Всегда ли нужно уравнение?

Разделы: Математика

Всегда ли нужно уравнение?

Начиная решать задачи, учащиеся сталкиваются с определёнными трудностями. Это и запись известных данных, и установление зависимости между компонентами, и сам ход решения. Наша цель - научить ребят решать задачи, причём рациональным способом, чтобы они могли сами поставить вопросы и на них нашли ответ, умели выстроить логически верные рассуждения.

Если рассматривать решение текстовых задач, то мы выделяем два способа: алгебраический и арифметический. Упор делаем в основном на алгебраический и очень мало уделяем внимание арифметическому способу. А именно задачи, решаемые арифметическим способом, заставляют продумывать каждый шаг, пояснять смысл того или иного действия. Именно задачи, решаемые по действиям, являются тем рычажком, который развивает у учащихся логическое мышление, способствует установлению причинно-следственных связей, отвечая на вопросы: зачем нам это? Что мы можем узнать, зная что-то?

Рассмотрим решение таких задач на примере задач на части, решаемых в 5 классах.

Задача 1. Для приготовления сухой компотной смеси берут 1 часть яблок и 2 части груш, всего15 кг. Cколько килограммов яблок и груш по отдельности использовали для приготовления смеси?

* Яблок - 1 часть- ? кг         х кг
   Груш - 2 части - ? кг          2х кг

Составляем уравнение:

х+2х=15
3х=15
х=5 (кг.) яблок
2*5=10 (кг.) груш

* А, теперь решим эту же задачу арифметическим способом, предварительно поставив вопросы, которые помогут нам это сделать.

  1. Сколько всего частей?
  2. Сколько килограммов приходится на эти части?
  3. Сколько килограммов в одной части?
  4. Можем узнать, сколько килограммов яблок и груш использовали?

Отвечаем на поставленные вопросы:

1) 1+2=3 (части) - всего это 15 кг.
2) 15: 3=5 (кг) 1 часть - яблоки.
3) 5*2= 10 (кг) 2 части - груши.

Ответ: 5 кг яблок, 10 кг груш.

Задача 2. Для приготовления моющего средства берут 3 части песка, 1 часть стирального порошка и 1 часть белизны. Сколько граммов моющего средства получится, если песка взять на 400 граммов больше, чем стирального порошка?

* Песок – 3 части - ? гр на 400 гр больше, чем         3 х
Стиральный порошок – 1 часть - ? гр                         х
Белизна – 1 часть - ? гр                                        

Составляем уравнение:

3х-х=400
2х=400
х=200(гр.) стирального порошка.

1) 200*3=600 (гр.) – песок

2) 200+200+600=1000(гр.) – моющего средства.

* Вновь решим задачу арифметическим способом. Итак, вопросы:

  1. На сколько частей песка больше, чем стирального порошка?
  2. Сколько граммов приходится на эти части?
  3. Сколько граммов в одной части?
  4. Сколько всего частей?
  5. Сколько всего граммов?

Отвечаем на поставленные вопросы.

1) 3-1=2 (части) песка больше, чем стирального порошка – 400 гр.
2) 400:2=200 (гр.) в 1 части
3) 3+1+1=5 (частей) всего
4) 5*200=1000 (гр.) моющего средства.

Ответ: 1000гр. Моющего средства.

Сравнивая на уроках с ребятами эти способы решения, приходим к выводу, что “удобнее” решать арифметическим способом. Но это не относится к учащимся, у которых есть затруднения по математике, так как им более удобен и доступен алгебраический способ. Ещё раз напомню, что мы, учителя, призваны развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, математическое мышление и интуицию, давать творческий рост способностям учащихся.

Хочется отметить, что большинство задач, решаемых в 5-7 классах, можно свести к задачам на части и, соответственно, решаемых арифметическим способом.

Задача 3. Вася и Петя вышли на встречу друг другу, причем Вася шёл в 3 раза быстрее Пети. Весь путь 2км. Сколько метров прошел каждый?

Вася - ? м в 3 раза меньше, чем         |          1 часть
Петя - ? м                                             |          3 части

____________________________
                     2 км

Алгебраический способ рассматривать не будем, так как он понятен. Рассмотрим решение данной задачи арифметическим способом, сводящимся к задачам на части. Вопросы, на которые нам предстоит ответить в ходе решения:

  1. Сколько всего частей?
  2. Сколько метров на них приходится?
  3. Сколько в одной части?
  4. Какой путь каждого?

Выполним соответствующие действия.

  1. 3+1=4 (части) – на весь путь 2 км=2000 м
  2. 2000:4=500 (м) – 1 часть - Петя
  3. 500*3=1500 (м) прошёл Вася

Ответ: Вася-1500 м, Петя-500 м.

Задача 4. Площадь одного поля на 63 га меньше площади другого. Какова площадь каждого поля, если их общая площадь 249 га?

1поле – га, на 63 га меньше, чем          1 часть
2 поле - ? га                                            1 часть + 63 га

Кажется, что эту задачу нельзя свести к ранее решаемым, но давайте попробуем. Что мы можем сделать? Мы можем приравнять либо первое поле ко второму, либо второе поле к первому. Что нам мешает? 63 га. В зависимости от пути решения мы их будем вычитать или прибавлять.

1 путь решения. Приравняем второе поле к первому.

  1. 249-63=186 (га) - 2 поле = 1 поле
  2. 1+1=2 (части) 2 поле – 186 га
  3. 186:2=93 (га) 1 часть = 1 поле
  4. 93+63=156 (га) – 2 поле.

2 путь решения. Приравняем первое поле ко второму.

  1. 249+63=312 (га) 1 поле = 2 полю
  2. 1+1=2 (части) 2 поля – 312 га.
  3. 312: 2=156 (га) – 1 часть – 2 поле
  4. 156-63=93 (га) 1 поле.

Ответ: 1 поле – 93 га, 2 поле – 156 га.

Разобраны простые задачи, решаемые арифметическим способом, но каждый учитель, которого заинтересует данный вопрос, может и сам рассмотреть и более сложные. Желательно рассматривать решение задач в школьном курсе обоими способами. Для этого можно использовать как индивидуальные часы, так и кружки, а также скорректировав программу.