Когда учащиеся 10 класса приступают к изучению формул тригонометрии, их прежде всего отпугивает их количество. Заучивать их, не зная доказательства, довольно сложно, учить доказательства –трудоемко, да и нет надобности. Поэтому хочу предложить мнемонический подход к запоминанию тригонометрических формул. Изучение предлагаю начать с внимательного рассмотрения 4 формул сложения, помещенных на странице учебника:
COS(
-?)
=COSCOS? + SINSIN
COS(+) =CosCOS - SINSIN
SIN( –) = SINCOS - COSSIN
SIN( +) = SINCOS + COSSIN
После внимательного изучения можно сделать
следующий вывод: если слева стоит косинус, то
после знака « = » стоят произведения одноименных
функций: COSCOS и SINSIN,
кроме этого замечаем, что знак, стоящий в левой
части, противоположен знаку в правой части, т. е.
произошла смена знака. Если слева стоит SIN, то
после знака равно стоят произведения
разноименных функций: SINCOS и, проведя
аналогичные рассуждения относительно знака,
делаем вывод, что знак в левой и в правой части
одинаковый т. е. сохраняется. Итак, подведем итог
наших наблюдений.
1 - Косинус берет функции одноименные и знак меняет.
2 - Синус берет функции разноименные, знак не меняет.
После этих рассуждений и сделанных выводов предложить записать эти 4 формулы на доске (можно к доске пригласить 3,4 учеников) и в тетрадях. При такой подаче материала очень высокий коэффициент усвоения. И самое главное, что у учащихся пропадает неуверенность. У них возникает чувство успешности, уверенности и самое главное - это желание освоить и остальные формулы.
Изучение формул замены суммы и разности на произведение и формул замены произведения на сумму и разность нужно вести параллельно.
Записать все формулы и начать их анализировать, опираясь на выше приведенные мнемонические правила .
COS+COS = 2 COS ( – ) \ 2•COS ( + ) \ 2
COS – COS = - 2 SIN( + ) \ 2•SIN ( – ) \ 2
SIN + SIN = 2 SIN( + ) \ 2• COS ( – ) \ 2
SIN - SIN = 2 SIN( - ) \2• COS ( + ) \ 2
Если внимательно присмотреться, то замечаем,
что косинус «берет» функции одноименные и знак
меняет: COS+COS и COS ( – ) \ 2
COS ( + ) \ 2 ; COS
– COS и - 2 SIN( + ) \ 2• SIN ( – ) \ 2
причем, когда косинусы связаны знаком «+», т. е.
«положительно», «хорошо», то он (косинус) берет
своих « собратьев» -- 2 COS ( – ) \ 2•COS ( + ) \ 2, а когда косинусы связаны знаком
« -- », т.е. «отрицательно», «плохо», то косинус
берет функции одноименные, но не «собратьев»,
«подкрепляя» коэффициентом «-2».
Для синуса наше правило тоже сохраняется: он
(синус) берет функции разноименные и знак не
меняет: SIN + SIN = 2 SIN( + ) \ 2 и SIN - SIN = 2 SIN( - ) \2.
После таких рассуждений учащиеся вновь записывают и на доске и в тетрадях.
Для формул:
COSCOS = 0,5( COS ( – ) + COS ( +
) )
SINSIN == 0,5( COS ( – ) - COS ( +
) )
SINCOS =0,5( SIN ( – ) + COS ( +
) )
предложить учащимся самим применить рассмотренные мнемонические правила к этим формулам.