Классы с углубленным изучением математики в нашей школе существуют с 1988 года. Показателями продуктивности работы по этой программе можно считать следующие: высокий процент поступления выпускников этих классов в вузы, сдача устных и письменных вступительных экзаменов по математике абитуриентами в основном на “хорошо” и “отлично”, значительное снижение сопротивления материала при восприятии студентами-первокурсниками математических дисциплин в технических вузах.

Остановимся на системе преподавания алгебры и математического анализа в старших классах.

Для успешного усвоения углубленного курса математики необходимо ориентировать детей на изучение его теоретических основ. Формировать умения и отрабатывать навыки решения задач можно лишь, опираясь на теоретические знания учащихся. Одна из главных задач преподавателя – организовать работу таким образом, чтобы к выпускному письменному экзамену ученики были способны самостоятельно выдвинуть идею при решении конкретной задачи, наметить план этого решения, грамотно обосновать свои действия, найти способы оценки и проверки ответа. Для получения подобного результата нужна серьезная теоретическая подготовка.

Опыт работы подсказал необходимость объединения в единую систему различных форм обучения: устные опросы теории у доски, изложенной на предыдущем уроке, письменные теоретические опросы всего класса, проведение контрольных работ и устных зачетов. По окончании 10 класса проводится переводной экзамен.

Эта система преподавания позволяет ученикам выпускного класса успешно сдавать устный экзамен по алгебре и математическому анализу (экзамен по выбору).

Подробнее остановимся на содержании устных зачетов и переводного экзамена в 10 классе. Темы зачетов в 10 классе: “Тригонометрия”, “Пределы и непрерывность”, “Производная и ее применение”; в 11 классе – “Интеграл”, “Показательная, логарифмическая и степенная функции”.

В 10 классе проводится устный переводной экзамен. Необходимость именно устного экзамена подсказала практика. Его цель – привести знания учащихся в четкую систему, подвести их к осознанному заучиванию формул и теорем. Устный ответ учит грамотно оформлять свои мысли, пользоваться математической терминологией. При подготовке к зачетам и экзамену отрабатывается логика изложения материала и структура ответа, что позволяет успешно сдавать устные вступительные экзамены по математике в высшие учебные заведения.

Вопросы к зачетам в 10 классе составляют основу экзаменационных билет ов. Зная это еще в начале года, дети получают дополнительную мотивировку при изучении зачетной программы.

Поскольку степень подготовки учащихся в классе различна, я включаю в практическую часть зачетов разноуровневые задачи. Это дает возможность с одной стороны закрепить и проконтролировать умения и навыки решения опорных задач по теме, соответствующих базовому уровню, а с другой – развивать творческую мысль ученика. При этом уместно использовать задания письменных выпускных экзаменов прошлых лет.

Широкий выбор специальной литературы позволит каждому учителю составить практическую часть зачетов, подобрать такие задачи, которые более всего соответствуют уровню подготовки его класса.

10 класс.

Зачет №1 по теме: “Тригонометрия”.

1. Функция синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Табличные значения. Знаки этих функций, промежутки монотонности.
2. Графики функций y = sinx, y = ctgx. Свойства.
3. Графики функций y = cosx, y = tgx. Свойства.
4. Основное тригонометрическое тождество.
5. Формулы сложения.
6. Формулы приведения.
7. Тригонометрические функции двойного и тройного угла.
8. Тригонометрические функции половинного угла.
9. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
10. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
11. Арксинус, арккосинус. Тождества arcsin(-a) = …, arccos(-a) = …; решение уравнений sinx = a, cosx = a.
12. Арктангенс, арккотангенс. Тождества arctg(-a) = …, arcctg(-a) = …; решение уравнений tgx = a, ctgx = a.
13. Условие равенства синусов.
14. Условие равенства косинусов.
15. Условие равенства тангенсов.
16. Графики функций y = arcsinx, y = arccosx. Свойства. Основные тождества.
17. Графики функций y = arctgx, y = arcctgx. Свойства. Основные тождества.

Зачет №2 по теме: “Предел и непрерывность”.

1. Определение бесконечно малой функции при , примеры, операции над бесконечно малыми функциями, теорема о сравнении функции с бесконечно малой функцией при .
2. Операции над бесконечно малыми функциями при  . Теорема о произведении двух бесконечно малых функций.
3. Операции над бесконечно малыми функциями при   Теорема о сумме двух бесконечно малых функций.
4. Определение предела функции на бесконечности, примеры, свойства предела функции при Доказательство теоремы о единственности предела.
5. Предел функции на бесконечности. Теорема о пределе суммы двух функций.
6. Предел функции на бесконечности. Теорема о пределе произведения двух функций.
7. Определение бесконечно большой функции на бесконечности, примеры, свойства, доказательство одного из свойств.
8. Определение предела функции в точке и его свойства. Теорема о пределе многочлена Р(х) при, следствие из нее.
9. Бесконечно большие функции при Определение, примеры теорема о нахождении вертикальных асимптот.
10. Непрерывность функции в точке. Определение, примеры. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных в точке а функций.
11. Непрерывность тригонометрических функций.
12. Первый замечательный предел.

Зачет №3 по теме: “Производная и ее применение”.

1. Геометрический смысл производной. Касательная прямая к графику функции. Уравнение касательной.
2. Производная произведения двух функций.
3. Производная дроби.
4. Производная степенной функции с натуральным показателем.
5. Производная суммы двух функций.
6. Дифференцирование тригонометрических функций.
7. Необходимое условие экстремума функции. Теорема Ферма.
8. Достаточное условие экстремума функции.
9. Непрерывность дифференцируемой функции.
10. Производная степенной функции с целым показателем.
11. Признак возрастания и убывания функции.

Билет ы к экзамену по алгебре и математическому анализу в 10 классе.

Билет 1.

1. Косинус и синус разности и суммы двух чисел.
2. Определение, физический смысл производной.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 2.

1. Формулы приведения.
2. Теорема Безу и ее следствия.
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 3.

1. Тригонометрические функции двойного угла.
2. Касательная прямая к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 4.

1. Тригонометрические функции тройного угла.
2. Производная произведения двух функций.
3. Задача по теме: “Многочлены”.

Билет 5.

1. Тригонометрические функции половинного угла.
2. Производная дроби.
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 6.

1. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
2. Производная степенной функции с натуральным показателем.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 7.

1. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
2. Производная суммы двух функций.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 8.

1. Дифференцирование тригонометрических функций.
2. Бесконечно малые функции. Теорема о сравнении функции с бесконечно малой при
3. Задача по теме: “Тригонометрия”.

Билет 9.

1. Первый замечательный предел.
2. Необходимое условие экстремума функции.
3. Задача по теме: “Тригонометрия”.

Билет 10.

1. Решение уравнения sinx = а. Арксинус.
2. Достаточное условие экстремума функции.
3. Задача по теме: “Многочлены”.

Билет 11.

1. Решение уравнения cosx = а. Арккосинус.
2. Непрерывность дифференцируемой функции.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 12.

1. Решение уравнений tgx =а, ctgx = а. Арктангенс, арккотангенс.
2. Предел функции в точке и его свойства.
3. Задача по теме: “Тригонометрия”.

Билет 13.

1. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью условия равенства синусов.
2. Бесконечно малые функции. Теорема о произведении бесконечно малых функций при
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 14.

1. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью условия равенства косинусов.
2. Бесконечно малые функции. Теорема о сумме двух бесконечно малых функций при
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 15.

1. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью условия равенства тангенсов.
2. Предел функции на бесконечности. Теорема о пределе суммы двух функций.
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 16.

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений.
2. Предел функции на бесконечности. Теорема о пределе произведения двух функций.
3. Задача по теме: “Тригонометрия”.

Билет 17.

1. Решение тригонометрических неравенств вида sinx > а, sinx < а.
2. Теорема о пределе многочлена Р(х) при
3. Задача по теме: “Производная”.

Билет 18.

1. Решение тригонометрических неравенств вида cosx > а, cosx < а.
2. Непрерывные функции. Теорема о непрерывности суммы и произведения непрерывных в точке а функций.
3. Задача по теме: “Тригонометрия”.

Билет 19.

1. Решение тригонометрических неравенств вида tgx > а, tgx < а, ctgx > а, ctgx< а.
2. Производная степенной функции с целым показателем.
3. Задача по теме: “Предел функции”.

Билет 20.

1. Непрерывность тригонометрических функций.
2. Признак возрастания, убывания функции.
3. Задача по теме: “Многочлены”.

 11 класс.

Зачет №1 по теме: “Интеграл”.

1. Определение и теорема о первообразной функции.
2. Определение и свойства неопределенного интеграла. Доказать свойство об интеграле суммы двух функций.
3. Определение и свойства неопределенного интеграла. Доказать свойство о вынесении постоянного множителя за знак интеграла.
4. Определение и свойства неопределенного интеграла. Доказать свойство: Сформулировать теорему об интегрировании по частям.
5. Определение криволинейной трапеции. Теорема о площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Определение определенного интеграла. Показать, что неопределенный интеграл не зависит от выбора первообразной функции f . Физический и геометрический смысл определенного интеграла.
7. Определение и свойства определенного интеграла. Доказать свойство о перестановке пределов интегрирования и
8. Определение и свойства определенного интеграла. Доказать свойство об интеграле суммы двух функций на отрезке [ a,b] .
9. Вычисление площадей фигур, ограниченных графиками непрерывных на отрезке [ a,b] функций. Разобрать все случаи (с выводом некоторых).

Зачет №2 по теме:

“Показательная, логарифмическая и степенная функции”.

1. Определение степенной функции, свойства и график степенной функции с отрицательным рациональным показателем. Доказательство одного из них.
2. Определение показательной функции. Свойства и график показательной функции с основанием 0<а<1.
3. Определение логарифмической функции, свойства и график логарифмической функции с основанием а>1.
4. Логарифм произведения, степени и частного. Сформулировать теоремы и доказать одну из них.
5. Производные функций е^х и а^х. Вывод.
6. Производные функций lnx и log_ax. Вывод.
7. Свойства и график степенной функции с рациональным положительным показателем.
8. Вывод формулы перехода от одного основания логарифма к другому. Теоремы: log_ab = log_aⁿbⁿ; log_ab = 1/ log_na_.

Предлагаемые мной материалы, полученные в результате восемнадцатилетней работы, могут быть использованы при освоении программы углубленного изучения математики, выборе форм обучения и контроля. Естественно, индивидуальные особенности класса потребуют от педагога соответствующей адаптации материала и корректировки заданий.