Урок постановки учебной задачи и планирования ее решения. Тема урока: "Квадратные уравнения"

Тип урока: урок постановки учебной задачи и планирования ее решения

Учебная задача: спроектировать способ изучения темы “Квадратные уравнения” совместно с учениками

Класс: 8

Цели:

• актуализировать субъективный опыт учеников, непосредственно связанный с новой темой;
• разработать модель решения учебной задачи;
• выделить и письменно зафиксировать способ изучения новой темы.

Учитель предлагает выполнить следующую работу:

Перед вами листы, на которых выписаны определения. Они выписаны из различных источников. Требуется сравнить эти определения. Выделить в них главную мысль. (Ребята предлагают начать обсуждение в группах из 4-х человек).

Определения:

• Уравнение второй степени (квадратное) имеет общий вид aх² + bх = с = 0, а 0, а, b, с – вещественные числа.
• Алгебраическое уравнение второй степени иначе называется квадратным. Общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным: ах² + bх = с = 0, где а, b, с – данные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины.
• Квадратным уравнением называется уравнение, левая часть которого есть квадратный трехчлен, а правая – нуль. Квадратное уравнение называют также уравнением второй степени, и оно имеет вид ах² + bх = с = 0.
• Уравнение, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая – нуль, называется квадратным уравнением или уравнением второй степени.

После обсуждения выделяем общее в этих определениях: во всех определениях речь идет об уравнении второй степени, указан вид уравнения ах² + bх = с = 0.

Учитель. Встречали ли вы раньше уравнения такого вида? В связи с этим, какая задача возникает перед нами?

Ученики. Найти способ решения уравнения такого вида. (Затрудняются предложить способ решения).

Учитель. Уравнения какого вида вы уже умеете решать?

Ученики. Линейные уравнения.

Учитель. Проанализируем способ изучения линейных уравнений, этот опыт пригодиться для работы с квадратными уравнениями. (Ученики работают в группах).

Ученики (после обсуждения).

1. Определение линейного уравнения. (Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением).
2. Что значит “решить уравнение”? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет).
3. Что называют корнем уравнения? (Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство).
4. Общий вид линейного уравнения. (ах = b, где а и b заданные числа, х –неизвестное).
5. Что можно делать с уравнением, не нарушая равносильности?

• Умножать (делить) обе части уравнения на число, не равное нулю.
• Прибавлять к обеим частям уравнения одно и то же число или выражение.
• Переносить члены уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.

Вспомните способ решения уравнений, сводящихся к линейным.

kх + b = 0

Переносили члены, содержащие неизвестное, в одну часть, а члены, не содержащие неизвестное, в другую

kх = – b

Приводили подобные члены, если они были, далее работали по свойствам.

На что обращали внимание при решении линейных уравнений в общем виде? (На множитель k).

Если k 0, то при любом b можно разделить обе части равенства на k и найти х:

х = - b/k

Если k = 0, то получим 0•х = – b решение будет зависеть от значения b.
При b = 0 получаем 0•х = 0, равенство истинно при всех значениях х.
При b 0 искомых значений х не существует.

Ответ: х = -b/k при k 0 и b R
х R при k = 0, b = 0
уравнение корней не имеет при k = 0, b 0

Иллюстрацией к решению уравнения служат следующие графики линейной функции

у = kх +b

рис.3

После проделанной работы предложить осмыслить этапы изучения вопроса о линейных уравнениях. Затем результаты работы групп обсудить. В итоге получается схема:

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

понятие уравнения
общий вид уравнения

частные случаи

свойства уравнений

решение линейных уравнений

решение текстовых задач

линейные уравнения с модулем

линейные уравнения с параметром

линейная функция и ее график

Ребята, мы завершили работу по анализу последовательности изучения темы линейных уравнений. Вернемся к учебной задаче: найти способ решения квадратного уравнения.

Как вы поступаете, когда сталкиваетесь с новой для вас проблемой? К кому обращаетесь?

• Пытаетесь найти решение сами?
• Обращаетесь к другу?
• Читаете специальные книги?
• Обращаетесь к справочнику?
• Читаете учебник?
• Ищете информацию в Интернете?

Как поступите сейчас? (Предлагают работать в группе).

Ребята! Перечислите вопросы, которые необходимо обсудить на последующих уроках, выделите вопросы, которые уже рассмотрены.

решение текстовых задач

квадратные уравнения с модулем

квадратные уравнения с параметром

квадратичная функция и ее график

В ходе заполнения схемы высказывается предположение о том, что это примерная схема, следовательно, ее нужно будет уточнять, корректировать по ходу изучения. (Выделить факт, что определение уже обсуждено, но требует уточнения).

Какие вопросы, связанные с этим новым видом уравнений, у вас возникают? Сформулируйте эти вопросы и сравните с теми, которые прописаны на листах. На какой из вопросов можете дать ответ уже на сегодняшнем уроке?

Вопросы:

1. В каких ситуациях могут возникать квадратные уравнения?
2. Как узнать квадратное уравнение?
3. Как называют а, b, с в квадратных уравнениях?
4. Любое ли квадратное уравнение можно решить? От чего это зависит?
5. Обязательно ли решать квадратное уравнение, чтобы найти его корни?
6. Как узнать, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько их?
7. Имеются ли какие-то правила, алгоритмы, с помощью которых можно решать квадратные уравнения?
8. Существует ли какая-то зависимость между а, b, с и корнями уравнения?
9. Какова история возникновения квадратных уравнений?
10. Где применяются квадратные уравнения?

В процессе обсуждения выясняем, что частично можем ответить на вопрос №1. На вопрос №2 можем ответить сейчас.

Определение: Уравнение вида ах² + bх = с = 0 называется квадратным уравнением, где а, b, с коэффициенты:
а – первый (старший) коэффициент, он стоит при х² , старшей степени переменной х;
b – второй (средний) коэффициент, он стоит при х;
с – третий коэффициент, он называется еще свободным членом уравнения.
Уравнение вида ах² + bх = с = 0 называют полным квадратным уравнением.

Представим уравнение схематически:

Объясните требование “а 0”.

Выясняем, что если а = 0, то уравнение ах² + bх = с = 0 обращается в линейное уравнение bх+ с = 0 (решать такое уравнение мы умеем).

Почему с называют свободным членом?

Если с = 0, получаем ах² +bх = 0 (а 0, с = 0) (1)
Если b = 0, получаем ах² + с = 0 (а 0, b = 0) (2)
Если b = 0, с = 0, получаем ах² = 0 (а 0, b = 0, с = 0) (3)

Дайте название уравнениям 1, 2, 3.
Ответ: По виду уравнения 1, 2, 3 можно отнести к квадратным.

Какое название еще можно дать этим уравнениям?
Ответ: Неполные квадратные уравнения. (Фиксируем мысль, почему уравнения называют неполными).

Теперь попытаемся осмыслить временный способ изучения новой темы. С этой целью предлагаю ответить на вопросы:

• Почему изучение новой темы следует начинать с обсуждения общего вида уравнений?
• Какого тема следующего урока? (Неполные квадратные уравнения).
• Оцените значимость сегодняшнего урока.

На следующем уроке мы должны научиться узнавать полные квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения и выявить способы решения неполных квадратных уравнений. Что получили на сегодняшнем уроке? (Название квадратного уравнения и составили приблизительный план изучения данной темы).

Какие задания можно сформулировать к следующему уроку:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по теме “Квадратные уравнения”.
2. Придумать задание на узнавание квадратного уравнения.
3. Придумать примеры неполных квадратных уравнений и решить их.
4. Возможно ознакомиться с историей вопроса.