Факультативное занятие по математике по теме: "Золотое сечение"

Разделы: Математика

Мы представляем творческую группу учителей математики и информатики школы № 6 г. Калининграда. Наша творческая группа работает два года. Разработанный и проведенный нами Интернет-урок – одна из форм внедрения в практику работы школы современных информационных технологий. На областной конкурс “Интернет-урок 2004” мы представили факультативное занятие “Золотое сечение” и заняли первое место.

Выбор темы “Золотое сечение” обусловлен тем, что можно несколько отойти от строгих математических расчетов и (не нанося урон математической сути урока) совершить экскурсию в историю, а также познакомиться с сокровищами мировой культуры, используя при этом богатейшие возможности Интернета.

Выбор классов тоже не случаен:

  • Для шестиклассников это логическое завершение темы “Отношения и пропорции”,
  • Для восьмиклассников – великолепная возможность применить знания по теме “Квадратные уравнения” для решения задач прикладного характера.

Многочисленные отступления от строго нормированного программного материала, включение большого количества Интернет-справок подсказали форму занятия – факультатив.

Учитывая индивидуальность личности каждого ребенка, заботясь о сохранении психологического здоровья детей, старались создать доброжелательную атмосферу во время занятия, четко определили поставленные цели. Психологический настрой на успешную работу дала использованная нами формула самовнушения, а рисунки “солнышка” и “тучки” в сигнальных блокнотах учеников и на плакате учителя позволяют показать настроение в любой момент урока, скоординировать работу, оказать психологическую помощь.

Напоминание о соблюдении правил техники безопасности в начале урока, сочетание различных видов деятельности, своевременное переключение с одного вида работы на другую, проведение в конце занятия упражнения для глаз – забота о физическом здоровье детей.

Сохранение психического и физического здоровья – основная составляющая здоровьесберегающей педагогики.

Объяснение нового материала старались сделать доступным, понятным, предваряя его повторением ранее пройденного. Начали занятие с рассмотрения числовых рядов, уделив особое внимание числам ряда Фибоначчи. Подробно повторили теоретический материал по теме “пропорция”, решили уравнение, записанное в виде пропорции, и только затем перешли к введению понятия Золотого сечения и его математической интерпретации, сводящейся к решению квадратного уравнения, имеющего вид пропорции.

Делая упор на самостоятельную работу учащихся, чередовали необходимые пояснения учителя, работу ученика у доски и знакомство с Интернет-справками, дающими информацию по истории рассматриваемой темы. Уделяли внимание математически грамотной речи учащихся.

Новый материал делили на логические части (определение и математическая интерпретация Золотого сечения, использование числового ряда Фибоначчи для пропорционирования, близкого к Золотому, Интернет-справка о Золотом сечении) и после каждой такой части предоставляли возможность осмысления, закрепления и осознанного применения полученных знаний при выполнении упражнений практического характера (рассчитать, как лучше приклеить обои, проверить соблюдение Золотой пропорции, выполнить Золотое сечение отрезка).

Для установления обратной связи с учащимися, при проверке правильности решения использовали сигнальные блокноты, дающие возможность показать любое трехзначное число, его знак.

Некоторые задания были дифференцированными, что объясняется различным уровнем знаний и умений учащихся 6 и 8 классов.

Интернет-информация не только обеспечила должную наглядность, но и пополняла знания учеников; знакомство с произведениями Леонардо да Винчи приобщали к культурным ценностям человечества; математическая интерпретация Золотого сечения и приведенные примеры пропорциональных отношений, встречающиеся в живой природе, дали представления о красоте, порядке и гармонии окружающего мире.

Думается, выбранная нами форма проведения факультативного занятия в виде Интернет-урока показывает перспективы современных коммуникативных технологий, способствует привитию интереса к знаниям, к предмету.

Ход урока.

С.П.1 Здравствуйте! Сегодня наше занятие мы проводим в кабинете информатики, будем использовать компьютер. Прошу всех внимательно прочитать правила техники безопасности и строго их соблюдать на протяжении всего урока.

Н.А: Добрый день!

Наше факультативное занятие мы проводим в форме Интернет-урока, будем использовать информацию, полученную в Интернет-сети. Поэтому девизом нашего урока будут слова: “КОМПЬЮТЕР НЕ ЦЕЛЬ И ДАЖЕ НЕ РОСКОШЬ, А СРЕДСТВО”.2

Автор этих слов Камил Ахметов, популярный журналист, автор книги-самоучителя по работе с компьютером.

Тема нашего Интернет-урока – “Золотое сечение”.

(слайд №1)3

И.В: Цели нашего урока (слайд №2).

Сегодня мы познакомимся с понятием “Золотого сечения”, научимся находить “золотое сечение” отрезка АВ алгебраически, с помощью решения квадратного уравнения, а также посмотрим, как это можно сделать геометрически. При этом мы узнаем много интересных фактов из области культуры и искусства.

Н.А: Как обычно, начнем наше занятие с формулы самовнушения, дающей психологический настрой на успешную работу (слайд № 3).Спокойно, медленно, негромко произносим вслух эту формулу.

И.В: Понятие “Золотого сечения”, которое мы сегодня рассмотрим, объединяет гармонию природы с гармонией чисел. Наш урок мы начнем с рассмотрения числовых рядов (слайд №4).

Надо продолжить числовые ряды. Результат показать с помощью сигнальных блокнотов и ответить на вопрос, по какому закону составлен числовой ряд? (Учащиеся выполняют задания, отвечают на поставленный вопрос.)

Обратите внимание на последний ряд, он записан у вас в конспекте.4 Этот ряд имеет особое название. Называется он рядом Фибоначчи, по имени итальянского математика, а числа называются числами Фибоначчи. Прочитайте информацию о Леонардо Фибоначчи (слайд №5). (Учащиеся читают.)

Вспомним, что называется отношением двух чисел. (Ученики отвечают.)

Составить отношение какого-либо числа ряда Фибоначчи к последующему числу. Назвать полученные отношения.

1. С.П. (Н.А, И.В.) – инициалы учителей, ведущих урок
2. см. приложение №3-3
3. см. приложение №1
4. учащиеся работают в опорных конспектах с печатной основой, приготовленных к этому уроку (см. приложение №2)

И.В. записывает на доске ответы учеников:

1 / 1 , 1/ 2, 2/ 3, 3/ 5, 8/ 13, 13/ 21,…

С помощью калькулятора найти приближенное значение каждого отношения, округлив результат до десятых.

Ученики выполняют задание и дают ответ: 0,6. Учитель записывает на доске: 0,6.

Вы видите, что в основном все дроби имеют приближенное значение 0,6. Запомните это число, мы еще к нему вернемся.

Н.А: Теперь выполним задание №2 в ваших опорных конспектах. Надо решить предложенные уравнения. Чтобы выбрать рациональный способ решения, давайте охарактеризуем эти уравнения (ученики отвечают, что уравнение имеет вид пропорции). Что такое пропорция? (Ответ). Сформулируйте основное свойство пропорции (ответ). Еще раз повторите ту часть основного свойства, которую будем использовать при решении уравнений (ответ). Решите эти уравнения полуустно, делая лишь необходимые краткие записи в конспектах. Покажите ответ с помощью сигнальных блокнотов5 (6-тиклассники решают уравнение под буквой а), 8-миклассники решают уравнение под буквой б) и показывают ответ).

Мы вспомнили математическое определение пропорции. Но слово “пропорция” вы, наверное, слышали не только на уроках математики. А где еще? (Ответы детей)

“ПРОПОРЦИЯ” – латинское слово. Что же оно означает? (Слайд №6).

Итак, “пропорция” – “соотношение”, “соразмерность”. Различают пропорции, используемые для изображения человеческого лица и фигуры, и архитектурные пропорции. Учение об отношениях успешно развивалось еще в IV веке до нашей эры в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, ремеслами. Соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растений, скульптур, зданий – непременное условие правильного, красивого изображения предмета.

Посмотрим несколько произведений великого итальянского живописца Леонардо да Винчи (1452–1512). Используем информацию, найденную в Интернете (слайд №7).

Самым совершенным творением природы Леонардо считал человека. Его идеал – гармонически развитая личность, живущая земными интересами и далекая от аскетизма средневековья. В полных жизни и света творениях великого мастера угадываются земные реальные люди, их сложный духовный мир и переживания. Раскрывая целую гамму человеческих чувств, он в то же время очень цельно, гармонично, уравновешенно строит всю композицию.

Обратимся к Интернет-справке о Леонардо да Винчи (слайд № 8).

5. Сигнальные блокноты имеют все ученики и используют их на уроках для осуществления обратной связи.

И.В: Обратите внимание на широту познаний и интересов Леонардо да Винчи. Он живописец, скульптор, архитектор, ученый, инженер. Он проводил многочисленные исследования в области математики, механики, естественных наук. В своих произведениях Леонардо да Винчи уделял большое внимание пропорциональным отношениям отдельных частей картины и человеческого тела. Одно из таких отношений Леонардо да Винчи и назвал “Золотым сечением”. Именно он ввел этот термин (слайд №9).

Рассмотрим математическую интерпретацию “Золотого сечения”. Обратимся к заданию №3 и прочитаем первое предложение на слайде еще раз.

Один из учеников читает вслух первое предложение.

Еще один ученик выходит к доске выполнять задание №3.

Учитель комментирует задание:

Представим человеческую фигуру в виде отрезка АВ длиной а (ученик изображает на доске отрезок АВ). Перевяжем эту фигуру поясом (ученик ставит штрих на отрезке АВ). Обозначим расстояние от пояса до ступней C (ученик вводит обозначение), тогдарасстояние от пояса до макушки равно (ученик отвечает: а-х и вводит обозначение на рисунок).

На доске появляется рисунок:

Итак, по словам Леонардо да Винчи, величина от пояса до ступней так относится к расстоянию от пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.

Ученик записывает на доске пропорцию:

х : (а-х)=а : х

Учащиеся разделяются на две группы.6

И.В. с 8-классниками: Ученик на доске решает уравнение, делая следующие записи:

х2 = а (а-х)

х2 - а2 + ах = 0

Д = а2 + 4а2 =5а2

Все учащиеся решают уравнение в конспектах.

Итак, мы получили корни квадратного уравнения (показывает указкой на доске). Так как число Х положительно, то выбираем корень, равный

С помощью калькуляторов найдите приближенное значение выражения, округлив результат до тысячных.

Учащиеся выполняют задание, получают ответ: 0,618.

На доске появляется запись:

Х = 0,618а.

Н.А. с 6-классниками: Пусть длина отрезка а = 1. Какой вид примет это уравнение, если коэффициент а = 1? Подчеркните левую часть этого уравнения. Найдите значение выражения в левой части этого уравнения, если Х = 0,618 (используя микрокалькулятор). Покажите с помощью сигнального блокнота, чему равно приближенное значение этого выражения (с точностью до тысячных). Итак значение этого выражения равно нулю. Что это означает? Округлите 0,618 до тысячных. Повторите все вычисления. Что получилось? Сделайте вывод. Итак, 0,618 корень составленного уравнения при а = 1, т.е. если длина отрезка равна 1, то длина большей части отрезка 0,618.

Посмотрим, что получили ученики 8 класса, если коэффициент а отличен от единицы.

И.В: Х = 0,618а. Таким образом, чтобы разделить отрезок в “золотом соотношении”, надо длину отрезка умножить на 0,618. Мы получим большую часть отрезка.

“Золотое сечение” – это самое гармоничное деление отрезка. С помощью такого деления можно оклеить стены обоями в своем доме.

Выполним практическое задание №4. (Учащиеся выполняют задание.)

Итак, на какой же высоте от пола надо поклеить бордюр, чтобы ваша работа радовала глаз?

Ответ: 3 * 0,618 = 1,854 » 1,9 (метров).

Если вы воспользуетесь результатами ваших вычислений, то ваша работа будет выглядеть так: (показать модель обоев) или так: (перевернуть). Это тоже решение данной задачи, т.к. бордюр в любом случае делит стену в “золотом соотношении”.

Н.А: Решая составленное квадратное уравнение, мы получили C = 0,618а. Разделим обе части этого равенства на а: х:а=0,618. Значит, чтобы проверить, выполнено ли “Золотое сечение” отрезка, надо найти отношение длины большей части отрезка к длине всего отрезка и сравнить результат с числом 0,618.

Используем свойство верной пропорции (мы его сегодня уже повторяли), поменяем средние члены пропорции местами: (а-х):х=х:а. Отношение большей части отрезка к длине всего отрезка равно отношению меньшей части отрезка к длине большей его части, т.е. (а-х):х=0,618. Это можно использовать при проверке: будет ли выполнено “золотое сечение” отрезка.

Обратимся к плану-конспекту урока. Выполним задание №5. (Задание состоит из трех частей. К 1-ой части показать учебник 6-ого класса. 2-ая часть является примером математической закономерности и гармонии в живой природе. 3-я часть – это пример Золотой пропорции в искусстве).

На рисунке изображена скульптура Аполлона Бельведерского. Как проверить, что точка С делит отрезок АД, а точка В делит отрезок АС в “золотом соотношении”? (Ученики отвечают на вопрос.) Выполните необходимые измерения. (6-тиклассники работают с листом, а 8-миклассники – со скульптурой). Округлите полученные числа до десятых и результат покажите с помощью сигнального блокнота. (Ученики выполняют.)

Заметим, что значения полученных выражений несколько отличаются от 0, 618, но приближенно равны 0,6 (сказались некоторые неточности измерений и качество изображения). Но полученный результат 0,6 мы сегодня уже встречали, когда находили приближенное значение дробей при рассмотрении чисел ряда Фибоначчи.

В природе и человеческой фигуре много пропорциональных отношений, близких к тому, что называют “Золотым сечением”, хотя и не воплощающих их точно. Среди таких отношений и те, которые выражаются числами ряда Фибоначчи. Примеры таких отношений 3:5, 8:13, 13:21,… можно рассматривать как отношение меньшей части отрезка к длине большей его части или отношение большей части к длине всего отрезка.

Подведем краткий итог сказанному (слайд №10). Мы

  • выполнили математическую интерпретацию “Золотого сечения”;
  • получили формулу, связывающую длину большей части отрезка с длиной всего отрезка;
  • записали дроби, выражающие пропорциональные отношения, близкие к “Золотому сечению”.

Кроме того, вы видите на слайде одно из самых красивых произведений древнегреческой архитектуры ПАРФЕНОН (V век до н.э.). Заметим: отношение высоты здания к его длине 0,618.

И.В: Выполним еще одну практическую работу №6. Вы видите отрезок, длина которого 5 единиц. Вам надо поделить этот отрезок в отношении, близком к “золотому”, или этот отрезок сделать частью нового, большего отрезка, который будет разделен в “золотой пропорции”.(И.В. вывешивает на доске модель данного отрезка. Ученики выполняют задание, учитель проходит и смотрит на полученные ответы). Итак, я увидела следующие варианты ответов: (учитель вывешивает на доске варианты ответов с соответствующими комментариями).7

Н.А: (слайд №11). “Мона Лиза” – бессмертное творение гениального Леонардо да Винчи. Этот портрет написан около 1503 года. Прошли века… Но люди продолжают любоваться красотой молодой женщины, ее загадочной улыбкой.

7. см. приложение № 3-4

В этой картине “Золотая пропорция” встречается не один раз. Отношение ширины картины к ее длине 0,618. Светлая часть картины (пейзаж за окном) делит картину в “Золотом сечении”, руки Моны Лизы делят картину в отношении, близком к “золотому”, т.е. 1:2.

А теперь обратимся к информационной Интернет-справке о “Золотом сечении” (слайды №12, 13) (ученики читают справку).

И.В: А теперь давайте познакомимся, как выполняется “Золотое сечение” геометрическим способом, с помощью циркуля и линейки (слайд №14).

Перед вами краткая запись построения точки Е, делящей отрезок АВ в отношении “Золотого сечения”. Возьмите конспекты урока и выполните практическое задание №7. Внесите обозначения, как показано на экране, и запишите план построения (ученики записывают план построения, один из них комментирует). На следующем занятии, продолжая эту тему, выполним построение.

Н.А: Предлагаем Вашему вниманию несколько интересных фактов о “Золотом сечении”, представленных в Интернете (слайды №15, 16). (Ученики читают.)

Подведем итог урока. Что же создает ощущение соразмерности, красоты и гармонии в произведениях искусства, архитектуры, в природе? (ученики отвечают). Да, вы правы – “Золотое сечение”, т.е. деление отрезка на две части, когда отношение длины большей части к длине всего отрезка равно 0,618.

Кстати, происходит это, вероятно, из-за особенностей психологии человека, стремящегося не к монотонности и повторяемости, а к развитию, совершенствованию, движению… И в общем-то неравные, но близкие по размеру части создают это впечатление развития форм, их динамики, пропорционального дополнения друг к другу.

И.В: Дома вы должны будете выполнить следующее домашнее задание (слайд №17).Если вы не найдете в Интернет-сети нужную информацию, то проверьте, нет ли на башнях Московского кремля (учитель показывает обратную сторону конспекта урока) элементов, размеры которых находятся в отношении “Золотого сечения”. А еще вы должны сделать памятник шару. Шар уже есть, осталось поставить его на постамент, а постамент построить так, чтобы вся композиция была выполнена в “Золотом сечении”.

Н.А: Информационная часть урока окончена (слайд №18). Выполним упражнения для глаз. На экран компьютера больше смотреть не надо. Сядьте ровно, расслабьтесь…(выполняем гимнастику для глаз).8

Спасибо, ребята! Нам ваша работа очень понравилась. Наша оценка (учитель показывает “солнышко” на плакате).9 Хотелось бы узнать Ваше мнение об уроке. (Используя сигнальные блокноты, дети показывают “солнышко”).

УРОК ОКОНЧЕН, ДО СВИДАНИЯ!

8. см. приложение №3-5
9. см. приложение №3-1

При подготовке занятия использованы следующие Интернет-адреса:

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.