Урок алгебры в 9-м профильном классе по теме: "Исследование рациональных функций элементарными методами"

Разделы: Математика

Урок – главная составная часть учебного процесса, где в значительной степени сосредотачивается учебная деятельность учителя и учащихся. Качество подготовки учащихся к занятию во многом определяются уровнем его проведения, содержательной, методической наполненностью, а также его атмосферой. Важно, чтобы все, что происходит на уроке, вызывало у ребят интерес, увлеченность, формировало их творческое сознания.

Как построить такой урок?

  1. Четко определить и сформулировать тему и место урока в курсе.
  2. Обозначить для себя и для учащихся целевые установки, а также обучающие, развивающие и воспитывающие функции урока.
  3. Планировать учебный материал, группировать его и продумывать, в какой последовательности будет организованна работа с ним, а также, как будет осуществляться смена видов деятельности на уроке.
  4. Контроль за деятельностью учащихся на уроке.
  5. Домашнее задание, состоящее из рекомендательной и содержательной части.

Предлагаю развернутый конспект урока.

Методическая карта

Тема урока: Исследование рациональных функций элементарными методами.

Цели урока:

  • Образовательные:
    • научить учащихся проводить “диагностику” функции по ее аналитической формуле, т.е. процедуру “исследования” функции;
    • научить учащихся выполнять операцию “эскизирования” функции, т.е. строить ее эскиз.
  • Развивающие:
    • углубить изучение понятия функции, ее свойств элементарными методами, приближая их к классическим моделям исследования на интуитивном уровне.
  • Воспитательные:
    • вырабатывать умения действовать в ситуациях, отличных от заданных алгоритмов, вплоть до нестандартных;
    • показать значимость изучаемой темы в историческом аспекте.

Тип урока: проблемно-развивающий.

Используемые методы обучения:

Метод Применение
1. Проблемно-поисковый Исследование функций с помощью основных свойств и характеристик
2. Объяснительно-иллюстрационный Описание процесса исследования функций
3. Аналогии и сравнения (УДЕ) Решение ключевых задач
4. Проектный Исследование обобщающей задачи параметрического типа

Формирование общеучебных умений и навыков

 Психологические аспекты урока

  • Создание комфортной рабочей атмосферы;
  • Побуждение к активной диалоговой деятельности;
  • Развитие памяти, интуиции.

Блок ключевых здач

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Вступление учителя

Научиться строить графики функций полезная, но нелегкая задача. Очень часто то не хватает доски, то не ясно как дальше “ложатся” точки графика функций. Другое дело графики, вычерченные приборами, например сейсмографом: колебания земной коры или кардиограмма больного, по которой врач судит о нарушениях сердечной деятельности. Это полезная совокупность научной и инженерной мысли. У математики, и это надо понимать, другая задача: получив функцию в виде формулы или таблицы, необходимо выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, набросать эскиз, ибо в силу своей наглядности он незаменим, но делается это “вручную”.

III. Актуализация знаний

Учитель: Предыдущие занятия были посвящены изучению различных свойств функций. Перечислите их.

Учащиеся называют свойства четности, нечетности, монотонности, ограниченности.

Учитель: Охарактеризуйте каждое из них, приведите конкретные примеры.

(Ответы учащихся)

Учитель: Обратимся к рис.1. Дайте определения:

а) точек экстремума,
б) экстремумов,
в) наибольшего и наименьшего значений функции.

Рис.1

Обратите внимание на “Общую схему исследования функции y = f(x) элементарными методами” (см. Приложение 1).
Обратимся к таблице различных графиков функций (см. Приложение 2). Таблица является полезной, в ней собраны основные свойства и характеристики функций. Ответьте на следующие вопросы:

  1. определите графики четных функций;
  2. определите графики нечетных функций;
  3. укажите графики возрастающих на R функций;
  4. укажите графики убывающих на R функций.

Ответы:

  1. 2, 4, 6, 7, 9
  2. 3, 13
  3. 5
  4. 17

Учитель: Попытайтесь определить, какая формула соответствует графикам и почему?
Итак, если функция изображена графически, то по графику мы можем установить характер поведения функции.
Совсем другая задача возникает в том случае, если функция задана аналитически. Каким образом изобразить график этой функции и увидеть ее особенности поведения?
Для этого проводят исследование функции, т.е. ее диагностику.

IV. Реализация учебных целей

  • Диагностика функции по ее аналитической формуле
  • Построение эскиза графиков функций.

Ключевая задача 1. Построить график кривой, заданной уравнением в неявном виде .

Исследование у доски проводит учащийся.

Выразим

1. , т.к.

2. – четная функция, значит, график симметричен относительно оси ОУ.

3. если а = 0, то – 8 = 0 ложь, значит, а = 0 не удовлетворяет если а =/= 0, то

 

4. Пусть х2 > х1 > 0 ,

значит, функция при х < 0 монотонно убывает.

5. Заметим, при значение , значит, у = 0, т.е. ось абсцисс является асимптотой.

6. Но, наибольшее значение у=2, выясним, при каком х это достигается. Решим уравнение

Учитель: Перейдем к построению эскиза графика. Выберем несколько значений аргумента, найдем соответствующие значения функции и запишем в таблицу.

х

1

2

3

у

1,6

1

0,6

Построим точки и соединим их пока штриховой линией. Зададим вопрос: Как ведет себя график на интервале (0; 1)? Смотри рис. 2, рис. 3.
Давайте еще возьмем точки и проверим, как они “ложатся” на сомнительном участке.
Итак, для построения эскиза графика воспользуемся свойством четности функции, т.е. если точка (а; в) лежит на правой половине графика, то на левой его половине будет лежать точка (– а; в).

Историческая справка. Мария Гаэтана Аньези (1718–1799 г.), г. Милан, получила прекрасное образование, изучала древние и восточные языки. Отец известный математик того времени, дочь тоже увлеклась этой наукой и стала профессором университета в Болонье. Основное ее сочинение “Основание анализа для употребления итальянского юношества”. Она доказала, что любое кубическое уравнение имеет 3 корня. Кривая 3го порядка .

Построение графиков “родственных функций”

Учитель: График функции похож на график функции . Построим его в зависимости от .

Обратимся к конкретным примерам (зеркальное отображение относительно оси ОХ); , если .

Вывод: (делают учащиеся) График функции получается из графика функции растяжением в раз по оси ОУ (в случае получается сжатие).

Ключевая задача 2. Построить эскиз графика функции

Учитель: Применим аналогию. Обратимся к ключевой задаче 1. Сравните аналитические формулы функций и определите, какие свойства мы можем продублировать, а какие отличаются и чем?

Учащиеся сразу замечают свойство нечетности функции. Далее учащимися у доски проводится исследование по схеме.

Обратим внимание на нахождение

а)

б) Пусть , тогда

Т.к. , то знак выражения зависит от знака . Возникает проблема, как исследовать знак выражения ?

Учащиеся выдвигают идеи: перебор различных значений . На конкретных примерах убеждаемся, что этот метод не дает результата.

Выясняем, что на промежутке функция принимает наибольшее значение у = 2. При каких х?

Решим уравнение . Значит, при х = 2 у = 2.

Исследуем знак на промежутке , значит, здесь возрастает, а на промежутке , т.е. убывает.

Возьмем дополнительные точки и построим эскиз графика.

х 0 1 0,5 3 4 5
у 0 1,6 0,94 1,8 1,6 1,4

Ключевая задача 3. Построить эскиз графика , используя методы построения в ключевых задачах 1 и 2.

Учащиеся: Выделим целую часть . Итак, строим последовательно графики функций (УДЕ)
(отображение, зеркальное относительно оси ОХ) (растяжение в 4 р. по оси ОУ) (параллельный перенос)

Вывод. В процессе занятия рассмотрен ряд функций (см. ключевые задачи 1, 2, 3), исследован характер их поведения и построены эскизы графиков. В основе всех рассуждений – знаменитая кривая – Локон Аньези.

V. Итог урока

Подводим итог урока, рассмотрев задачу “Различные методы построения кривой ”.

VI. Презентация

Анализ урока

Проведено вводное занятие по теме “Исследование рациональных функций элементарными методами” (всего 5 часов), была сформулирована триединая задача урока (образовательная, воспитательная, развивающая), а перед учащимися поставлены учебные задачи, которые выражены опорными словами “диагностика”, “эскиз”, и стратегическая – с опорным словом “проблема”.

Выдержаны основные компоненты урока:

  1. Организационный: готовность, настрой, порядок – прослеживались на каждом этапе.
  2. Целевой: цели поставлены на весь урок, а также на каждом его этапе.
  3. Мотивационный: определена значимость занятия во всей теме и курсе углубления.
  4. Содержательный: подбор материала проведен в соответствии с методикой УДЕ (укрупнение дидактических единиц), а также историей развития предмета (исследование функции Локон Аньези).