Растяжение и сжатие графиков. Параллельный перенос графиков функций

Львова Елена Николаевна, учитель математики

ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x), y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и программу Advanced Grapher;

2)расширить представления о преобразованиях графиков более сложных функций;

3)способствовать развитию у учащихся навыков чтения графиков и построения графиков функций.

I. Новый материал – объяснительная лекция.

Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение” имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников, гидро, метеорологов и людей других “математических” специальностей.

Выясним, какая связь существует между графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не равное нулю.

Пусть графиком функции y = f(x), область определения которой- промежуток[-2;4],является кривая, изображённая на рис.1а f(x) = x(x-3)(x+1).

Рассмотрим сначала случай, когда k>1.Построим график функции y = kf(x), где k=2. Для этого расстояние каждой точки графика функций y = f(x) от оси X увеличим в 2раза, т.е.умножим её ординату на 2. Построение выполним с помощью программы Advanced Grapher, набрав формулу функции F₁с клавиатуры. Заметим, что точки с абсциссами 0; 3; -1, принадлежащие оси Х, останутся на месте, т.к.их ординаты равны нулю (0*2х = 0).Все остальные точки графиков у_1, и у, имеющие одинаковые абсциссы, будут лежать соответственно на перпендикулярах к оси Х, причём каждая точка графика функции у= 2f(x) будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза большем, чем соответственная точка графика функции y = f(x). (рис. 1б).

Рассмотрим теперь случай, когда О < k < 1, например k =, и построим график функции y= kf (x), при k = , используя программу Advanced Grapher.

Опять же заметим, что точки с абсциссами -1; 0 и 3, принадлежащие оси Х, останутся на месте ( 0* = 0 ), а каждая точка графика функции y= f (x), будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза меньшем, чем соответственная точка графика функции y = f(x) (рис.1в).

Делаем вывод о том, что график функции y = f(x) при k < 1 можно получить из графика функции y = f(x) растяжением от оси Х исходного графика в k раз, а при О < k < 1- сжатием к оси Х графика функции y = f(x) в раз.

И рассмотрим случай, когда k< 0. Ограничимся значением k = -1, т.е. выясним, как можно построить график функции y= -f(x), зная график функции y = f(x).

Задав с клавиатуры формулу графика y = -f(x) и получив соответствующее изображение на экране (рис. 1г), заметим, что каждой точке графика y, кроме точек с абсциссами -1; 0 и 3, соответствует точка графика y = f(x) с противоположной ординатой.

Соответственно делаем вывод, что график функции y = -f(x) можно получить с помощью симметрии относительно оси Х.

Аналогично, графики функций y = kf(x) и y = -kf(x) при любом k0 симметричны относительно оси Х.

Иначе говоря, чтобы построить график функции y = kf(x), где k < 0, можно сначала построить график функции y = -kf(x), где -k > 0, а затем отобразить его симметрично относительно оси Х.

Выясним, как связаны между собой графики функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = x, y = x - 4 , y= x-4, y = x+ , y= x- (рис. 2).

Рассматривать будем попарно графики функций у и у(рис.2а), у и y(рис.2б), у и y(рис.2в), у и y(рис.2г).

Моментальное построение графика каждой из выше указанных функций даст возможность сделать вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если n<0.

Выясним теперь, как связаны между собой графики функций y = f(x) и y = f(x-m), где m – произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = (x-3), y = (x+2), y = (x), y = (x+).

Получаем рис.3 и делаем вывод, что график функции y = f(x) можно получить с помощью сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо, если m>0, или на единиц влево, если m<0.

Из курса алгебры VII класса известно, что график функции y = x (парабола) симметричен относительно ось У. Точку пересечения параболы с осью симметрии называют вершиной параболы.

Построим, используя программу Advanced Grapher, в одной системе координат графики функций y = x, у== x+2, y= (х-3) и y= (х-3) +2 ( рис.4).

Учащимся наглядно видно, что у параболы у== x+2 осью симметрии является ось У, а у параболы y= (х-3) - прямая х = 3. Графиком же функции y= (х-3) +2 является парабола с вершиной в точке (3;2) и осью симметрии её является прямая х = 3.

Из наглядного наблюдения учащиеся видят, что при построении графика функции у = (х-3) +2 нужно последовательно выполнить два параллельных переноса: один в направлении оси У на 2 единицы вверх, а другой в направлении оси Х на 3 единицы вправо.

Делаем вывод, что графиком функции вида у = (х-m) +n является парабола с вершиной в точке А(m;n) .А также обобщаем выше рассмотренные преобразования графиков и делаем вывод, что график функции y = f(x-m)+n может быть получен из графика функции y=f(x) в результате последовательно выполненных двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц и сдвига графика функции у = (х-m) вдоль оси У на n единиц.

II. Закрепление.

У: Изобразите на координатной плоскости заданные точки и определите, используя обороты “выше на…” и “ниже…”, взаимное расположение соответствующих точек:

а) А(-1;7) и А₁(-1;10) б) В(2;7) и В₁(2;5) в) С (0;-6) и С₁(0;-5) г) Д (3;-4) и Д₁(3;-7) .

У: Как найти расстояние между точками, имеющими одинаковые ординаты? Закончите предложение: “Если точки имеют одинаковые ординаты, то расстояние между ними равно…”

Обучающая исследовательская работа.
(карточки-распечатки см. Приложение 1)

I вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) + 2. заполните таблицу значений этих функций и сделайте вывод о взаимном расположении точек данных функций и их графиков:

X	1	2	4	6	7
y=f(x)	5	7	-5
y=f(x)+2				3	-11

Д: Любая точка графика y = f(x)+2 с абсциссой X находится на 2 единицы “выше”, чем точка графика y = f(x) с той же самой абсциссой; а график функции y = f(x)+2 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вверх”.

II вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) – 3. заполните таблицу значений этих функций и сделайте вывод о взаимном расположении точек данных функций и их графиков:

X	0	1	3	5	9
y=f(x)	4	-6	5
y=f(x)-3				-3	0

Д: Любая точка графика y = f(x)-3 с абсциссой X находится на 3 единицы “ниже”, чем точка графика y = f(x) с той же самой абсциссой; а график функции y=f(x)-3 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 3 единицы “вниз”.

У: С помощью какого преобразования можно получить график функции y = f(x)+a, а0 из графика функции y = f(x).

Д: Обобщённый вывод (записать в тетрадь): График функции y₁= f(x)+a, а0 можно получить из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на единиц “вниз”, если а<0, и на единиц “вверх”, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+7. Известно, что один из них проходит через начало координат. Определите точку пересечения другого графика с осью ординат.

Д: A (0;7) или А (0;-7).

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+c. Известно, что один из них проходит через точку А(-11;231) и другой через точку А (-11;132). Найдите все возможные значения С.

Д: 99 или -99.

I вариант.

2. Постройте графики функций, используя известный график y = kx:

a) y = x-4 ; б) у = x+1; в) у = 2 x-1.

II вариант.

2. Постройте графики функций, используя известный график y = kx:

а) у = -x+3; б) у = -0,5x+2; в) у = -2x-3.

У: Изобразите на координатной плоскости заданные точки и определите, используя обороты “левее на …” и “правее на …” взаимное расположение следующих точек:

а) А (-1;7) и А (6;7) б) С (8;-6) и С (14;-6) в) В (2;3) и В (-2;3) г) Д (-13;_4) и Д (-3;-4).

У: Как найти расстояние между точками, имеющими одинаковые абсциссы? Закончите предложение: “Если точки имеют одинаковые абсциссы, то расстояние между ними равно…”

I, II вариант.

4. Заданы функции y=f(x), y= f(x+2) и y= f(x-3). Заполните таблицу значений этих функций:

У: Как взаимно расположены точки графиков функций y = f(x) и y = f(x+2)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x+2) из графика функции y = f(x)?

Д: Любая точка графика y= f(x+2) с абсциссой х-2 находится на 2 единицы “левее”, чем точка графика y=f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x+2) можно получить из графика y = f(x), “сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс.

У: Как взаимно расположены точки графиков функций y = f(x) и y= f(x-3)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x-3) из графика функции y = f(x)?

Д: Любая точка графика y= f(x-3) с абсциссой х+3 находится на 3 единицы “правее”, чем точка графика y = f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x-3) можно получить из графика функции y = f(x) “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

У: Попытайтесь сделать вывод о том как можно получить график функции y= f(x+а) из графика функции y = f(x)?

Д: График функции y= f(x+а) можно получить из графика функции y = f(x), “сдвинув” его на единиц вправо вдоль оси абсцисс, если а<0, и на единиц влево вдоль оси абсцисс, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y= f(x+7). Известно, что один из них проходит через начало координат. Какую точку пересечения графика с осью абсцисс можно указать наверняка?

Д: А(-7;0) и А (7;0).

У: Опишите как расположены относительно друг друга графики функций (задания 5-9 выполнены на карточках-распечатках, ответы в устной форме):

5. y = f(x-2) и y = f(x+7).

6. y = f(2x) и y = f(2x-4).

7. y = f(2x) и y = f(2x+1).

8. y = f(0,5x) и y = f(0,5x-4).

9. y = f() и . y = f(-1).