Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.
Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше к искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – “лед и пламень не столь различны меж собой”. Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать, соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.
Поэтому основное правило изучения геометрии состоит в том, что встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.
Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.
Все психологические процессы, в том числе и пространственное воображение, развивается и совершенствуется в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т.е. необходима система упражнений.
За годы работы в школе, я пришел к выводу, что пространственное воображение учеников следует развивать с первых уроков математики в пятом классе.
В настоящее время разработаны различные системы развития пространственного воображения у младших школьников, в том числе и компьютерные. Мною на протяжении ряда лет используется более простая система, которую я называю курсом “Введение в геометрию”, рассчитанного на преподавание в 5 – 6 классах. Его цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.
При определении содержания “Введения” нужно было понять, что именно наиболее трудно дается детям в начале систематического курса. Этот курс догматичен. В нем почти отсутствует мотивация, его логика скрыта от детей. В самом деле, он начинается с точек и прямых, потом идут углы, потом треугольники и т.д. Но ученики не знают, что будет впереди, не ведают ни о цилиндрах, ни о пирамидах.
Разъединенность планиметрии и стереометрии – весьма вредная для дела особенность курса. У учащихся подавляется пространственное воображение. Последние издания учебника “Геометрия”, 10 – 11 классы авторов Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. пытаются сгладить переход от планиметрии к стереометрии, изображая объемные тела цветными, но при переходе учащихся от учебника к рабочим тетрадям эта попытка сходит на нет. Изображение фигуры в тетради становится бесцветным, и учащиеся испытывают затруднения в чтении и изображении таких рисунков. (Не заставлять же старшеклассников рисовать цветными карандашами!)
В поисках преодоления этого недостатка уместно обратиться к истокам геометрии. Первоначальные геометрические сведения, дошедшие до нас, содержатся в египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах, имеющих более чем четырехтысячелетнюю давность. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса, который впервые применил движения: перегибание чертежа, поворот части фигуры и т.д. Постепенно геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. Вершиной древнегреческой геометрии была книга “Начала”, написанная Евклидом (III в. до н.э.), содержащая свойства параллелограммов и трапеций, подобие многоугольников, теорему Пифагора и т.д.
В нынешнем курсе представлен, лишь, евклидов этап истории геометрии, а доевклидов не рассматривается вовсе. Не отражено в нем то время, когда ученые еще не владели методами строгих доказательств, но знали уже практически все, что входит в нынешнюю школьную геометрию. Почему бы ни познакомить учащихся перед систематическим курсом со всеми объектами изучения, используя для этого часть часов, отведенных на повторение изученного материала в 5 – 6 классах. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, еще неизвестных. При такой постановке вопроса изживается догматизм, а те умения, которые удается сформировать в 5 – 6 классах, делают дальнейшее изучение геометрии не таким трудным.
Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении измерения площадей, объемов и углов легче разъяснить практическую необходимость измерения объемов. Поэтому введение в геометрию удобно начать с изготовления литровой емкости – куба с ребром 1 дм. При этом внимание учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь шесть квадратов со стороной 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный опыт, который недостижим в нынешних условиях, ведь измерение объемов изучается в кусе стереометрии Х – ХI классов. (Не заставлять же старшеклассников клеить кубы!) Уже на этом примере просматриваются определенные навыки: дети измеряют, чертят, вырезают, клеят. В дальнейшем добавляются вычисления по формулам.
Следующий вопрос – измерение объема полулитровой емкости, весьма распространенной в торговле и в быту. Можно разрезать литровый куб пополам горизонтальной (вертикальной) плоскостью, проходящей через середины сторон, или вертикальной (горизонтальной) плоскостью, проходящей по диагоналям оснований.
В первом случае мы делили пополам высоту куба, а основание не трогали. Вообще, если не изменять основание, а изменять высоту, то объем изменится во столько же раз. Во втором случае мы не трогали высоту, но в два раза уменьшили площадь его основания. Так мы приходим к объяснению формулы объема призмы. Учащиеся применяют полученные знания при выполнении практической работы.
Заметим, что для решения многих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать учащимся уже в пятом классе.
Первую серию задач условно можно назвать “выходом в пространство”. Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении и монет в задаче 3 (читатель сразу думает, что монеты должны лежать на плоскости) навязывает “плоскостные” образы. Нужно преодолеть это, “вывести” свою мысль “в пространство”, чтобы правильно выполнить предложенные задания.
Например:
1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.
2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.
3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.
4. Можно ли расположить шесть одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? (Ответы смотри в приложении1)
Часто приходится сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображением многогранников, решением задач на построение сечений и т.д. Но ученики должны “видеть” этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии уместно предложить задачи с кубом, параллелепипедом, некоторыми другими геометрическими телами. Эта группа заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.
На этом рисунке <Рисунок1> любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты… Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа <Рисунок2>, а другой – снизу и слева <Рисунок3>. Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение, той реальности, о которой говорится в конкретной задаче.
 |
 |
 |
Но многие учащиеся не могут сразу научиться видеть в плоской фигуре выпуклые тела. Помочь им еще в средних классах наша задача. Предлагая ряд плоскостных рисунков, попробуем преодолеть трудности восприятия.
Например:
5. Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба и опишите свои впечатления. (Более четко просматривается такой куб, как на рисунке 2)
6. Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож ваш рисунок: на шкафчик? полочку?
7. Попробуйте представить, глядя на рисунок, сначала коридор <Рисунок4> (трубу <Рисунок5>, по которому вы движетесь, затем перевернутое детское ведерко, на кторое вы смотрите сверху. (В первом случае больший квадрат (окружность) находится ближе к нам, во втором – дальше).
 |
 |
Третья серия заданий использует развертки куба, призмы, цилиндра и конуса.
8. Сколько граней у шестигранного карандаша? (Восемь, если карандаш не заточен. Часто отвечают “шесть”).
9. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? (Нетрудно доказать, что фигура состоящая из объединения треугольников передней и верхней граней, расположенных в одной плоскости, есть квадрат ). <Рисунок6>
10. На рисунке изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? (Можно, если грань куба такая, как выделенная цветом ). <Рисунок7>
Следующая серия заданий – это задания на проекции. Дети очень часто играют, изображая различные тени на стене, столе и т.д. В качестве примера приведу следующую задачу:
11. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диагонали? (Правильный шестиугольник).
В заданиях на проекции фигур, широко могут использоваться задачи на изображение фигур, согнутых из проволоки, когда луч света направляется на куб под разными углами. Эти задачи ценны тем, что предметы, о которых в них говорится, учащиеся могут изготовить сами. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба. Однако следует заметить: во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если начинать рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.
Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. А это необходимый вид деятельности при изучении геометрии.
Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует общему умственному развитию школьников, но развивает пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5 – 6 классах при изучении математики.