Каждый учитель в своей работе привыкает пользоваться учебниками одного и того же автора. Иногда это просто учебник, который есть в школьной библиотеке в достаточном количестве, но иногда – учебник, авторский коллектив которого, на взгляд преподавателя, доступно и на необходимом уровне излагает изучаемый материал. И потому не всегда обратишь внимание на то, что даже в учебниках, рекомендованных Министерством образования Российской Федерации для общеобразовательных учреждений, по-разному трактуются одни и те же понятия, определения, правила.
В 2003-2004 учебном году выпускники нашего
технического лицея, как обычно, писали работу
физико-математического профиля, вариант А – 11 –
ФМК № 13 – 04. Одно из заданий было таким:
“Исследуйте функцию 
на монотонность”. Задание, на первый
взгляд, не сложное, решали мы подобных примеров
много, и выпускники с ним справились без проблем.
Но при проверке медальных работ мы, учителя, были
озадачены (а надо отметить, что проверка
городских медальных работ организована на очень
серьёзном уровне). Выпускники, решая это задание,
нашли производную, приравняли к нулю, делая
пояснения, что будут находить критические точки
на области существования функции, а затем
определят интервалы возрастания и убывания
функции (интервалы монотонности).
Приведём решение.
1) D(f); x 
0
2) Найдём производную: 
Решая уравнение f(x) = 0, найдём критические точки.
Решим последнее уравнение методом замены
переменной: пусть 
Тогда 
По схеме Горнера найдём один из корней уравнения (**): y = 1.
Данное уравнение примет вид:
В силу введённых обозначений: 
- корень чётной степени кратности.
Тогда из системы (*) имеем: 
3)
Видим, что функция возрастает на всей области определения.
Ответ: функция возрастает на [0; 
].
Теперь остановимся на спорном вопросе.
Часть выпускников указали, что критической точкой будет только точка x = 1, другие назвали в качестве критической и точку x = 1, и x = 0.Кто из них прав? Это вопрос принципиальный. То, что точка x = 1 является критической, сомнений нет, а x = 0? Обратимся к определениям, которые дают учебники, рекомендованные Министерством образования: А.Н. Колмогоров “Алгебра и начала анализа”, издательство “Просвещение”, 1997 г., стр.143. “Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции”. По этому определению х = 0 не будет критической, т.к. она не внутренняя точка области. Обратимся к учебнику Ш.А. Алимова и др., тоже издательства “Просвещение”, 1997 г. В этом учебнике вообще нет определения критических точек, есть только понятие стационарных точек, а это не одно и то же (на стр. 146 читаем: “точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными”). А вот у тех же авторов, но в учебнике 2002 г. на стр. 263: “Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции”.
В точке х = 0 производная не существует и, по этому определению, х = 0 является критической точкой.
Значит, все выпускники правы, только они по разным учебникам учились, а мы, проверяющие, должны были писать на каждую работу рецензию, указывая это, чтобы у областной комиссии не возникли вопросы.
Конечно, при решении данного задания ученики могли просто не называть критические точки, ведь в условии этого не требуют. Но этот вопрос может возникнуть при решении заданий централизованного тестирования или ЕГЭ. Как тогда отвечать выпускнику, если вопрос будет звучать так: “Найти количество критических точек функции”? Ведь правильный ответ не допускает вариантов. И от того, как ответит выпускник, зависит количество баллов, которое он получит за это задание, а может быть, именно эти баллы и решат его судьбу при поступлении.
Так что же ответить будущим выпускникам?