Из опыта работы. Решение геометрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ

1. Состояние преподавания геометрии в школе

Введение новой формы экзамена (в форме ЕГЭ) разделило образовательную общественность на два, а то и на три лагеря, которые за или против данной формы экзамена. Я не могу отнести себя ни к одной из этих групп, я – учитель-практик, и моя задача – подготовить всех учащихся к экзамену. И вот, готовя учащихся к математике, а не отдельно к алгебре и началам анализа, я увидела, что у учащихся формируется целостное представление математики, проявляется интерес к предмету, формируется осознанная мотивация изучения предмета.

Однако именно при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе.

Преподавая много лет в старших классах, я увидела, что учащиеся имеют очень большие затруднения в изучении геометрии. На экзаменах по математике задача по геометрии является самым трудным заданием. Окончив 9 классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, уметь решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, даже боятся за них браться. Я не могла согласиться с таким положением дел. Мне было бы очень обидно терять баллы на этих задачах.

Помочь учащимся можно было бы, заинтересовав их изучением геометрии и организовав их деятельность таким образом, чтобы был результат.

Проанализировав задачи в ЕГЭ, можно сказать, что в преподавании геометрии в школе очень много изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или даже теорему.

К таким моментам можно отнести, например, свойство биссектрисы угла в треугольнике.

Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла, из которого проведена данная биссектриса. В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна ни слова не сказано об этом свойстве, даже в задачах не упоминается. К слову сказать, учебник совсем не плохой, по сравнению с учебником геометрии Погорелова А.В. Однако на экзаменах в форме ЕГЭ в заданиях по геометрии 2004 и 2005 года дается задача именно на данное свойство. В варианте 60 2005 года приведена задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ. Данная задача именно на свойство биссектрисы. В варианте 74 2005 года задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь треугольника АВС равна 21, а синус угла А равна 0,4. Данная задача также на свойство биссектрисы.

Для хорошего результата по ЕГЭ на данное свойство следует обратить особое внимание. Кроме данного свойства, такая же судьба у некоторых других свойств и признаков. Например: свойство четырехугольника, описанного окружностью, и четырехугольника с вписанной окружностью. У четырехугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны. У четырехугольника, около которого описана окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Я также считаю, что свойство длин касательных, проведенных из произвольной точки к окружности, также недостаточно подтверждена задачами. Конечно, учитель для того и находится в классе, чтобы должным образом организовать работу в классе. Необходимо постоянно повторять, контролировать, организовывать взаимопроверку и самопроверку на уроках и во внеурочное время, чтобы вызывать постоянный интерес к решению задач.

2. Технология решения планиметрических задач по геометрии на уроках в 10–11-х классах

Работая над данной проблемой, у меня сложилась определенная система, которая позволяет:

• сформировать целостное понятие геометрии на плоскости;
• повысить мотивацию изучения геометрии;
• повысить качество знаний;
• повысить уровень образовательного процесса в целом.

Начиная каждый урок геометрии, я начинаю его с повторения. В 10-м и 11-м классе решают задачи на планиметрию. Всю программу по планиметрии я разбила на блоки.

• 1 блок – треугольники и их элементы;
• 2 блок – четырехугольники и их элементы;
• 3 блок – площади многоугольников;
• 4 блок – окружность и ее элементы;
• 5 блок – хорды, секущие и касательные;
• 6 блок – векторы, метод координат на плоскости.

Блок включает систему знаний и навыков, которые учащийся должен продемонстрировать после его изучения. Блок устанавливает границы, в которых знания учащихся оцениваются, и стандарты, в соответствии с которыми проходит обучение и оценка. Сам по себе модуль не является учебной программой или планом. Приведу пример изучения 1-го блока. Этапы блока:

1 этап – повторение необходимых теоретических знаний:

• виды треугольников (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный);
• элементы треугольника и их свойства ( медиана, биссектриса, высота, проекции катетов);
• теорема Пифагора;
• теорема косинусов;
• теорема синусов;
• средняя линия треугольника;
• подобие треугольников.

Для 10–11-классников этот материал не трудный, но, учитывая, что он занимает на уроке от 8 до 10 минут, он является очень важным именно для подготовки учащихся к решению планиметрических задач на ЕГЭ.

2 этап – решение простейших задач и контроль в группах и в парах; работа по дидактическому материалу;

3 этап – решение нестандартных и трудных задач. Такие задачи приносят огромную пользу. Решение одной трудной задачи заменяет решение многих простейших задач, но на данном этапе это продиктовано реальной потребностью. На данном этапе контроль осуществляется в основном учителем.

4 этап – предварительный контроль. Так как данный материал на уроке не основной, то и проверка несколько затруднена. В контрольные, самостоятельные по основной теме я добавляю последним пунктом задачу из курса планиметрии.

5 этап – погружение; данный этап проходит на каникулах. За неделю до каникул каждый учащийся получает свой вариант задач и начинает его решать. В варианте содержится 20–25 разнообразных задач. Решив все задачи, учащийся приобретает навыки самостоятельного решения задач, уходит страх перед экзаменом, появляется интерес к геометрии.

Роль учителя – подобрать таким образом теоретический и практический учебный материал, чтобы он был направлен на решение интегрированной дидактической цели, обеспечивал системность деятельности учащихся при индивидуальной и групповой работе. При такой организации учебного процесса все участники оперируют одинаковыми понятиями. Данная технология обучения базируется на единстве принципов, системности, проблемности и блочности.

Теоретическая значимость и новизна данной технологии состоит в том, что она рассматривается в комплексе: цель, принципы, способность проектирования содержания обучения, система задач и упражнений, конструирование дидактических материалов и система контроля и оценки учебных достижений.

Цель – активизация самостоятельности учащихся на протяжении всего периода обучения. Реализация цели позволит:

• повысить мотивацию обучения;
• повысить качество знаний;
• сформировать интерес учащихся к геометрии.

3. Пример практического варианта при погружении

Вариант 20

1. Угол ВАС при основании АВ равнобедренного треугольника АВС равен 50^o. Высоты треугольника пересекаются в точке О.
Вычислить АОВ.

2. Высота равностороннего треугольника равна 5 см. На одной из его сторон дана точка, расстояние от которой до другой стороны равно 3 см. Найти расстояние от этой точки до другой стороны.

3. Сумма двух углов параллелограмма равна 100^o. Вычислите углы параллелограмма.

4. Острый угол прямоугольной трапеции равен 45^o. Определить ее среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона равны между собой и меньшее основание равно 12 см.

5. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 18 см, отношение оснований равно 1 : 5. Определить высоту трапеции, если ее боковая сторона равна 15 см.

6. Сумма длин диагоналей квадрата равна 16 см. Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона на 3 см меньше другой, а периметр равен периметру квадрата.

7. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше другой, а его площадь равна 35. Найти площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

8. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высоты, опущенные на его основание и боковую сторону, соответственно равны 5 и 6.

9. Диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, а площадь равна 4. Определить высоту трапеции.

10. Около окружности описана равнобедренная трапеция с тупым углом 120^o и периметром 36. Найти ее площадь.

11. В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона – 39. Определить радиус вписанной окружности.

12. В равнобочную трапецию, площадь которой равна 20, вписана окружность радиуса 2. Определить стороны трапеции.

13. В параллелограмме острый угол равен 60^o. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 22, а меньшая диагональ равна 7.

14. В трапеции АВСД Д=АСВ. АС – биссектриса угла А. Определить диагональ АС, если средняя линия трапеции равна 8, а основания относятся как 3: 5.

15. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17: 15. Основание равно 60. Найти радиус этой окружности.

16. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона – 10. Определить радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

17. Найти площадь правильного восьмиугольника со стороной 8 см.

18. АВ – диаметр, АС – хорда, АД – ее проекция на диаметр АВ. Найти радиус, если АС = 12, АД = 4.

19. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 3 : 4, радиус вписанного круга равен 7. Найти стороны треугольника.

20. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника, опущенную на основание, на отрезки 5 и 3, считая от вершины. Найти стороны треугольника.

21. Около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого вдвое больше основания, описана окружность радиуса 1. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

22. При каком значении С векторы (С; 2) и в (18; С) коллинеарны и одинаково направлены?

23. Найти основание трапеции, если ее площадь равна 144 см², а основания относятся как 4: 5 и высота равна 16 см.

ОТВЕТЫ:

4. Результаты погружения:

5. Результаты ЕГЭ в решении задач по геометрии:

В итоге проделанной работы учащиеся показали следующие результаты на экзаменах по математике в форме ЕГЭ: