Урок алгебры в 11-м классе: "Наибольшее и наименьшее ее значения функции"

 Структура урока

I этап: Организационный Учитель здоровается с учащимися, сообщает тему, цель урока

II этап: Подготовительный Диктант, задания читаются вслух, состоят из двух вариантов, работа выполняется в тетради. После выполнения задания ученики самостоятельно проверяют правильность выполнения заданий. На доске учащиеся выполняют задания: найти критические точки заданной функции; найти значение функции в заданной точке.

III этап: Изучение нового материала Изучить понятие наибольшего и наименьшего значений функции, составить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значений функции, рассмотреть примеры вычисления наибольшего и наименьшего значений функции.

IV этап: решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Vэтап: каждому учащемуся выдается задание, которое выполняется на отдельном листе.

VI этап: рекомендации для выполнения домашнего задания

VII этап: повторить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

ХОД УРОКА

I этап: Организационный

Учитель здоровается, сообщает тему урока, цель урока.

II этап: Подготовительный

Фронтальный опрос

1. Найдите производную функции:

а) sin x
б) tg х
в) х² + 2
г) х⁴
д)
е) е^х+2

Задание выдается каждому ученику (к доске выходят по желанию)

2. Найдите производную функции:

I в. а) 2х3 + х – 2 б) cos 2х в)

II в. а) х4 – 2х2 + 3 б) sin 2х в)

3.  Найдите критические точки функции:

f(x) = 2x – x2

f(x)=x2 + 2x

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

f(x) = 5х2 – 3х + 1

f(x) = х2 + 12х – 10

5. Вычислите f(0)

f(x) = х4 + х

f(x) = x5 – 2x

III этап: Новый материал

1. Русский математик XIX века Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Как известно такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x_o отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т.е. при x_o = а, или x_o= b. Если х_o (a; b) то точку x_o следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на (а; b):

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b,
4. среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. ((х_o) = f_нб = f_max , где нб – наибольшее, max – максимальное).

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или у бывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = Зx² + 4x³ + 1 на отрезке [– 2; 1].

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными
затратами, задача об организации производственного процесса, с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные
поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением
таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование

(Для самостоятельного изучения материала можно использовать мультимедийные средства)

2. Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции :

f(х) = 2х³ – 3х² – 36х [– 2; 1]

3. Задача. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м². Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

IV этап: Первичное закрепление материала

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(х) =2х³ + 3х² – 36х

а) [– 4; 3] б) [– 2; 1];
а) решает учитель;
б) решает ученик.

2. Самостоятельно (самопроверка)

f(х) = х⁴ – 8х² + 5 [– 3; 2]

3. Ученик выполняет на доске

f(х) = х + е^–2 [– 1; 2]

V этап: Выполнение самостоятельной работы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в. f (x) = x³ – 3x² + 3x + 2; [– 2; 2]

II в. y = 9x + 3x² – x³ на отрезке [– 2; 2]

VI этап: Домашнее задание:

1. y = 5 + x⁴ – 8x на отрезке [– 3 ; 2];
2. f (x) = 9 – 6x² – x³ на отрезке [– 4; 2];
3. y = 4 – 9х + 3x² + x³ на отрезке [– 2; 2].

VII этап: Итог урока