Дидактическая игра на уроках математики

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК – ДИДАКТИЧЕСКАЯ ИГРА
"ЗВЕЗДНЫЙ ЧАС"

"Обучение – это ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков". Д. Пойа

ЦЕЛИ:

• знать основные свойства показательной функции;
• уметь строить графики, определять функцию по графику, решать уравнения, применяя метод сведения к одинаковым основаниям, метод ведения новой переменной, графический метод;
• развитие вычислительных навыков, культуры общения.

ОБОРУДОВАНИЕ:

1. Наборы цифр 1; 2; 3; 4.
2. Кубики с буквами.
3. Карточки.
4. Графики функций.
5. Звезды.
6. Призы.
7. Плакаты.
8. Листки.

“Да путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!”

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Объявление темы, целей, правил игры. Участвуют 6 команд по 2 участника. Остальные – болельщики. По итогам каждого тура одна команда выбывает.

За правильный ответ - 5 б.

При ошибке - 4 (3) б.

Дополнительный ответ – звездочка.

Баллы подсчитывает ассистент.

2. ХОД ИГРЫ

I ТУР

Итоги: Выход одной команды

II ТУР

Итоги: Выход второй команды

III ТУР

КУБИКИ С БУКВАМИ

Из предложенных букв составьте слово по теме или какое-нибудь математическое слово. Если есть, то можно использовать звездочку.

ОТВЕТ: Функция.

ДРУГИЕ СЛОВА: Куб, цилиндр.

Слова писать на предложенных табличках.

Итоги: Выход третьей команды.

IV ТУР

№ п/п	ВОПРОСЫ И ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ	ОТВЕТЫ
1.	Какие строчки решенного примера надо переставить, чтобы записи были по порядку 72х-3 = 49. Записать на доске 1. х = 2,5 2. 2х – 3 = 2 3. 2х = 5 4. 72х – 3 = 49	1; 4
2.	Какие уравнения решаются введением новой переменной? Прорешайте их. Записать на доске 1. 4х – 3*2х – 4 = 0 2. 22х + 1 + 22х – 1 – 28 = 0 3. 32х + 1 – 9 = 0 4. 22х - 5*2х - 24 = 0 1) 4х – 3*2х – 4 = 0 22х – 3*2х – 4 = 0 2х = у; 22х = у у2 - 3у – 4 = 0 Д = 25 = 52 4) 22х – 5*2х – 24 = 0 2х = у 22х = у2 у2 - 5у – 24 = 0 Д = 25 + 4*24 = 121 = 112	1; 4   1. x = 2 4. x = 3
3.	Какие примеры имеют ответ х = 1? Записать на доске. 1. 34х + 7 = 27 2. 52х – 1 = 5 3. 0,3х2 - 1 = 1 1) 34х + 7 = 27   34х + 7 = 33 4х + 7 = 3 4х = -4 х = -1 2) 52х – 1 = 5 2х – 1 = 1 2х = 2 х = 1 3) х2 – 1 = 0 х2 = 1 х = 1 4) -2х + 5 = 3 -2х = -2 х = 1	2; 4

Итоги: Выход четвертой команды.

V ТУР

Составьте наибольшее количество слов и букв, образующих слово за 1 минуту.

Итоги: награждение победителя, запись домашнего задания.

Урок – пресс-конференция

Нет ни одной области математики,
которая когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
Н.И. Лобачевский

Цели:

• систематизирование и обобщение знаний по теме: "Производная и ее применение";
• раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы в исследовании процессов современного производства;
• формирование познавательной активности, умение рационально работать. Развитие культуры математической речи.

Оборудование: графопроектор, экран, цветной мел, карточки-задания, таблички с указанием названий газет и журналов, чертежные принадлежности, изображение трех групп формул.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащиеся занимают свои места в исследовательских группах. Рассаживаются корреспонденты периодических изданий, у каждого табличка – какое издание представляет.

2. Разминка

Слово преподавателя. Сегодня вы – сотрудники научно-исследовательского института, участники пресс-конференции. У нас присутствуют корреспонденты различных изданий, желающие получить ответы на интересующие их вопросы. Для начала давайте ознакомим гостей с проблемой, над какой мы работаем. Предлагаю вам такое задание.

Имеются три ящика и функции. Надо установить соответствие между ящиками и функциями. Работая в малых подгруппах, из предложенных функций выберите только те, для которых производная находится только по предложенному правилу, и найдите ее.

Ответы:

1 ящик – 1), 2), 4), 5), 10).

2 ящик – 3), 7), 9).

3 ящик – 4), 6), 8).

3. Интервью с корреспондентами

А. Корреспондент журнала "Наука и Жизнь"

По просьбе читателей в рубрике "Наш толковый словарь" мы должны дать математическое значение слова "производная, ее геометрический смысл". Помогите нам в этом вопросе.

Ответ:

Производной функции F в точке x₀ называется предел отношения изменения функции f к изменению аргумента х при изменении аргумента х, стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно условному коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Для того, чтобы задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим рисунок № 1.

Угловой коэффициент секущей определяется так:

k = tg a =

Угловой коэффициент прямой y = kх + b равен тангенсу угла , который эта прямая образует с осью абсцисс. При х, стремящемся к 0, угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной f`(x₀), поэтому говорят, что касательная – есть предельное положение секущей.

Имея в виду геометрическое определение касательной к графику функции f, дифференцируемой в точке х_0, называется прямая, проходящая через точку (х₀; f (x₀)) и имеющая угловой коэффициент F`(x<sub>0</sub>) мы получим, что существование производной функции f в точке х<sub>0</sub> эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х<sub>0</sub>; f (x<sub>0</sub>)), причем угловой коэффициент касательной равен f`(x₀).

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной позволяет дать наглядную иллюстрацию многих фактов.

Например: касательная к параболе у = х² в точке х₀ пересекает ось 0_х в точке х₀/2 .

Рассмотрим рисунок № 2

Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе у = х². Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F.

Фокусом F является точка, в которую можно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы.

Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси 0у, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, что и прямая АВ.

Б. Корреспондент журнала "Квант"

Вы изучаете производную. Объясните ее механический смысл. В редакцию нашего журнала прошло письмо учащегося ГОУ ПУ № 8 г. Свободный, в котором он предлагает задачу: "Количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой g (t) = t + 4 / t. В какой момент времени t сила тока в цепи равна 0"? Помогите разобраться в задаче.

Ответ:

Производная – это скорость. С движением связаны две величины – путь S, скорость v, которые являются функциями времени:

S = S (t); v = v (t);

Ясно, что S и v связаны между собой. Исаак Ньютон в конце XVII века открыл общий способ вычисления скорости по заданному пути. С помощью этого способа можно для каждой функции S построить новую функцию v. Эту функцию называют производной функции S, а сам переход от S к v – дифференцированием. v (t) = S` (t).

Открытие Ньютона показало, что количественные характеристики самых различных процессов, исследуемых в физике, химии, биологии, в технических дисциплинах, и выраженные на языке математического анализа, самая простая модель механического движения, и самый короткий ответ, что Производная – это скорость.

Сила тока I – это производная от заряда g (t)

Если g (t) = t+ 4/t

I (t) = g` (t) = (t + 4/t )` = 1 – 4/t²

I (t) = 0 при 1 – 4/t²= 0

(t² - 4) / t² = 0

Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)

Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).

Производная – это скорость роста функции.

1. Мощность – это производная работы по времени P = A` (t).
2. Сила тока – производная от заряда по времени I = g` (t).
3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A` (x).
4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q` (t).
5. Давление – производная силы по площади P = F` (S)
6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l_окр=S'_кр(R).
7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
8. А успехи в учебе? Когда вырастают знания.

В. Корреспондент журнала “Техника молодежи”

Молодые инженеры-конструкторы работают над созданием моделей с новыми скоростями. Они предложили на суд читателей задачу.

“Два тела движутся прямолинейно по законам:

S₁ (t) = 2,5t² – 6t + l
S₂ (t) = 0,5t² +2t –3

В какой момент времени скорости тел будут равны?

Как бы вы ответили на этот вопрос?” Помогите читателям.

Ответ:

v (t) = S' (t)
v₁ (t) = v₂ (t)
v₁ (t) = S₁' (t) = (2,5 t² – 6t + 1)' = 5t – 6
v₂ (t) = S₂'(t) = (0,5 t² + 2t – 3)' = t + 2

Значит:

5t – 6 = t + 2
5t – t = 2 + 6
4t = 8
t = 2

При t = 2 (с) скорости тел будут равны.

Г. Корреспондент газеты “Свободненский вестник”

К нам обратился читатель с таким вопросом.

Над центром круглой площади надо подвесить фонарь. При какой высоте подвески (столба) на краях площадки получится наибольшая освещенность?

Ответ:

Из физики известно, что освещенность Е в точке А выражается формулой

Е = k, где
k – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.
l – расстояние от фонаря до точки А.
– угол, получаемый между прямой l и плоскостью площадки.

По определению косинуса угла cos = r/l, где r – противолежащий катет, l – гипотенуза.

Выразим: l = r/cos²; J² = r²/cos².

Подставим 1² в формулу

Исследуем функцию на экстремумы на отрезке [0; ]

Е' = (sin cos²)' = (cos cos² + sin(-2cos sin))

Е' = (cos³ – 2sin² cos)

Решая уравнение: Е' = 0

cos (cos² – 2sin² ) = 0

cos = 0 cos² – 2sin² = 0 (:cos² )

= 0°, 

1 – 2tg² = 0

2tg² = 0

tg²  = 1/2

tg =

Так как при = 0 и = Е будет равна 0, а при 0< ₀ <   Е будет > 0. Ясно, что ₀ отвечает наибольшей освещенности (Е_наиб). Требуемая высота столба вычисляется по формуле h = r*tg₀ = r* 0.7r

Ответ: высота h столба 0,7r площадки.

4. Подведение итогов урока, задание на дом

Подошла к концу наша пресс-конференция. Будем надеяться, что корреспонденты получили исчерпывающие ответы и довольны результатами работы. Называю сотрудников, которые справились с заданием:

а) итоги самостоятельной работы
б) оценка ответов

Конечно же, научный совет поручает вам решить задачу: "Тело движется по закону S(t) = 6t² – t³. определите наибольшую скорость тела (исследуйте на экстремум)".

Спасибо всем за работу!