Урок математики в 11-м классе по теме: "Нестандартные методы решения иррациональных неравенств"

Разделы: Математика

Цели:

  • познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных неравенств;
  • научить применять эти методы, уметь их классифицировать;
  • развивать логическое мышление и интуицию при решении задач;
  • воспитывать интерес к предмету, коллективизм и самоконтроль.

Оборудование.

  • Таблица с алгоритмом решения стандартных иррациональных неравенств.
  • Карточки-задания.
  • Задачи вступительных экзаменов в ВУЗы.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Цель нашего урока познакомиться с нестандартными методами решения иррациональных неравенств, уметь классифицировать и применять их. Но мы сначала повторим основные моменты решения стандартных иррациональных неравенств. К доске вызываются два ученика для выполнения задания по карточкам. Два ученика выполнят тест, сидя за партой, а остальные выполняют устные задания.

1. Решение иррационального неравенства стандартного вида

1)>0,

2)>2х + 3.

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2005 – 2006 учебный год, 10-й класс.

2. Самостоятельная работа-тест.

Вариант 1 Вариант 2
1) Найти значение выражения

А) 45; Г) 15; С) 75.

Б) 50; Е) 81; Г) 75.
2) Внести множитель под знак корня
в в < 0

Н) ; Е) ; Я) .

 а а < 0

К) ; М) ; Л) .
3) Упростите выражение
а > 0

О) 2а; К) 0; Р) а.

 а > 0

К) 2а; П) 0; М) 3.

4) Сравните числа

Н ) <; Р) >; С) = .

П) >; М) =; К) <.

5) Решите уравнение: х4 – 1 = 0

К) 1; А) –1 и 1; Е) –1.

6) Решите уравнение:

К) – 2; Л) 4; – 4; С) 0.

Ответы:
1) Г; 2) Е; 3) О; 4) Н 1) Г; 2) И; 3) П; 4) П; 5) А; 6) С.

3. Устная работа

1) Упростите выражение.

а); б); в); г) Ответы: а); б); в); г), т.к. а < 0

2) Внесите множитель под знак корня.

а) ; б); в); г) Ответы: а); б); в); г) а > 0,

а < 0, –

3) Решите уравнения.

а); б) в)

Ответы: а)1, – 4; б) 2, 8 в) 1, т.к. – 3,5 не удовлетворяет ОДЗ

г)

Ответ: решения нет, так как при каждом допустимом значении переменной сумма двух не отрицательных чисел не может быть равна – 2

д)

Ответ: решения нет, так как при всех допустимых значениях переменной, значение корня отрицательному числу равняться не может.

4) Решите неравенство.

а)< –1

Ответ: решения нет, так как по определениюнеотрицательное число, при всех допустимых значениях, меньше отрицательного быть не может.

б)> –8

Ответ:

в)> –3

Ответ:

III. Объяснение нового материала

Нестандартные методы решения иррациональных неравенств не рассматриваются в школьном курсе алгебры и начал анализа, а ВУЗовские задания вообще не решаются, но на вступительных экзаменах часто дают. Мы познакомимся с методом рассуждения, методом оценки, метод интервалов.

1. Метод рассуждения

С помощью цепочки логических рассуждений приходим к более простому выражению, решение которого не требует усилий.
Рассуждаем с учителем.

Решим неравенство

Решение:

Так как по определению неотрицательное число, при всех допустимых значениях х > 0, то произведение двух множителей неотрицательно, когда принимает неотрицательные значения, то есть решением неравенства является промежуток .

Ответ: .

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а)<0.

Решение:

Так как по определению , при всех допустимых значениях х ? 1, то

х – 7 < 0, значит

Ответ:

б)

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2005 – 2006 учебный год, 10-й класс.

2. Метод оценки.

Метод состоит в том, что оцениваются границы, в которых могут лежать значения выражений в каждой из частей неравенства.
Рассуждаем с учителем

Решение:

В неравенстве присутствуют функции разного вида. Справа сумма квадратичной функции и квадратного корня, а в левой части тригонометрическая функция. Правая часть имеет смысл при у – х2 – 1 > 0, то есть у > х2 +1, а х2 + 1 > 1 следовательно у > 1, то есть , но |cos x| > 1, при всех действительных значениях х выполняется неравенство , поэтому неравенство наше может быть выполнено только если , то есть это выполняется при х = 0, у = 1.

Ответ: (0; 1)

Это задание взято из мехмат. МГУ 1991 г.

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а) .

Решение:

В неравенстве присутствуют функции разного вида, значит решим методом оценки. По определению = 0, > 1, а |cos x| > 1, при всех допустимых значениях х > 0 выполняется неравенство cos x < . Решение неравенства х > 0.

Ответ: (0; )

б)

Решение:

cos x < 1. , но

Ответ: решений нет.

Это задание взято из мехмат. МГУ 1991г.

3. Метод интервалов

Рассуждаем с учителем

Решим неравенство:

а)

Решение:

Рассмотрим функцию . Область определения , нуль функции 6. Функция на промежутках определена, непрерывна и не обращается в нуль, поэтому сохраняет постоянный знак. Определим знак значение функции в каждом из интервалов: f(3) < 0, f(11) > 0. Значит решением неравенства является промежуток

Ответ:

Это же неравенство можно решить простым способом.

Решение:

ОДЗ: х – 2 > 0, х > 2

В области определения х может принимать положительные значения, значит

Ответ:

Выходит учащийся к доске и решает неравенство.

Решение:

Учитывая, что при , то

Ответ: .

4. Решите неравенство содержащее три и более корней.

1) Решить неравенство.

Решение:

Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

Легко видеть, что система имеет одно решение х = 5/2. Подстановкой в неравенство убеждаемся, что х = 5/2 является решением.

Ответ: 5/2.

2)

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: .

V. Подведение итогов

Историческая справка

При выполнении теста у учащихся получились два имени: Геон и Гиппас. Их имена связаны с открытием иррациональных чисел. Открыв новый математический объект, пифагорийцы пришли в замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения, ни каких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются. Они держали свое открытие в секрете. Гиппас из Метапонта разгласил людям “ужасную” тайну о существовании несоизмеримых величин. И небо покарало его, он утонул в море во время шторма.

VI. Задание на дом

1) , 3) , 5).

2) , 4) ,

Литература

1. Задания ЗФТШ, № 1 за 2005 – 2006 учебный год, 10-й класс.
2. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.
3. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин.
4. Решение задач методом оценки. Автор: А.А. Аксенов.