Решение практических задач и линейная функция

Уважаемые коллеги! Я предлагаю вашему вниманию проект открытого урока в 7 классе по теме “Решение практических задач и линейная функция”. Этот урок, являясь одним из последних уроков в изучаемой теме, должен выполнить задачи повторения и обобщения, закрепления и систематизации.

Этот урок актуален по нескольким причинам:

а) содержательный аспект: значимость содержания, его проблематичность максимально приближают учащихся в изучении данной темы к жизненным ситуациям, показывают насколько часто применяется в жизни и науках данная тема.

б) Именно это содержание позволяет реализовать комплекс педагогических целей (обучения, развития, воспитания) и продемонстрировать ход и результаты этой реализации.

- задачами обучения на данном уроке будут формирование твердых учебных навыков построения и чтения графиков линейных функций, нахождения значений одной переменной по заданному значению другой, усвоение всеми учащимися стандартного минимума фактических знаний по данной теме; формирование новых надпредметных умений, а упражнение в применении и совершенствовании уже знакомых школьникам надпредметных умений таких как обобщение путем сравнения, постановка проблемы, сопоставление различных явлений, определения сходства и нахождение прочих различий.

- задачи развития: развитие способности к абстрагированию, выдвижению гипотез, развитие вербальной и образной памяти, творческого воображения, ясности, правильности речи.

- задачи воспитания: формирование эмоционально-личностного отношения учащихся к выражению математических понятий; формирование целостного восприятия общей картины мира.

в) Адекватность урока возрастным особенностям школьников, построение системы учебных мотивов.

г) Учет индивидуальных особенностей учащихся класса / различий по доминанте функциональной асимметрии полушарий головного мозга, каналам восприятия; темпераменту во владении надпредметными способами учебной деятельности.

Т.в. на уроке создается такая среда, которая будет регулировать критическое мышление, усиливать развитие умений слушать и прислушиваться к мнению других, вести конструктивный диалог, ценить мнение другого, менять свое мнение, если оно ошибочно, не конфликтовать, приходить к согласию в интересах общего дела.

Содержание учебного материала, формулирование надпредметных способов учебной деятельности, обучение навыкам диалогового мышления обеспечивают достижение конечного результата урока – развитие эрудиции, коммуникативной культуры и толератного поведения учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Повторение (актуализация базовых знаний)

а) Вопросы к учащимся:
1) Сформулировать определение функции.
2) Сформулировать определение линейной функции.
3) Какая зависимость называется прямой пропорциональностью?
4) Является ли прямая пропорциональность линейной функцией?
5) Каким образом можно задать линейную функцию?
(Дети называют в основном три способа задания линейной функции: 1 – формулой; 2 – таблицей; 3 – графиком).
б) Учащимся предлагаются следующие задания:

I.  Из ряда формул выбрать те, которые задают линейную функцию и прямую пропорциональность. Результат работы оформить следующим образом:

Задание выполняется учащимися на местах; двое учащихся выполняют это задание у доски; подчеркивают в таблице функцию, которая будет прямой пропорциональностью. Класс сверяет выполненное задание с доской, ставя + карандашом на полях.

Список формул: y² - 6x - 10; y = - x; y = x²; y = x² + 4; y = x (x + 12); y = x² + 4; y = 8; y = 2/3x;

y = 3/5x -1/3; y = 1,7x; y = 5x/7; y = 14 - x; y = 6/x; y = 12x/3 + 4.

II. Используя таблицу зависимости двух величин подобрать формулу зависимости.

Это задание выполняется по рядам (каждому ряду предлагается своя таблица) результаты своей работы учащиеся поясняют, упоминая при этом, получилась у них линейная функция или нет.

I ряд

II ряд

III ряд

III. Ответьте на вопрос, какие из построенных графиков являются графиками линейной функции, сколько точек достаточно для того, чтобы построить график линейной функции и почему?

Рисунок 1

3. Отработка материала

Учитель:

Линейная функциональная зависимость часто используется в жизни для описания различных процессов во многих науках. Сегодня мы с вами будем рассматривать случаи применения такой зависимости в физике, биологии и медицине.

Класс делится на 6 групп

1 2 3	средние и слабые учащиеся	группа физиков
		группа биологов
		группа медиков
4 5 6	сильные учащиеся	группа физиков
		группа биологов
		группа медиков

Задания:

Для группы 1:

Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле:

v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура (в ^oC). Найдите с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой -35 ^oC и в летний день с температурой +30 ^oC.

Для группы 2:

Численность зубров в заповеднике может быть найдена по формуле:

y = 50 +3t, где y - количество особей, а t - время (в годах). Найдите сколько особей будет в данном заповеднике через 3 года. Через сколько лет в этом заповеднике особей будет 65 штук?

Для группы 3:

Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Через сколько дней длина волос у мальчика достигнет 5 см, если считать, что их первоначальная длина была 3 см. Какой будет длина волос у этого мальчика через пять дней (формула l = 30 +0,4t, где l - длина в миллиметрах, t - количество дней.

Для группы 4:

Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем двигался равномерно, продолжая движение в том же направлении со скоростью 4 км/ч, шел пешком.

а) Записать формулу линейной зависимости проделанного пути от города S (в км) от времени движения туриста t (в часах).

(ответ: S = 10 + 4t)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1	t	0,5		Таблица 3	t	1,5
	S		20		S		12
Таблица 2	t	0,8		Таблица 4	t	1,2
	S		15		S		18

Для группы 5:

Перед тем как высадить растения в теплицу необходимо довести t воздуха в ней до 25 ^oC

а) Записать формулу, выражающую изменение температуры T ^oC в теплице в зависимости от времени t (в минутах) от нагревания, если при нагревании воздуха в теплице каждую минуту температура повышалась на 1,5 ^oC, а первоначальная температура в теплице была 8 ^oC.

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1	t	12		Таблица 3	t	10
	T		23		T		17
Таблица 2	t	6		Таблица 4	t	5
	T		14		T		20

Для группы 6:

Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому T лет, (T < 18) должен спать t часов в сутки.

а) Задайте формулой зависимость продолжительности сна t (часах) от возраста человека (лет), если известно, что после рождения ребенок должен спать не менее 17 часов в сутки, уменьшая продолжительность сна на половину своего возраста.

(t = 17 – T/2)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1	T	1		Таблица 3	T	5
	t		9		t		11
Таблица 2	T	3		Таблица 4	T	7
	t		10		t		12

Запись формулы функциональной зависимости ведется группами 4, 5, 6 сообща, работа по таблице индивидуальна, для этого и предлагается несколько вариантов.

4. Практические работы:

Учитель:

Каждый график дает наглядное представление о зависимости между величинами, описывает различные процессы. На практике часто используются приборы для автоматической регистрации того или иного процесса. Эти приборы вычерчивают графики соответствующих функциональных зависимостей. Каждый ученый умеет не только “читать” построенные приборами графики, но и строить эти графики самостоятельно, без использования приборов. Предлагаю каждому из вас “примерить” на себя роль ученых и выполнить две практические работы. Одна работа покажет насколько вы умело, читаете графики, вторая – как вы строите графики зависимостей.

Практическая работа №1 для группы 1

Используя график зависимости массы m воды и льда от V ответить на вопросы.

1. Является ли функция m(V) линейной?
2. Какой объем занимают лед и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500 г.?
3. Сделать вывод о зависимости m(V)? Одинаковы ли эти зависимости для разных веществ?

Чертеж к задаче

Рисунок 2

Практическая работа №1 для группы 2

Используя график зависимости веса M, г рыбки от массы корма m, г ответьте на вопросы.

1. Является ли функция M(m) линейной?
2. Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15 г сухого корма, и рыбка, поедающая 15 г живого корма?
3. Сделать вывод о зависимости M(m)? Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и рыбки на живом корме?

Рисунок 3

Практическая работа №1 для группы 3

Используя график зависимости повышения гемоглобина от массы, г употребления в пищу яблок или гранатового сока, ответить на вопросы:

1. На сколько поднимется гемоглобин в крови у человека, употребляющего в пищу 600 гр. яблок или 600 гр. гранатового сока?
2. Что обозначает общая точка графиков?
3. Сделать вывод о зависимости гемоглобина от массы употребляемого в пищу продукта. Одинакова ли эта зависимость для яблок и для гранатового сока?

Рисунок 4

Практическая работа №1 для группы 4

Автомобили A₁ и A₂ выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданному графику движения автомобилей. Найти:

1. время от начала движения до встречи автомобилей;
2. путь, пройденный каждым автомобилем до их встречи;
3. скорость движения каждого автомобиля.

Рисунок 5

Практическая работа №1 для группы 5

Рисунок 6

Ученые наблюдают за количеством бактерий в двух водоемах I и II. I-водоем молодой, II-старый на рисунке представлены графики зависимостей общего числа бактерий (в тыс. (мл.)) от месяца наблюдения. Используя графики ответить на вопросы:

1. На каком этапе исследования количество бактерий в водоемах будет одинаковым?
2. Изменение количества бактерий в каждом водоеме.
3. Через сколько месяцев в каждом водоеме количество бактерий будет равно 10 тыс/мл.

Практическая работа №1 для группы 6

Рисунок 7

На чертеже два графика I график показывает зависимость количества бактерий от дня использования антибиотиков, II график – зависимость количества бактерий от дня заболевания (без использования лекарственных средств).

Глядя на графики ответить на вопросы:

1. В какой день количество бактерий у обоих заболевших будет одинаковым?
2. Определить скорость изменения количества бактерий у каждого заболевшего.
3. На какой день количество бактерий у заболевших будет равно 150 тыс. экземпляров.

Чертежи графиков имеются на партах и нарисованы на доске. Работа ведется в группах, после обсуждения каждая группа записывает свои ответы на специальном бланке, бланки вывешивают на доску.

Так как первые три чертежа похожи друг на друга, класс делает один вывод для трех чертежей. Вторые три чертежа также похожи друг на друга, класс делает один вывод для этих трех чертежей.

Вопросы для выводов: Описать процессы, изображенные графиками.

Для выполнения практической работы №2 состав в группах следует поменять (пересадить детей так, чтобы каждая группа состояла из сильных, средних и слабых учащихся).

Первые две группы физиков получают задания:

Используя определение линейной функции, построить график, который описывает следующий процесс: бак объемом 14 литров заполнили водой за пять минут, затем кран закрылся, и через четыре минуты из дна вытащили пробку, бак оказался пустым за три минуты.

(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 8

)

Две группы биологов получают задание:

Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс:

В середине марта на дереве начинают появляться первые листочки и уже к июню количество листьев на нем достигает 200 штук. С середины августа дерево начинает готовиться к зиме и уже к середине октября на дереве не остается ни одного листа.

(результат работы должен выглядеть так:

Рисунок 9)

Две группы медиков получают задание:

Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс: в зимние месяцы люди начинают болеть гриппом, процент заболевших людей достигает 70% на 10 день эпидемии. Количество заболевших начинает снижаться на 20 день эпидемии и уже на 28 день составляет 10% населения.

(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 10

)

Результаты работы оформляются на больших листах, которые потом вывешивают на доску. Ребята делают выводы.

Вопросы к выводу:

1. Из скольких частей состоит график каждого процесса?
2. Что происходит с функцией на первом этапе?
3. Что происходит с функцией на втором этапе?
4. Что происходит с функцией на третьем этапе?

5. Подведение итогов урока.

1. На сегодняшнем уроке мы с вами посмотрели на конкретных примерах, как используется определение и график линейной функции в решении практических задач.
2. Какие виды задач мы с вами умеем решать?
3. Д/З: №364, 326 учебник Алгебра 7 под редакцией С.А. Теляковского. Чтобы справиться с домашним заданием, вам пригодится то, о чем шла речь на сегодняшнем уроке.