная функция.
У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-
симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.
Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.
Имеем: = = = 1 + .
График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.
х | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
у | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
х | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
у | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).
Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.
График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.
х | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
у | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
х | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
у | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).
У: Что является графиком дробно-линейной функции?
Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.
У: Как построить график дробно-линейной функции?
Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.
У: Какова область определения дробно-линейной функции?
Д: D(y) =
У: Какова область значений дробно-линейной функции?
Д: Е(у) = .
У: Есть ли у функции нули?
Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.
У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?
Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.
У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.
У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?
Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?
Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .
(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)
II. Закрепление.
При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher
- Постройте график функции: а) у = (рис. 3а); б) у = (рис. 3б).
- Найдите область определения и область значений функции f, если: a) f(x) = (рис. 3в), б) f(x) = (рис. 3г).
- Укажите асимптоты гиперболы – графика функции: а) у = (рис. 4а); б) у = - (рис. 4б); в) у = .
III. Обучающая самостоятельная работа.
- Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:
а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;
ж) у = з) у = -
Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.
Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и особенностей графиков этих функций.
ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = , используя программу Agrapher;
2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.
I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.
Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.
Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.
- Постройте график функции у = - Используя график, найдите значение У, соответствующее значению Х. равному 1,5; 8; -1,5; -2,5.
- Постройте график функции f(x) =
Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.
3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?
4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.
5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений функции.
6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = -. Выполните построение графика.
7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.
II.Лабораторно-практическая работа.
Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции”.
Примерное содержание карточки “Инструкции”:
- Постройте график указанной функции.
- Найдите область определения функции.
- Найдите область значения функции.
- Укажите асимптоты гиперболы.
- Найдите нули функции (f(x) = 0).
- Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).
7. Найдите промежутки в которых : а) у<0; б) y>0.
8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.
I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
а) у = - и у = х-7; б) у = и у = х+2х+3.
I I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = .
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
а) у = и у = х+2; б) у = и у = х-2х+3.
I I I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = - е) у = .
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
а) у = - и у = -х-1; б) у = --2 и у = -х-2х-3.
I V вариант.
1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
а) у = б) у = - в) у = г) у = - д) у = - е) у = .
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:
а) у = и у = х+1; б) у = - и у = - х-2х-5.
Примерное содержание карточки “Результаты исследования функции" см. “Приложение 1”.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 8 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2001г.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 2001г.
- Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Алгебра 8 класс: Задачник для класса с углубленным изучением математики. – М. Мнемозина,2002 г.
- Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А.С., Кудрявцев А. И. Алгебра для 9 класса : Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996г.
- Зив Б. Г., Гольдич В. А. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. С. – П. Черо – на – Неве, 2001г.