Время проведения: октябрь.
Тема: “Удивительное сложение”.
Цели:
- Привитие интереса к математике.
- Углубление знаний учащихся по теме “Сложение натуральных чисел”.
- Расширение кругозора учащихся через исторические факты в математике.
Оборудование: на доске портрет Карла Фридриха Гаусса , годы его жизни
I. Актуализация знаний
1. Найдите закономерность
В приведенной ниже таблице числа расположены в соответствии с определенной закономерностью. Установите эту закономерность и назовите число, которое следовало бы вписать в пустое место таблицы:
| 3 | 12 | 6 |
| 4 | 16 | 8 |
| 5 | 20 | * |
Ответ: 10.
2. Посмотрите на число и запомните:
26 101 418 2226.
Число убирается. Учащиеся должны по памяти воспроизвести число. Так как, число большое, то должны увидеть какую-то закономерность.
Ответ: Закономерность состоит в следующем: 2 6 10 14 18 22 26. Достаточно запомнить первое число, и к нему последовательно прибавлять число 4
II. Проверка домашнего задания
Числовой ребус:
III. Вводное слово учителя
ЮНЫЕ МАТЕМАТИКИ
Истории математики известны случаи очень
раннего проявления математических способностей.
Французский ученый Блез Паскаль стал
интересоваться математикой в столь раннем
возрасте, что отец ему запретил ею заниматься.
Однако, зайдя через некоторое время в детскую
комнату, он обнаружил. Что мальчик углубился в
рассмотрение какого-то рисунка из прямых линий и
окружностей.
Очень рано раскрылись дарования и у Карла Гаусса,
позднее ставшего одним из крупнейших
математиков X IX века (его даже называли “царем
математики”).
Рассказывают, что в возрасте трех лет он заметил
ошибку, сделанную его отцом в расчетах. А семи лет
мальчик пошел в школу. В то время в одной классной
комнате занимались ученики разных классов. Чтобы
занять первоклассников, пока он будет заниматься
с третьим классом, учитель велел им сложить все
числа от 1 до 100. Но не успел он закончить чтение
условия задачи, как маленький Карл написал на
своей грифельной доске ответ и положил на
учительский стол.
С сожалением смотрел преподаватель на мальчика:
ясно было, что за такой короткий срок он не мог
сделать столько сложений. Остальные ученики
терпеливо складывали. Когда учитель закончил
занятия с третьеклассниками, он взял со своего
стола грифельные доски. Ни у кого не было
правильного результата. И только на доске Карла
стоял ответ: 5050, причем никаких вычислений не
было.
– Как же ты сосчитал? – спросил учитель.
– Очень просто, – ответил мальчик.
Как же вычислил маленький Гаусс?
– На этот вопрос нам и нужно сегодня ответить. И вычислить сумму так же быстро, как это сделал Гаусс.
Математический факт
IV. Решение задач
Задача 1. Найдите сумму всех чисел от 1 до 10.
Учащиеся решают самостоятельно.
45 + 10 = 55.
2-ой вариант решения:
+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5
+ 6 + 7 + 8 + 9 + 10
10 + 9 + 8 + 7 + 6 +
5 + 4 + 3 + 2 + 1
11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11+ 11 + 11 + 11
Итак, получилось 10 пар, по 11, но так как числа брали 2 раза, то надо 10 : 2 = 5. Значит 11· 5 = 55.
Задача 2. Найдите сумму всех чисел от 1 до 20.
Решение:
Можно составить пары из чисел:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 20 = (1 + 20) + (2 + 19) + (3 + 18) + (4 + 17) + (5 + 16) + (6 + 17 ) + (7 + 16) + ( 8 + 13) + (9 + 12) + (10 + 1) = 21 • 10 = 210
Задача 3.
Итак, собственно задача о нахождении суммы чисел от 1 до 100.
Решение:
+ 1 + 2 + 3 + 4
+ 5 + 6 + 7
+ 8 + 9 + 10 + ... + 100
100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 +
94 + 93 + 92 + 91 + … +
1
101+ 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101+ 101 + 101 +101 + ... + 101
В каждой сумме получилось по 110, но т.к. чисел всего 100, а брали их по два раза, значит их надо разделить на 2.
101 · (100 : 2) = 5050
Задача 4. Найти сумму: 20 + 40 + 60 + … + 460 + 480 + 500.
Алгоритм:
1. Найдем сколько всего чисел в этой
последовательности. Так как, здесь записана
сумма чисел, которые делятся на 20, начиная с 20 до
500. Поэтому найдем их количество: 20 n = 500, n = 25. Всего
25 пар.
2. Найдем сумму первого и последнего числа: 20 + 500 =
520.
3. Вычислим непосредственно сумму по формуле:
Сумма чисел = (сумма (первого и последнего числа) · количество пар) : 2
(520 · 25) : 2 = 4160
Задача 5. Найти сумму: 30 + 60 + 90 + … + 540 + 570 + 600.
Решение:
1. 30 n = 600, n = 20
2. 30 + 600 = 630
3. 630 · (20 : 2) = 6300
Задача 6. Найти сумму: 6 + 12 + 18 + … + 90 + 96.
Решение:
1. 6 n = 96, n = 16
2. 6 + 96 = 102
3. 102 · (16 : 2) = 816
Задача 7. Найти сумму: 100 + 200 + 300 + … + 900 + 1000.
Решение:
1. 100 n = 1000, n = 10
2. 100 + 1000= 1100
3. 1100 · (10 : 2) = 5500
Задача 8. Найти сумму: 150 + 250 + 350 + … + 950.
Решение:
(150 + 950) + ( 250 + 850) + (350 + 750 ) + (450 + 650) + 550 = 1100 · 4 + 550 = 4950
1. 50 n = 950, n = 19. Но так как здесь сумма начинается не с 50, и не со 100, а со 150. Значит нужно исключить числа 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900. Их всего 10. 19 –10 = 9
2. 150 + 950 = 1100
3. 1100 · 9 : 2 = 4950
V. Итог урока
VI. Дополнительные задачи
1. Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?
Решение:
100 + 101 + 102 + … + 998 + 999 = (101 + 999) + (102 + 998) + … + (549 + 551) + (100 + 550).
Каждая сумма в скобках оканчивается нулем. Поэтому сумма всех трехзначных чисел тоже оканчивается нулем.
2. Вычислите сумму всех нечетных чисел, находящихся в первой тысяче.
Решение:
1 + 2 + 3 + … + 997 + 999 = (1 + 999) + ( 3 + 997) + (5 + 995) + … + (499 + 501) = 1000 · 250 = 250000.
Всего чисел от 1 до 1000 – 1000 (тысяча), нечетных и четных наполовину. Значит нечетных чисел в первой тысяче 500. Пар слагаемых заключенных в скобки – 250.
3. Вычислите наиболее удобным способом: 99 – 97 + 95 – 93 +…+ 3 – 1
Решение:
Нечетных чисел в первой сотне 50. Всего пар слагаемых 25, значит (99 – 97) + (95 – 93) + … + (3 – 1) = 2 · 25 = 50
4. Вычислите наиболее удобным способом: 101 – 99 + 97 – 95 + 93 –… 5– 3 +1
Решение:
Нечетных чисел в первой сотне 50, но добавилось число 101, значит 51 нечетное число, но 1 не образовала пары, значит пар будет 25, и 1 отдельно (101 – 99 ) + (97 – 95) + (93 – 91) + … + (5 – 3) + 1 = 2 · 25 + 1 = 51.
5. Вычислите сумму: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 +…+ 144 = ?
Решение:
Сначала нужно найти закономерность. Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Например: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8 и т. д. Получаем следующую сумму: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 = 377
Литература:
1. И.Я. Депман За страницами учебника
математики. М. 1989.
2. А.И. Ершова, В.В. Голобородько
Самостоятельные и контрольные работы по
математике 5 класс. М. 2003.
3. Н.П. Кострикина Задачи повышенной
трудности в курсе математики 4–5 классов. М.
4. Спивак. Тысяча и одна задача по математике,
М., 2004.
5. И.Ф. Шарыгин А.В. Шевкин Задачи на смекалку.
М., 2003.