Обобщение по теме: "Формулы сокращенного умножения", 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели:

  1. обобщить и систематизировать знания по теме, углубить теоретические знания;
  2. развивать мышление, умение доказывать, рассуждать, математическую речь;
  3. воспитывать интерес к предмету, уважение к истории математики.

Оборудование:

  • портреты ученых (1. Чебышев, 2. Евклид, 3. Ковалевская, 4. Декарт, 5. Мухаммед аль-Хорезми, 6. Паскаль);
  • карточки с магнитами для игры “Алгебраическая мозаика”;
  • карточки с формулами;
  • карточки для математического диктанта.

Ход урока

Сегодня мы совершим экскурсию в прошлое, взглянем на изучаемый материал с точки зрения ученых, которые жили тысячи и сотни лет до нас. Эпиграфом послужат слова С. Ковалевской:

“У математиков существует
свой язык – это формулы”.

Сделаем еще один шаг в познании этого языка.

I. Обратимся к “Галерее великих”

(Зачитываются высказывания об ученых, учащиеся называют его имя).

  1. Среднеазиатский математик и астроном. Считается основоположником алгебры. Его труды оказали большое влияние на развитие математики. ( Мухаммед ибн Мусса аль-Хорезми).
  2. Французский философ, математик и физик. Разработал метод координат, ввел понятие координатной прямой и координатной плоскости. (Рене Декарт).
  3. Древнегреческий математик, автор знаменитого трактата “Начала”, является отцом геометрии. (Евклид).
  4. Именно она была одной из первых женщин, которая проложила глубокую собственную тропинку в те безбрежные поля науки, куда раньше ступала лишь нога мужчины. (Софья Ковалевская).

II. Работа в парах

Учащиеся получают 10 карточек, из которых нужно составить формулы и прочитать их.

  • a2 + b2 (a – b) (a2 + ab + b2)
  • (a + b) 2 (a – b) (a + b)
  • (a – b) 2 a2 – 2 ab + b2
  • a3 – b3 (a + b) (a2 – ab + b2)
  • a3 + b3 a2 + 2 ab + b2

III.

Конечно, о каждом ученом можно говорить долго и много, но кто наш первый герой, вы узнаете когда решите уравнение. Корень укажет на него.

( х + 5)2 – ( х – 1)2 = 48

Решение:

х2 + 10 х + 25 – х2 + 2 х – 1 = 48
10 х + 2 х = 48 – 25 + 1
12 х = 24
х = 2

(Евклид)

IV.

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад, но толковались они геометрически. У древних греков величина обозначалась не числами или буквами, а отрезками.

Например, не а2 – а квадрат, построенный на отрезке а, не ab – а прямоугольник между отрезками a и b.

Сообщение учащегося: (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 можно изобразить геометрически.

Во второй книге “Начал” Евклида она формулировалась так: “Если прямая линия (отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками”.

Крылов так говорил о Евклиде: “Попробуйте взять Евклида в переводе и посмотрите, какое умственное напряжение требуется, чтобы проследить ход его доказательств, но зато какова изумительная логичность и строгость их, и какова их последовательность”.

Давайте проследим последовательность следующего доказательства.

V.

Сообщение учащегося. Мы широко используем возведение в квадрат суммы двух слагаемых. Можно ли найти прием возведения в квадрат трех и более выражений. Результат выглядит так:

В виде формулы: (a + b + с)2 = a2 + b2 + с2 + 2ab + 2ac + 2bc

VI. Математический диктант

Записываются только ответы и составляется имя следующего ученого, о котором пойдет речь.

(Учащиеся используют копировальную бумагу для последующей проверки).

  1. разложить на множители 25 m8 – 16 n4
  2. представить в виде многочлена (1 + 0,2у) (1 – 0,2у)
  3. представить в виде квадрата разности 1/16 – m + 4 m
  4. представить в виде многочлена (3у – 2х)2
  5. решить уравнение a2 – 0,25 = 0
  6. представить в виде произведения 125 + a3 b3
  7. решить уравнение 9 + у2 = 0

Ответы: А – (5 + аb) ( 25 + 5 ab + a2b2)

П – (5 m4 – 4 n2) (5 m4 + 4 n2)
Ь – нет решений
Л – a1,2 = + 0,5
К – 9 y2 – 12 xy + 4 x2
А – 1– 0,04 y2
C – (1/4 – 2 m)2

(Паскаль)

Сообщение учащегося. Французский философ, физик, математик, писатель Блез Паскаль (1623–1662 гг.) – современник Декарта и Ферма. Изобрел первую счетную машину и сделал многое в области математики, которая называется комбинаторика.

Рассмотрим двучлены:

(a + b) 0 = 1
(a + b) 1 = a + b
(a + b) 2 = a2 + 2 ab + b2
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b2

Составим таблицу из коэффициентов:

Замечаем закономерность образования коэффициентов, что позволяет продолжить составление ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ.

VII. Игра “Алгебраическая мозаика”

Составить из предложенных выражений формулы. Кто больше.

3х, 5у, 3х, 5у, 9х2, 30ху, 27х3, 125х2, 15ху

Ответы:

  • (3х + 5у)2 = 3х2+30ху+25у2
  • (3х – 5у)(3х + 5у) = 9х2– 25у 2
  • 27х3 + 125у3 = (3х + 5у)(9х2+ 15ху+25у2)
  • (5у – 3х)2 = 25у2 – 30ху + 9х2

VI. Рефлексия

Заполнение анкеты.

Что в изучении темы “Формулы сокращенного умножения”:

  1. заинтересовало __________________________
  2. вызвало затруднения __________________________
  3. хочется узнать глубже __________________________

Задание на дом: представить в виде многочлена (2 + x + y )2 ; ( а – b + 3)2

Благодарю за работу.