Урок алгебры в 8-м классе. Тема: "Формулы корней квадратных уравнений"

Разделы: Математика, Общепедагогические технологии

ЦЕЛИ УРОКА:

Образовательная:
вывод и обоснование формулы корней квадратных уравнений и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений.

Воспитательная:
воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Развивающая:
развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

ЗАДАЧИ УРОКА:

  • Подвести учащихся к самостоятельному выводу формулы корней квадратного уравнения на основе имеющихся данных.
  • Осуществлять формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения неполных квадратных уравнений.
  • Использовать простые логические рассуждения для возможной постановки более сложных заданий и их решения.

МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Учить детей успешно переносить известные приемы рассуждений в нестандартные ситуации с целью развития логических приемов мышления, запоминания, умения решать проблемные ситуации.

ОБОРУДОВАНИЕ.

  • Тесты на усвоение новых понятий и терминов и нахождения корней уравнений разного вида.
  • Таблица способов решения квадратных уравнений.
  • Схема-структура определения числа корней квадратных уравнений.
  • Таблица “Алгоритм решения квадратных уравнений с помощью формулы”

СТРУКТУРА УРОКА.

1. Постановка цели урока.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и проверкой умений решать неполные квадратные уравнения №778 - №782 и графически и аналитический способы решения полных квадратных уравнений №786(а, б)

3. Ознакомление с новым материалом:

а) Создание проблемной ситуации выяснения числа корней и заполнения таблицы классификации квадратных уравнений по их виду (уравнения написаны на доске);

б) анализ полученных результатов, подсказка стр. 113 § 19 учебника;

в) фронтальная проверка и вывод;

г) используя изученный ранее §13 стр. 71, вывести формулу для решения квадратных уравнений;

д) анализ полученной формулы, исследование корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта и занесения результатов в таблицу;

е) запись алгоритма решения квадратного уравнения с помощью формулы и решение уравнений таблицы 2;

ж) для более подготовленных учащихся вывод формулы, когда в = 2k, остальные решают домашние уравнения №786 (а,б) с помощью формулы, делается вывод о выборе способа решения квадратных уравнений рационально;

з) знакомство с историей возникновения формулы корней квадратных уравнений.

4. Первичное осмысление и заучивание формулы корней квадратного уравнения

а) Нахождение дискриминанта (тестовое задание), результаты записать в таблицу, сделать выводы о числе корней.

б) Заполнить 2 теста на понятие квадратного уравнения, его корней, формулу квадратного уравнения.

в) Закрепление новых понятий через ответы на вопросы (использовать §19 стр.113 и §20 стр. 120-121).

г) Отработка умений решения квадратных уравнений, записанных на доске (аналогичные примеры в учебнике §20 примеры 1-4), для сильных ребят рассмотреть примеры §20 и решить подобные из №809-812, дополнительно примеры 5-8 и аналогично решить №833-835(г).

5. Постановка домашнего задания §20 изучить, №805, 806, 808, 809, 810, 811, 812 (по аналогии из учебника решить под буквой а) ), дополнительное задание № 817а), 818а)

Найти из № 808 – 816 уравнения на использование различных способов решения и дополнительное задание №819г), 821, 838.

6. Подведение итогов урока изучением таблицы (Это вижу, так решаю), повторение мнемонических правил запоминания принципа решения уравнений; оценка результатов работы на уроке.

7. Резервные задания: № 817, 818, 819, 836, 837а).

ХОД УРОКА

1. Постановка цели урока.

а) Проверить готовность класса к уроку, наличие текстов, цветных ручек или карандашей (фломастеров), черновиков, учебников и задачников.

б) Отметить, что решение квадратных уравнений мы продолжаем и на уроке найдем новые способы для решения любых квадратных уравнений, а для этого выведем формулу для запоминания, по которой определим алгоритм решения квадратных уравнений.

в) Проверить выполнение решения квадратных уравнений №786 (а и б), записанных на доске во время перемены более подготовленными двумя учениками.

2. Подготовка к изучению нового материала.

На доске двумя учениками записаны решения квадратных уравнений №786 (а и б), которые были заданы на дом, №786 (а) – графический способ, №786 (б) – аналитический. На перемене один ученик на доске записывает решения неполных квадратных уравнений в общем виде
ах2=0 х=0

ах2+bх=0

х(ах+b)=0 х1=0 и х2= - b/a

ах2+с=0 х1= - х2= +

По вариантам класс выполняет задания (уравнения записаны на доске). Не решая уравнения, найдите корни, если они имеются

Вариант 1

  1. (х-3) (х+8) = 0
  2. х(х+0,2) = 0
  3. х2 – 5х = 0
  4. 4х2 – 1 = 0
  5. 3,4 х2
  6. 3 х2 + 16 = 0
  7. (4х – 9)2 = 0

Вариант 2

  1. (х-2)(х+7) = 0
  2. (х – 2,3)х = 0
  3. 9х2 – 4 = 0
  4. 0,06 х2 = 0
  5. х2 – 7х = 0
  6. 25 + 2х2 = 0
  7. (2х – 3)2 = 0

(Для слабых ребят подсказка на стр. 114 §19 учебника)

Затем, по окончании работы, ребята обмениваются тетрадями и проверяют ответы по записям на доске.

Вариант 1

  1. 3 и -8
  2. 0 и -0,2
  3. 0 и 5
  4. ±
  5. 0
  6. нет корней

Вариант 2

  1. 2 и -7
  2. 2,3 и 0
  3. ±
  4. 0
  5. 0 и 7
  6. нет корней

Оценка “5” - за все верно выполненные задания.

Оценка “4” - если 1 задание неверно.

Оценка “3” - если 2 задание неверно.

Оценка “2” - если более 2-ух заданий неверно.

Это задание, аналогично домашнему заданию №№ 778 – 782, дано с целью овладеть учащимися умением решать неполные квадратные уравнения.

Ребята в парах выставляют оценки за работу на полях тетради. Ученик у доски делает вывод о числе корней неполных квадратных уравнений.

Вопрос:

А можно ли сказать то же самое о числе корней неполных квадратных уравнений и почему?

Разбирается задание № 786 учениками у доски и выясняется, что графическим методом можно определить число корней по точкам пересечения:

1) параболы у=ах2+bх+с с осью х, для этого находим вершину х0= -

у0 – подстановкой в уравнение.

2) параболы у=ах2 и прямой у = - bх – с

3) гиперболы у= и прямой у= - ах – b

Аналитический метод, который представлен способом разложения на множители квадратного трехчлена и выделением полного квадрата.

Выясняем с учащимися недостатки этих способов (не всегда можно в тетради построить график для любой квадратичной функции, графический способ разложения не всегда возможен, например х2 + х – 3 =0 и трудно выделить квадрат двучлена с дробными коэффициентами.)

Вывод – таблица 1.

Число корней ах2 + bх + с = 0, а
Графически Аналитически
Один

 
Два

 
Не имеет корней

 

Отвечающим у доски поставлены оценки за ответы.

3. Ознакомление с новым материалом.

Возникает проблемная ситуация, т. е. появляется необходимость в отыскании алгоритма решения квадратных уравнений, не зависящий от рассмотренных выше методов решения.

Вопрос:

А какие квадратные уравнения вы знаете? (Приведенные и неприведенные, полные и неполные). Что значит решить уравнение? (Найти корни его или выяснить их отсутствие).

Что такое корень квадратного уравнения? (Это значение переменной, при котором квадратный трехчлен равен нулю.)

Попытаемся на уроке установить аналитическим методом число корней квадратного уравнения, а лучше, как их найти.

Сначала необходимо выяснить, а является ли данное уравнение квадратным.

Например: mx2 + (m-1)x + 2m = 0 ( m0 )

5x2 + nx – 3 = 0. является a = 5

Задание классу: Заполните таблицу, уравнения записаны на доске.

1. 3х2 – х = 0   ccccc 2. х2 – 2х + 3 = 0
3. х2 – 25 = 0   4. 7х2 – 5х + 6 = 0
5. 2х2 + х – 3 = 0   6. х2 – 2х – 2 = 0
7. 5х2 = 0 8.   9х2 – 12х + 4 = 0
9. х2 + 4х + 1 = 0   10. – 3х2 – 2х + 5 = 0

Таблица 2.

Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0, а =/0

Приведенное, если а = 1

Неприведенное , если а1

Полное в 0, с 0

 Неполное в=0 или с=0 Полное в0, с0 Неполное в=0 или с=0
2. х2 – 2х + 3 = 0

6. х2 – 2х 2 = 0

9. х2 + 4х + 1 = 0

 3. х2 – 25 = 0 4. 7х2 – 5х + 6 =0

5. 2х2 + х – 3 = 0

8. 9х2 – 12х + 4 = 0

10. – 3х2 – 2х + 5 = 0

1. 3х2 – х = 0

7. 5х2 = 0

Можно менее подготовленным ребятам пользоваться подсказкой §19 страница 113 учебника.

Вопросы классу:

Какие из этих уравнений вы смогли бы решить и как?

А какой способ бы для решения остальных уравнений? (Затруднение с выбором метода решения) А можно ли с помощью выделения полного квадрата попытаться все-таки решить квадратное уравнение в общем виде ах2 + вх + с = 0.

Можно воспользоваться подсказкой ранее изученного §13 стр. 71 учебника.

а(x2 + b/a *x + c/a ) = 0

a(( x2 + 2x*b/2a + (b/2a)2) – (b/2a)2 + c/a) = 0

a((x + b/2a)2 – b2/4a2 + c/a) =0

a((x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/4a2) = 0

a(x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/ 4a = 0

Далее объяснение продолжаю я:

а(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a; b2 – 4ac = D

Объясните по тексту учебника §20.

а(x + b/2a)2 = D/4a; (x + b/2a)2 = D/4a2;

Вопросы классу:

Когда можно решить данное уравнение?

Выясняем, что если

D = 0, то один корень х + b/2а = 0.

х = - b/2а.

Возвращаясь к домашнему заданию, выясняем, что по такой же формуле находится вершина параболы.

D<0 нет корней

D>0 два корня, находим их.

х = (- b ± D)/2а;

Дополним таблицу 1.( D=0, D>0, D<0)

Алгоритм решения оформим в виде таблицы:

ax2 +bx + c = 0
  1. a = 0, b = …, c = …
  2. D = b2 – 4ac
  3. x = (-b+-D)/2a

или

Из таблицы 2 выбрать уравнения, которые не знали, как решить и объяснить его решение у доски и в тетрадях

4.7х2 – 5х + 6 = 0

1. а = 7, в= -5, с=6

2. D=(-5)2 – 4*7*6 = 25 -4*6*7<0

Ответ : корней нет.

4.2х2 + х – 3 = 0.

а=2, в = 1 , с=-3

D = (1)2 – 4*2*(-3) = 1+24 = 25 >0

X1 = -1 - 25 2*2 = -1-5 4 = -6 4= -3 2 = -1,5.

X2 = -1+5 4 = 1.

Ответ: -1,5;1.

Сильным учащимся можно предложить вывод формулы при в=2к, оформить запись на доске. Сделать вывод: если b-четное, то к = b/2, (**)

Но особое внимание на этой формуле пока можно не заострять, только желающие могут ею пока воспользоваться, позднее мы ее будем использовать уже с пониманием.

Вывод по решению уравнений из таблицы 2.

1. Там где неполное квадратное уравнение, то решать по изученным формулам ранее проще.
2. Где можно использовать формулу квадрату двучлена, лучше ею воспользоваться.
3. Применить формулу * или **.
4.Обратить внимание на уравнение а+в+с=0, установить связь с корнями.

Домашнее задание №786 решить по формуле **.

Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

“Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений

(x/8)2 + 12 = x

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид, о котором мы с вами говорим сегодня на уроке.

4. Первичное осмысление и закрепление изученного.

На доске записаны уравнения:

1. 3х2-8х+5=0
2. 36х2-12х+1=0
3. 3х2-3х+4=0
4. Х2+6х+9=0

Задание: найдите дискриминант и заполните таблицу

      1 2 3 4
    Д=0 c + c +
    Д>0 + c c c
    Д<0   c + c
    2 корня +      
    1 корень   +   +
    Нет корней     +  
    Полный квадрат   +   +
    в-четное + +   +
    а+в+с=0 +      

Выработка внимания, умения выделить существенное.

Предлагается следующий тест на понятие квадратного уравнения и его решения.

Тест №1

I вариант:

1. Уравнение вида ах2+bх+с=0 называется квадратным, если …

2. Сколько корней имеет уравнение х2=а, где а>0?

3. Уравнение рх2+кх+l=0 не является квадратным, если …

4. Выражение в2-4аc называется …

5. Корни квадратного уравнения вычисляют по формуле

6. Если в четное, то корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0 вычисляют по формуле …

7. Сколько корней имеет уравнение х2=х?

8. При каких значениях m уравнение х2+mх - 9=0 является неполным квадратным уравнением?

II вариант:

1. Если а0, то уравнение вида ах2+вх+с=0 называется …

2. Сколько корней имеет уравнение х2=а, где а<0?

3 Уравнение мх2+рх+к=0 не является квадратным, если …

4. Дискриминантом Д называется выражение вида …

5. Корни квадратного уравнения вычисляют по формуле

х1=

х2=

6. Если в=2к, то корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0 вычисляют по формуле …

7. Сколько корней имеет уравнение 3х2+8=0?

8. При каких значениях m уравнение (m-3)х2+7х-5=0 не является квадратным уравнением?

Тест №2

Укажите правильный ответ, не решая уравнения:

I вариант:

1) x2-1=0

а) 1; б) -1; в) -1;1; г) Нет корней

2) (х-1)2=0

а) -1;1; б) Нет корней; в) -1; г) 1

3) (х-2)2+4=0

а) -4; б) 2; в) Нет корней; г) 4

4) х+2=0

а) 2; б) -2; в) -2;2; г) Нет корней

5) х2+5=0

а) -5; б) -5;5; в) 5; г) Нет корней

6) /-2х/+0,6=0

а) 0,3; б) -0,3; в) Нет корней; г) ± 0,3

II вариант:

1) х2+3=0

а)-3; б)-3 и 3; в) Нет корней г)3

2) (х-2)2+9=0

а) 2; б) -9; в) 5; г) Нет корней

3) х+4=0

а) Нет корней; б) 4 и -4; в) -4; г) 4

4) х2 -2=0

а) 2; б) - и ; в) ; г) нет корней

5) (х-7)2=0

а) 7 и -7; б) -7; в) Нет корней; г)7

6) /-3x/+9=0

а) 0,3; б) -0,3; в) Нет корней; г) -0,3 и 3

Правильные ответы:

1 2 3 4 5 6

в) г) в) б) г) в)

“5” - все решено верно

“4” - одна ошибка

“3” - две ошибки

“2” - более двух ошибок

Тест №1 проверить в парах по учебнику §19, §20. Выставить оценки на полях. Во всех заданиях зачеркивания не допускаются.

Тест №3 на усвоение новых понятий:

1. Различитель квадратных уравнений по числу корней. (Дискриминант).

2. Значение переменной, которое обращает квадратный трехчлен в нуль. (Корень)

3. Квадратное уравнение, в котором старший член равен 1. (Приведенное)

4. Квадратное уравнение, в котором свободный член равен 0. (Неполное)

5. Число, которое стоит впереди переменной. (Коэффициент)

Вычеркнуть из таблицы разными цветами буквы каждого слова.

Карточки с буквами у ребят на партах, вопросы диктую всему классу.

Это задание позволяет каждому ученику понять смысл данного понятия, проговаривается при зачеркивании букв каждое слово и запоминается его произношение, концентрируется внимание на смысле данного понятия.

Решают уравнения, записанные на доске, с использованием учебника по аналогии параграфа 20.

Сильные ребята находят из задачника №№ 809-812 примеры аналогичные тем, что разобраны в учебнике параграф 20 и решают их. Дополнительно можно решить № 833-835(г) аналогично примерам 5-8 из учебника.

5. Постановка домашнего задания.

Изучить параграф 20, рассмотреть решения примеров из учебника, записать их в тетрадь и решить аналогичные №№ 805, 806, 808, 809, 810, 811, 812 под буквой “а”).

Более подготовленным ребятам самим найти примеры из задачника параграф 20, аналогичные примерам 1-8 из учебника, записать их и решить. Дополнительно по желанию № 819(г), № 821, №838.

6. Подведение итогов урока.

Записать вывод в виде таблицы:

При решении уравнений можно использовать следующие мнемонические правила:

Квадрат двучлен, без сомнения, равен сумме квадратов его одночленов и их удвоенного произведения

Разность квадратов, помни всегда, произведению суммы на разность равна.

3) Приемы запомни ты для души,
Уравнение трудное тоже реши:
Общий множитель вынеси за скобки
Используй также способ группировки,
Знай формулы сокращенного умножения
Владей навыками многочлена разложения.

4) Уравнение сможешь ты быстро решить:

а) Увидишь сумму – произведением заменить.

б) А произведение видишь, то не зевай,
Скорее суммой его заменяй!
Увидел квадрат – степень понизь,
Ну хоть за что-нибудь зацепись!
А если многочлены высших степеней,
Теорему Безу применяй поскорей:
Корень один ты устно найди
И на множитель с ним многочлен подели.

Примеры:

а) 2x2-5x=0
x(2x-5)=0

б) (x+4)(3-2x)=12-7(x+5)
3x-2x2+12-8x=12-7x-35

в) x3+9x-10 x=1

Первые три правила ребята знают с 7 класса при изучении формул сокращенного умножения и решения уравнений.

Четвертое правило можно дать и на этом уроке или на последующих при закреплении квадратных уравнений, а затем эта же формулировка подойдет в старших классах при решении тригонометрических уравнений.

Сделав вывод по уроку, собираю тетради и по поставленным на полях оценкам вывожу общую и ставлю в журнал, проверяю и решенные уравнения.

7. Резервные задания:

№№ 817, 818, 819, 836, 837а).

Можно с пояснением у доски и в тетрадях.

При работе пользуюсь учебником и задачником 8 класса под редакцией А. Г. Мордковича 2001 г.