Цель урока — повторение и систематизация изученного по теме “Треугольники”, решение треугольников; развитие элементов геометрического мышления, воспитание у учащихся интереса к знаниям.
Ход урока
1. Организационный момент.
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело —
Очень быстро и умело
Треугольники считать!
Например, в фигуре этой
Сколько разных? Рассмотри!
Все внимательно исследуй
И “по краю” и “внутри”.
2. Повторение пройденного.
Треугольник является одной из основных геометрических фигур. Многие из известных фигур (параллелограмм, трапеция и произвольный многоугольник) можно разбить на треугольники. Назовите их.
ABC, MNB, ABК, BКС, MBО, NBО.
Определите их вид.
а) Работа с сигнальными карточками.
Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок определений
- В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)
- В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)
- Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)
- Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)
- Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)
- Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)
- В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)
- Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)
- Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)
- Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)
б) Геометрический диктант (запись через копировку) с последующей проверкой.
- Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол? (42°)
- В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания? (70 см)
- В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АС)
- Запишите теорему синусов. (
=
=
= 2R). - Запишите теорему косинусов. (а 2 = в 2
+ с2 – 2вс cos
. Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус
угла между ними). Теорему косинусов называют
иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое
название объясняется тем, что теорема Пифагора
содержится в теореме косинусов как частный
случай.
в) Отработка формул.
Найдите ошибку в ответе товарища:
1) а2 = в2 + с2 + 2вc cos
2) в2 = а2 + с2 – 2вс cos
3) а2 = а2 + с2 - 2ас sin
4) 
5) 2R = 
6) 
=2r
г) Физминутка.
3. Объяснение нового материала.
Вспомним содержание основных задач на решение прямоугольных треугольников. Решение данных задач основано на теореме Пифагора и понятиях sin a, cos а, tg а.
Коллективно намечаются условия четырех основных задач на решение прямоугольных треугольников. Вывешивается таблица “Решение прямоугольных треугольников”. (Данные элементы в таблице выделены красным цветом.)
Во всяком треугольнике есть 6 основных элементов: 3 стороны и 3 угла. В теме “Решение треугольников” ставится вопрос о том, как, зная одни из основных элементов, найти другие.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Решение данных задач основано на использовании теорем синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника:
- решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
- решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам;
- решение треугольника по трем сторонам.
При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника ABC: АВ = с, ВС =а, СА=b.
В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку.
| Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними | Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам | Решение треугольника по трем сторонам |
|
|
|
с = cos
|
b= c= |
cos cos
|
Задача 1. Решение треугольника по стороне и двум углам.
Дано: а, 
,
. Найти: b, с,
.
Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников.
= 180° - (+)
По теореме синусов =, значит,
b=
=, значит, c=
.
Задача 2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: а, b, 
. Найти:
с, ,.
Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников.
Применим теорему косинусов с 2 = в 2
+ а 2 – 2ав cos, значит, с =
,
а 2 = в 2 + с2 – 2вс cos, значит, cos= 
;
угол
найдем по таблице Брадиса;= 180° - (+).
Задача 3. Решение треугольника по трем сторонам.
Дано: а, b, с. Найти: ,,.
Применим теорему косинусов а 2 = в 2
+ с2 – 2вс cos, значит, cos= ,
угол
найдем по таблице Брадиса;
с 2 = в 2 + а 2 – 2ав cos, значит, cos = 
,
угол
найдем по таблице Брадиса;= 180° - (+).
4. Решение задач.
Измерительные работы. Тригонометрические функции могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности.
5. Подведение итогов.
6. Задание на дом.
Изучить материалы пунктов 96 – 99, решить любые 3 задачи:
Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС:
№ |
а |
b |
c |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
60° |
|||
2 |
3 |
4 |
135° |
|||
3 |
2,4 |
1,3 |
28° |
|||
4 |
5 |
30° |
45° |
|||
5 |
2 |
4 |
60° |
|||
6 |
7 |
2 |
8 |
|||
7 |
12 |
36° |
25° |
|||
8 |
14 |
64° |
48° |
|||
9 |
3 |
5 |
60° |
|||
10 |
15 |
24 |
18 |
A